Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Бесконечно удалениаи точка (г =со) определяется как точка г, соответствую!цая началу координат (г=о) при преобразовании г= 1,'г. Окрестностью точки г=со является внешность любого круга. 7.2-3. Кривые н контуры (см. также п. 2.1-9 и п. 3.1-13). Непрерывная эривал в г-плоскости есть последовательность точек г= х+(у таких, что г = г (!) или х = х (7), У = й (!) — 7~! .- ) (7.2-2) где х (7) и У (!) — непрерывные функции действительного параметра 7. Непрерывная кривая (или ее часть) есть простая кривая (жорданова дуга), если она состоит из единой ветви и не содержит кратных точек; это значит, что фУнкции х(7) и Р(7) однозначны и в замкнУтом интеРвале [(ы (е] нет таких двух различных значений т, и тз, для которых справедливы оба равшктва х(т,)=х(гз) и У(т,)=У(тэ).
Простая замкнутая кривая (замннутая жордаиова правая) есть непрерывная кривая, состоящая из единое ветви без кратных тачек, кроме совпадаю. щих начальной и конечной точек. Простая кривая илн простая замкнутая нривая называется (простым) контуром, если она спрямляеыз (п. 4.6-9]'). Элемеат расстояния между соответствующими точками г и г+йг контура (2) есть йэ=! йг ]= угйхэ+йуз. 7.2-4. Границы и области (см. гмике пп.
4.35, 7.2-!э н (2.5-!). Геомегрия комплексной плоскости (включая определение расстояния и угла) тождественна с геометрией евклидовой плоскости точек (х, р) нли векторов г=к)+р) для конечных значений х и р, кроме определенна гочки г =- оз(п. 7.2 2) *). Точки комплексной плоскости г пред.
станляют гомсоморфиое (п. !2,5-!) отображение точек сферы с долготой агг л н широтой и — 2 агс(г — (стереогрвфичссчлл ороекиня); при этом точки а =О н а = с соответст. (г 2 эуют протнвоположныч полюсам. Точки каждой простой замкнутой крнвой С разделяют плоскость на лве связные открытые области: каждая непрерывная кривая, содержащая точки обеих областей, содерзяиг точку нх общей границы (теореме )лордаио). Если С не содержит точку а=со, то одна нз Лвух областей ограничена (т. е.
эаходатся елнком в «онечиой части плоскости, где ! а ! ограничен), а другая не огранвчеиа; если С содержит точку л =- со, то обе области ве ограничен т ц — и. В более общем случае граница С области О может быть множество» неперссекаю. гц хся простых кривых (многосвязная область, см. также и. 4.3.5). В зтоы случае полон жичельное направление (положительный обход> граиичяой кривой опредсляегс как я ос авляющее область О (внутренность граничной кривой) слева (прогна часовой стрелки для наружной компоненты границы, см. также ниже рис. 7.5.!).
Открытое мвоьест сг .О з, во точек по одну сторону от граничной кривой С есть открытая область; добавляя я этому множеству точки, лежащие иэ самой границе, получаем замкнутую область. В дальнейшем, если область О дополйяется ее граничными точками, то получившуюся замкнутую область будем обозначать О. 7.2-644. Комплексные контурные ивтегралы (см. также п. 4.6-1 и 4.6.!О).
По определению а ~]( ) йгэы !(ш ~З~ ](5!) (г, г),), (7.2-3а) С шах)з! г! )[ О(=! гэе точки го, гы ..., г„расположены одна за другой вдоль контура С; а=гав ') Неноторые авторы применяют термин контур только к регулярным кривым (п. 3.1-!3). Н «омплекгиой плоскости вводится тольно одна бесконечно удаленная гочка. н просктивной цлосиостн, т. е.
в евклидовой плоскости, дополненная несобственными алеман тамв (бесконечно удал !:вымя то!наин) любая совокупность параллельных пряммх еиопределяет свою бескоиешо удаленную точку', зтн гочки образуют бесионечне удел ную Ш эн)ю.
начальная тачка контура, О=г„— конечная. Каждая иэ точек 5! лежит па участке кривой [г; „г)) и может совпадать с одним из его концов. Из определения интеграла (За] следует, что ) (г) йг= ~и (х, у) йх — и (х, д) йу+(~а (х, у) йх+и (х, р) йу, (7.2-35] С С д действительные криволинейные интегралы берутся по ч о и ноыплскскый интеграл. Сааистна ишлсгралоэ табл.
4.6-! перенося!ися !ТУ )Ц ни рассматриваемые интггралы; в частности, изменение направлеьня интегрирования на контуре С изменяет знак интеграла. Если вдоль конльура С функции и (х, у) и р (х, у) лвлргрыаиы (т, е. непрерывны функции и [х (7), р (!)) и р [х (7), у (7)], где х (7), р (7) — параметрические уравнения контура (см. (7.2-3)), то интеграл (За] с)]и(есл)в!(ет.
Если лри этом длина контури С равна С и иа контуре ,')(г)1~ М, то Если контур С содержит точку г=оэ или сели ] (г) не ограничена на С, то интеграл (3) может быть определен как несобственный интеграл в смысле 7.3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ (РЕГУЛЯРНЫЕ, ГОЛОУ]ОРФНЫЕ) ФУНКНИИ 7.3-!. Производная функция (см.
