Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 27
Текст из файла (страница 27)
14.1-2), Н пользование геометрического языка подсказывается аксиомой непрерыэнэсти Кантора — 7(едехггнда, постуннрующей существование взаимно однозначного соответствия ') Многие авторы категорически нвставзэют иа том, что по опредеаению каждая функция доажиа быть однозначна, твк что, нзпрвмер, две ветнв -р ьгх и — Ух дня .г 1Гх всегдз снед>ет рассывтринать квк две функции *) См.
также п. 4.2-!. 4* 43 ТОЧЕЧ()ЫЕ «(НОЖЕСТВД, ИНТЕРВАЛЫ И ОБЛАСТИ (О( ГЛ 4. ДИФФЕРЕННИДЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.3.2. 4.3.4. . и п ямой. Эта ««оорднватиаз а«сиама» (а. 2.1-2) между действительными числами н точками пр м... -2 созместима как со свойствами действительных чисел, так н с постулатами, — а вимм образом те свойства точечны ««ожег»» В пп.
4.3-2 — 4.3.б рассматриваются главным о разом я области на комплексной числовой плес«ости. иы«. В пи. 7.2-2 — 7.2-4 рассматриваются ла т Вообще говор«, о «, о любам миожестве (классе) объектов в част г о не сменного иаи нереие«иых) можно гово- соот»етствующн«значениям дсйстзнтеаъ«ого и р и рить как о точ«чаем маожестве, Свойства таких множеств рассмат «в йп. 12,5-1 — 12.5.4. 4.3-2. Свойства множеств. (а) лге ра м о ( ) А б множеств (классов).
Объект(точка) Р, содержащийся в множестве (классе), е ь ) 5, сть элемент многкества 5 (Р гм 5). Множество 5, яв ется подмножеством другого множества 52 (5, содержится в з,, с,), каждый элемент мн ожества 5 является элементом и множества 5,. Множес)ва 5 и з равны (,=,), 5« (5 = 5 ), если они содержат один и те же элементы, т. е. о 5 с 5» и 5, с 5д. устое мно 5, 5 . П множество (Т) по определению есть подмножеств 5. Собственное подмножество (собственная часть) множеств а каждого множества, ств н 5 есть непустое подмножество 5, не равное 5. Объединение (ло у ) гическая с мма) Ц ( 5 + 5 ) сть множество всех элементов, содержагцихся либо з 5„либое5«,ли оив „ив 3.
б 5, в 5 . Пересечение (общая часть, логическое произведе- 5 П 5 ( 5 5 ) множеств 5 и 5 сеть множество всех элементов, содер- 5, и з 5 . Дополнение множества 5 до множества 1, содер 1 2 жа- жащихся и а 5„и з хся в 5. Подмно- 5, ест ножество всех элементов из 1, не содержащих жест«а любого множества (класса) 1 с операциями логического сложен я у и и мно- (Ь) К а и н а л ь и ы е ч и с л а и с ч е т н о ст ь. Два множества, н имеют одну и ту же мощность (кардинальное число), чи у 1 у ард однозначное соответствие с е между этими множествами.
5 есть бесконечное мно- жество, если оно имеет ту же ощ же мо ность, что и хотя бы одно из его собствен- и ых подмножеств; в противном случае 5 — конечное множество. Весконечное множество 5 счетно, если мож у но становить взаимно одноачное соответствие между ним и множеством натур . альных чисел. Каждое значи о кардинальное число конечного множества тожд ественно с числам его элементов. К дог бгсконечюе лсдмножестт счетного множества счллно, ъединение счетного многкества счетных множеств есть счетное множеств . е числа, соггветстаующие б«с«онечиым м«ожествам, называются ами 1'а и«аль«о« число каждого счетного множества бес«свечными «ардниадьиыми числами. 12«рд «аль« совпадаег с «ар«и«ааьиым числом множытва итгр«льны«ты~ аом И . Миожест«о всех действительных чисел (на«ъг«ожество то« в«счет«о; соотв«тствующ««кардинал»«ое чи ао аом .
и с обозначается снм«одом М 4.3-3. Границы. ( ) Д ств тельное число М есть верхняя граница нли н ижияя г анима 5 соответственно р множества 5 действительных чисел у, если для всех у щ 5„ М. Мн жество действительных или комплексных чисел ограни( б ю границу), если множество абсолютных величин ( 1 ду.
") мо лей чена (имеет а солютную г этих чисел имеет верхнюю гр раницу; в противном случае множество ие ограничено. Каждое (непустое) мно ) множество 5 действительных чисел у, имеюн(ее верхнюю и югани )зн 5, г аницу, имеет точную верхнюю границу (наименьшую верхнюю границу) знр ) жество 5 действительных чисел, имеющее нижнюю ю г ани Га15 .
г винцу, имеет точную нижнюю границу (наибольшую нижнюю границу) Га Р'"""' "" сли множество з кон ч 5 печно, то его точная верхняя граница зир 5 нсобходилю и м 5 равна наибольшему числ 3 числу принадлежащему 5„: щах 5„(максимуму,), и пн'п5. а точная нигкняя граница (п1 53 равна минимуму щ(й Нри мер. Мггожество всех стз х действительных чисел, меньших 1, им«а«точную верхнюю границу 1, ио ие имеет максимума. (Ь) Действительная или же комплексная функпия у=1(х) нли же у= 1(, ...
