Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 33
Текст из файла (страница 33)
д. интегралов. 1! р и не р. Есле Π— эбла ть, агралн«енлал а»лржлэстью х'+г' 1, и фрлт(ил / (»э р) = а ласта»«на. тэ ТТ: »а ! ~ /(х, р)а»аэ 4 ~ гх ~ агр 4а ~у) —.Тэ ах=по. о 43 ИНТЕГРЛЛЫ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ]20 гд. 4 дифференниддьнОВ и интегрддьнОВ исчисденне 4.б-!1, !2! (Ы гс и функция 1(к, у) непвермено не множеспсве а кс. +ох, а у р, и интел+ оз уал ) 1(х, у) их разномерно сксдится на интервале а у Р. то а 6 +аз р )ку ~ 1(х, у)кк= ) кх)1(х, у)ау. а а а а (4.3-2З) Аквлогняпые теоремы верны для несобственных нптеггвлов даугнх типов 4.6-9, 4(. Длина дуги спрямляемой кривой (см.
также пп. 6.2-3, 6.4-3 и !7.2-!). Пусть С вЂ” дуга непрерывной кривой, лежащая в конечной части плоскостк нли пространства, Длиной з (С) зтоа дуги называется предел длины лол(анои, вписанной в зту дугу, лри условии, чпю длина наибольшего звена атой ломаной стремится к кулю. Если указанный предел существует, то дуга называется спрямляемой. Для регулярной кривой на евклидовой плоскости нли в евклндоном пространстве, описываемой в прпиоргалькьи дскартовьы координатах уравненвями х = х (1), у = у (1) на плОскОсти [ 4 6-2!) х=х(1), у5 р(1), г=г(1) в пространстве ! ( (п. 3.
]-]3), длина бесконечно малой дуги, соответствующей промежутку [1,1+ д(], есть злелмнщ дуги )'"'+ду'=-~"! -(:-".)'"==1''®'"+Ф)'д(== 2" иа плоскости, уилл+дуя+да = ~/®)'+ ®'+( — ",;)(('д( = б— ,' д( (4.6-22) в пространстве. Знак корня выбирается обычно так, чтобы производная 3' (1) 5ыла — О. Длина дуги 3 (С) кривой, соответствующей конечному интервалу [1, 1[, равна з=з(С)=$ д =$ б— ,'д(=з(1). (4.6-23) С 1, определению равен ]Г [ (х.
р, г) дз = Пщ ~ [ [х (т(), р (т(), г (т;и дг; С снах Ье, а 1 где пз( = )7 [» (11) — х (11 Я + [у (11) — р (1, )) + [г (11) г (1 )[я ( е 1 з С "< (т=Ь; 1е 1(т(АЙ(1 1= ], 2, .„, ш), (4 6 24а) Длина дуги я (С) есть геометрический объект, не зависящий от системы коор- динат и от вы5ранного для описания кривой параметра 1. В пп. 6.2-3 и 6 4-3 приведены формулы, выражающие дз (а значит, и 3' (1)) в криволинейных координагах. длина дуси з (С) сущестеуе и, если функции (21) леляютсл нп Ггю 1] фу„линями ое ниеенкоа вариации; е этом случае элемент аз определен нолти всюду (и.
4 б.(4, щ ко С. Каждая резуляуная кривая снпямляемо, 4.6-]0. Криволинейные интегралы (см. также пп. 5.4-5, 6.2-3 и 6.4-3, где введены векторные обозначения и используются криволинейные координаты) для данной спрямляемой дуги С, описываемой прн а~( =Ь уравнениями (2!), криволинейный интеграл ) [(х, д, г) аз от ограниченной функции 1(х, у, г) по С если предел существует (см, также п, 4.6.!). Криволинейный интеграл (24а) можно вычислить (или непосредственно определить) кзк интеграл по й Ь ~ 1 (х, у, г) с(з = ~ 1 [х (1), у (1), г (1) ) . — й(, С гае элемент дуги йз находктся пз (22).
Опуская в (24) члены, относящиеся к г, получаем криволинейный интеграл для кривой, располол(епной па плоскости Ое(Л Несобственные криволинейные интегралы определяются по спо. собу п. 4 6-2, 4.6-]!. Площади и объемы (см также пп. 5.4-6, 5А-7, 6.2-3, 6.4-3 и ]7.3-3, где введены векторные обозначения и используются криволинейные координаты) (а) Пусть 5 †ограниченн замкнутая область иа евклидовой плоскости. Если точная верхняя граница множества площадей всех многоугольников, (одержащихся в 5, и точная нижняя граница множества площадей всех многоугольников, содержащих 5, равны, то область 5 называется квадрируемой (измеримой по Жордану), а общее значение этих границ называется площадью А области 5.