также п. 4.6-1). Функция ш=-)(г) назы. настоя дифференцируемой в точке г=а, если поедел ) . ) (г ш аг) — ! О) з ' Эа О аг ( ров"'дн'и ]() ) ущ ]е при г= и, от способт стрем пения йг к иучю. Функпия может быть дифференцнруема в точке (например, , г '-' при г=О), на конвой и во всея ооласти.
7.3-2. Уравнения Каши — Римана. Дш того чтобы функция ] (г) = и (х, У) + + ! а (х, у), опредслснния э игла(парой области, была диф!)мрсиг(ирремой э точбыли ди кс г этой области, необхы]имо и достал!очна, чл!Обы фри!к! ии и (х, ) и а(, ) ффсреицируемы ) н той же !пачке и чтобы, кроме тога, вылолийлись е йс.)саия ди до ди дс — — — — — — (уравнения Кшии — Римииа). (7.3.2) дш ди до до ди дг! дн до до (7.3-3) иП ри переходе к полярной системе координат х=г сов гр, у=г э)п (р, где (г чь О): г=',г] и ф=эгйг, уравнения Коши — Римана принимают следующий в й вид Г!Роизводная Г (г) рэвнд Iдн .
до! ( гди до! К(г)= — — -)-! — '= — ' +, Зг) г [,дф др)' *) Т. е. имели полные дифференциалы; дчя этого лостагочно, чтоб» частные произ. водные и, л г, л Э 'х, гз! были непрерывны в рассматриваемой гечие (см, и. 4,5-3), 7( МНОГОЗН(ННЫЕ ФУ)НКЫИИ 203 ГЛ. 7. ФУНКНИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 7.3-3. Аналитические функции. (а) Однозначная функция 1(г) называется аналитической (регулярной, голоморфной) в точке г= а, если она диффергнцируема в некоторой окрестности точки а. огда она п гдста- 1'(г) — аналитмческая в точке а люгда и только тогда, когда а р вима спиленным рядом )(г)= ~ а»(г — а)», сходящимся в нскогпорвй окрест»=о ности тоуюл г=а (равносильцое определение).
Функция называется иналитической в открытой области О, если онз ано. готическая в киждой точке этой области. Отсылаем к пп. 7.4-! — 7.4-3 для расширения этого определения пр)югсиительно к многозначным функциям. нк)ця г г (Ь) ](г) называется аналитической а бесконечности, если функщ)я (г) = = 1(л]г) — аналитическая в точке г= О.
Функ(,ил ) (г) аналити та в бесконсчности тогда и только тогда, когэа » по опг ш агре.гьньг и сгчеона можут бьупь пргдставлсна рядо»( 1(г)=- ~', Ь»г поопгриг(агсе.гьньгзгсг)ге»=о пеням г, сходящинся длл доггпаагочно болыиих зла(гний г г ' (сц. так;хе п, 7,5-7). те г иаы диф»ор марру мор, анахита гоологг, рогуллрнох о гооохорфноь првмевя.
гись ь олпом и том же смысле ролвмми ллгорлмн. 7.3-4. Свойства аналитических функций. Путпь ) (г) — атшлт росная в оглкрыгпой об шоти О. Тогда во веси обхаспш Р: !) урпвнгтгя Коши — )гил(ана (2) удовлепыортстся (верно н обратное утверждение); 2) и (х, у) и о(х, у] — сопряженные гармонические функции (и. !5 6-8); 3) все проазвоуныв функции )(г) суи(гствугот и являюпгсл анплиппумскими функциллш (см. также и. 7.5-1); 4) в односаязиой области Р интегрил ~ 1' (8) й не зависит от коне(да ра интегрирования, если только этот контур иыеет коьечпПо длину н леликом лежит в области 0; производная интсгра,га есть ](г) (с)(, 5) значения 1'(г) на линии или в подоблпспш, целиком лсжаи,их в области О, определяют 1(г) единспмслным образои в юду в О.
Все обычные правила дифференцирования и интегрированна (пп. 4.5-4 и 4.6-!) применимы к аналитическим функциялг колгплексного переменного. Если функция щ=((г) аналшлична в пгочке г= — а и ]'(а] = О, г го ) (г) имеет аналитичгскуго обратную функцию г(ш) (п, 4.2-2, а), определенную в окрестности лычки и=) (а]. Если йуу Е(ю) и ю=((г) — обв анилиглиусские, то 37 ость аналигпг(уггкал функция от г. Если последовательносргь (илн ряд, п. 4.8-1) финкции )» (г), аналитиуггких в открытей области О, сходится рпвнолгерно к пределу ](г) жюдув Р, то 1(г] — аналшпическая функция и паслгдовитгльность (нлн рлд! производных 1» (г) сходится равномерно к 1' (г) всюду в 0 (теорема Вейоргитрасоа), .К. Если функции 1» (г) — авалвтическье ь обллстп Р н непрерывны ь О, та равномерная ололнмость поолеяоьл е оьлтельиостн (нлв ряда) 1» (г) ьо всей ллмлиутоп области б льиомериоа схохнмостн нл грлиыце лтоа обллст».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