) о аничена иа множестае 5«точек» (х) или(хз, хз, ..., х„), если ограничено соответствующее множество 5 значений функции у. Точно так ж У чно так же действительная функция у =1 (х) или у=)' (х,, хз,.„, х„) имеет верхнюю границу, нижнюю границу, точную верхнюю границу, точную нижнюю границ, (абсолютный) максимум н(нли (абсолютный) минимум на множестве 5 «точек» цу (.г) или (х,, хз,..., х„), если это верно для соответствующего множества 5 значений функции у, з (с) действительная или кои«лекс«а«фуи«ци«1 (х, 3) или 1 (х, х, ...,«„; ° ) р «ерио ограничена «а множестве 3 «точек» (к) ва«(«, к...,, х ), если абсолю на«е, ыша (модуаь) функции 1 «а«функция от р имеет вер«нюю гранацу, ие завис«щую от х .
в от «1. «3. "., хл на 3 равномерные верхние границы и ра«номерные «ижице границы о«редел«ются аналогично 4.3-4. Интервалы (см. такгке пп. 4.3-3 и 4.3-3). Пусть х †действительн геременное. Множество всех значений х (точек), удовлетворяющих условиям: 1) а(х( Ь, есть ограниченный открытый интервал (а,Ь), 2) а(х, есть неограниченный открытый интервал (а, + оз), 3) х(а, есть нео)раниченный открытый интервал ( — со, а), 4) а х(Ь, есть ограниченный замкнутый интервал [а, Ь[. Замкнутый интервал называют также ол)резком, нли сегментом, или замкнутым пролежит«ом. Мвожества точек (х), удовлетворяющих условиям а х (Ь, а(х(Ь, а(х, хм- а, можно называть полуоткрытыми интерва- лами.
Каждый интервал 11, содержащийся в другом интервале (ь есть частич- ный интервал интервала 1,. 4.3-3. Определение окрестностей. (а) Пусть а †люб действительное число. (Открытая) Ь-окрестность точки (а) в пространстве действительных чисел есть любой открытый интервал вида (и — 6, а+б), содержащий точку х««а, иными словами, множество всех точек (х), удовлетворяющих условию )х — а [ ( б, где б — некоторое поло- жительное число. Окрестность точки х = а есть любое множество, содержащее некоторую Ь-окрестность этой точки.
(Ь) Множества (М, +со) всех точек (х), для некоторого действителыюго числа М удовлетворяющих условию х ) М, есть (открытая) окрестность «точки» плюс бесконечность (+со) в пространстве действительных чисел; множество ( — со, Аг) всех точек (х), для некоторого действительного числа Аг удовлет- воряющих условшо х ( д(, есть (открытая) окрестность «точки» минус бесконеч- ность ( — со) в пространстве действительных чисел.
(с) В пространстве, «точки» которого суть (описываются как) упорядочен- ные множества (х,, хз, ..., ха) действительных чисел, (открытую) б-окрест- ность точки (а,, аз, ..., а„), где а,, аю,.., а„конечны, можно определить как множество всех точек (х,, х,, ..., х„), удовлетворяющих условиям , 'х, — а, [ (6, ) кз — аз(( Ь, ..., [ха — а«((Ь, где Ь вЂ” некоторое положительное число. Окрест- ность точки (а„аз, ..., а„) есть любое множество, содержащее некоторую б-окрестность этой точки. 3 а и е ч а и н е. Оиредеаениа окрестностей, подобные тем, которые были да«м »ыше, нельзя считать самоочевид«ымн, оаи подчиняются л«гщзл«там, определяющим «топоаогическ«е» свойства рассматриваемого пространства (см, также и. 12.5.1).
В частдля неограничен«ых зн«чеиий переменных («ак выше в (Ц ) окрест«ости можно анред«лить ра»а«ч«ыын способами (гак, +о» и — со можно взассматривагь как одну и ту ж«точку наи же ка«д»» разные точ«н; см. также и. 7.2- ). В при«лад«ай ма«ем . ор та«нх определений будет»«висеть от характера те«объектов. которые а- аредста«лены» тачками («) или («, х, ..., «„). Определение окрестностей тесна свя- з«ао с определением открыты«циажест» (н. 4.3-6), областей (н. 4.3-3) н п «делов фуи«- ц а «а рассматриваемом пространстве (и. 4.4.1; см. также п. 12.5-3). р 4.3-6.
иОткрытые и замкнутые множества и области. Все нижеследующие ст анств ~пределения зависят от того, каким образом определены окрестности в пр- Р нстве С, содержащем рассматриваемые множества и области (от топологии о- этого пространства см также пп 12 3! — 12 б 4) (а) Точка Р есть предельная точка (точка конденсации, точка накопле- ния) множества 5сС, если каждая окрестность точки Р содержит точки ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.4-!. множества 5, отличные т от Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