В частпослн, айяасть 5 ограниченная лроспсой замкнутой осгулярнпй кривой, кзадриррелш. Опъе14 (7 ограниченной замкнутой области ]7 в трехмерном евклидозом пространсгве определяется аналогично. Площадь А ограниченной регулярной поверхности 5 (п. 3.]-!4) определяется следующим образом. Разобьем 5 иа конечное число частей; в каждой части выберем по произвольной точке н ортогонально спроектнруем эту часть на касательную плоскость к поверхности в выбранной точке (и. ]7.3-2).
Площадь поверхности А есть предел (если он существует) суммы площадей полученных таким образом проекций, когда диаметр изибоЛЬШЕй ВЗ Рассматриваемых частей стремится к кулю. к Диаметром множества Е в метрическом пространстве С (п. ]2.5-2), ь частности, в евкллдовом пространстве, называется точная верхняя граница расстояний между любыми двумя ~очками множ.ства Е. и (Ь) Площади и обьемы можно вычислять (нлп даже непосредственно определять) как двойные или тройные интегралы в соответствующих коорди)ытах: А=~ дА=)) йхду в евклидовой плоскости, (4,6-25) 5 5 (7=~ дО=Ядхдрйг в евклвдовом пространстве.
(4.6-26) у у Площздн н объел и не зависят от выбора снстемы координат. В крнеолнвебпых «оор. лпнвтвх хп к', к' (и. б 2-1) ') (4Я-27) (см. также пп 4.3.13, б.2-3 н бА-З). В криволинейных коордш етзх и, с пе плоскости нлн поверх ости (и. 3.1-14) А = [ д А = Ц)са (и с) ли до, (4А -28) 5 5 где а (и, о) — фуннияя, определяемая в п. 17.3-3, с. (с) П Р ест не ч асти ые сл уч в н. Площвдь алоскоз области, огрвнячеивоа прямымн х=а к к=э, где а~э, к двумя крнвымя у=щ (к) н у=щ (х), папчем Ь г, (К) Щяе (К) ПРН а Щ К ЩЬ, РаВНа [ Гг, (К) — г, (Х)] 1Х (А) 0).
ПЛОЩаДЬ ПЛОСКОЗ 1 Здесь 1, г, 3 — не поквзтелн степевн, е индексы. 123 46 ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 4.6-14. (4 6 78) (4 6-30) [(и, о) йА =~~[ (и, и) ]г а(м, п) йп йо, (4.6-3!) и[5]= 1(п! ш[( — Х, Х)П5]; Х -со» м Г51 > о, м [ф) =о, (4.6.36) (4.6-33) где до до дь дй дх да йз ы — йу — — йх. д'о д'о У " (Х' У) дХ* + данг 122 Гл 4, ЕНФФВРенниАльнОВ и интеГРАльние псчнслВниВ 4.6-1г.
области, ограннченноя простой замкнутой кривой С', опнсываенов уравненнямн х = =х(О, Н р (О нлн уравнением г=г (Ф) (п. 218), где Функцвн >довлетаор»»»от долхсыым условаяы, равна А — ф (х — — д — ) гп нлк Л =- — ] г* ПГ) дж лр лхт 1 Г г и! лг) г]* С С о, где символ ф указывает, что ннтегрнрованне прон»водятся по замннутой кривой; А > если обход кривой С совершается против часовой стрелка. Площадь поверхностн А, образованной арап(*ноем кривой в = [ (х) О (а х ) — « Ь» вокруг оск Ох, н объем и, ограннченный атой поверхностью, равны Ь Ь А ги][(х) [/ !Ф ф)а Лх, и=и][[(х)1'Л .
а 4.6-12. Интегралы по поверхности и по объему (см. так)ке пп. 5.4-6, 5.4-?, 6.2-3 и 6.4-3, где введены векторные обозначения и рассматриваются криволинейные координаты). Интегралы по поверхности и интегралы по объему мшкно определить как пределы сумм по способу пп. 4.6-1 и 4.6-10.
Их можно также ввести непосредственно как двойные и тройные интегралы о помощью элементов площади и объема, определенных в п. 4.6-1!. Интеграл по поверхности от кусочно-непрерывной фуикпии [(и, и) по Уховле)ВОРЯ!ошей должным условиЯм поверхности 5 с криволинейными коордннатамн н, о равен С!ода в качестве частных случаев входят и интегралы по плоским облас!пц (где, в частности, возмо)кен и случай и==х, о=у, )ха(и, () = 1). Интеграл по объему от кусочно-непрерывнои функции [ (х, у, г) =[ [х (х', х', ха), у (х', х', х ), г (х', лз, хз)] по ограниченной области У равен 1(х, у, г) йи=])) [(х, у, г) ухйуйг= д(х, у, г) =.]]Р))[х(х', х', ха), у(хг, ха, ха), г(х', х', ха)],' ' йх! йхзйла.
(4. 6-32) Несобственные интегралы по поверхности или по объему (неограниченные функции или области) определяются по способу п. 4.6-2, формулы, свнзывающне интегралы по поверхности и интегралы по объему, рассматри а матриваются в пп. 5.6-1 и 5.6-2. Отметим частные случаи этих формул, связывающие криволинейные интегралы и интегралы по плоской области (С в гранина области 5; обход С совершаешься против часовой стрелки): ~ ~ до Сц Ю ар (г.
р)1 йг[ $ р (Х, у) йг+(~ (Х, у) йу (бюрмула Грина), ~ (пузо — орвп) йг(=4 (и л о а„) йз 5 С (двумерная 2-и формула Грина), 4.6-13. Замена переменных в интегралах по объему и по вове Если с помощью непрерывно дифференцируемого преобразования координат х! =к! (Хг, лх, Хг), х" = ха (хг, хх хз) хз — хз (Х! хх Ха) ~.— "."-', — -." "'1 ввести новые координаты х', хх, ха (см.
также и. 6.2-1), то интеграл по объему (32) можно переписать в новых координатах; ~ [(х, у, г)бр= г)г)г) !р(х', х', хз) йх!ухайха= у =Я!р(х'(Х', х', Х'), ха(х', х', Хз), хз(Х', .т'-, Х!!)) " '" ' х йх!йхзйхз, у (4.6-34) Интегралы по поверхности преобразуются аналогично (см, также п, 1?.3-3). 4.6-!4. Мера Лебега, Измеримые функции. (а) Мера точеча ого множества. Внешняя мера Лебега ш,(5) произвольного ограниреиного точечного множества 5 на прямой есть точная нижняя граница (п. 4.3[3) суммы длин конечного или счетного множества интервалов, покрывающих 5.
Внутренняя мера Лебега ш)[5] множества 5 есть разность между длиной Ь вЂ” а любого ограниченного интервала [а, Ь), содержащего 5, и внешней мерой дополнения множества 5 до [а, Ь] (п. 4.3-2, а). 5 есть измеримое множество с мерой Лебега гл [Я, если ш,[5]=ш([5]=т [5] (конструктивное определение меры Лебега). Йеыраннчелног множество 5 на прямой измеримо, если для всех Х > 0 измеримо пересечение ( — Х, Х) П 5. При этих предположениях по определению полагают мера т [5] может быть как конечной, так и бесконечной. Рассматрнаают н более общее определенне: мера м [51, определенная на подходящем классе (нполне адднтнвной булевой алгебре, и. 12.8-4) точечных множеств 5, есть Функция множества со свойствамн и для каждого «онечеого нлн счетного множества попарно непересекающнхся точечных нпожсств 5», 5ь " л! [5,35г3...1=л! [5,1+л! [5,1+...
(4.6-36) Л1сра Лебега ю [51 тосе»нога множества на прямой обладает дополннтелы ым свойством ж[(а, ЬИ=Ь вЂ” а (4 6.37) для каждого ограннченного интервала (о, Ь); таким образом, мера Лсбега является обобщеннем длнны пнт рвана (ассьомотьчыкаг опргдгагппс мень» Лабаса( см, танже пп 12.!.1, Ш.8-4 н !8.3-3). Л1ера Лебега точечных множеств в пространствах двух, трех... намеренна определяется (либо «онструктнвно, либо акскоматвческн) с помощью аналогвчнььт обобщенна п.южада н объема, (Ь) Каждое ограниченное оглкрытог множество (п.
4.3-6, а) оэнгрпмо. Можно высказать более общие утверждения. Борелевское множество на прямой есть множество, полученное посредством конечной или счетной последовательности объединений, пересечений и!или взятия дополнений интервалов и получающихся в результате комбинаций. Класс борелеаскпх множеств екн!ь вполне аддптпвная булеза алгебра пзмсримых множесглв. Каждое измеримы лгножество гг!ль объединение кгко!дорого борглегского мыохсестго и множгс!лва лгбгговой 46.
ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРИРОВАНИВ 4,6-! 6. 184 гл. 4 диффгрпннидльноп и ингпгрйльнов исчислпнин тб->6. меры нуль. Каждое конечное или счетное множество измеримо и имеет лгбвгогу меру пуль. Аналогичные теоремы справедливы и в многомерном случае. Если хакас-либо свойство выполняется для каждой точки данного интервала, области или множества, исключая, быть может, лип<ь множество лебеговой меры нуль, то говорят, что это свойство выполняется на данном интервале, области или множестве почти всюду (или почти во всех точках этого интервала и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
