Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Таким образом, целая функция может иметь единстненну!о особую точку прн г =-оз. Если з!иа особенность гол!ь полюс порядка т, гло 7(г) — мяогочлея (целия риц!юяальяая функция) степени т Если г=-со — сущее!няеяяо особая точки, то !'(г) называется цех!ой трансцендентной функцией. Если, наконец, г=со-- иривильяия точки (т. е. 1(г) — ояалилитсгкая для всех значений г), то 7(г) есть константа (теорема .7иувилля). Целая трансцендентная фупкцин принимает любое значение и, исключая, возможно, одно значение, н бесчисленном множестэе тачек г.
м(Ь) Характеристики роста целых функций. Пусть((г)— целая функция я М (г)= гпах (7(г) !. В силу теоремы о максимуме модуля з,'=г (п 7.3-5) М (г) — воорагтоющая фиякция от г и 1пп М (г)=аз, если только с со 7 (г) — не константа. Если М (г)=0(гр), то 1(г) — многочлен степени не выше (!!) (целая чзсть Р).
Пусть ! (г) — целая трансцендентная функция. Если суще!о!вист число () ) 0 ,Р такое, что М(г)(ег для всех достапючяо болыиих г, то 7(г) называется функцией конг!ного порядка. Число р=-!п1() =.О называется порядком целой функции. И Р н и е р ы, е, мп з, соз е — функцяк горядка 1, ся — фузкцня порядка 2, с нс нчсет конечного порядка !целая функцкя бесконечного порядка!.
Если функция !'(г) имеет порядок р и сущсапвуст тело К ) 0 токае, что М (г) (г, то 7(г) япзывастгя функцией конечного тило. Число о= пй К~О Кгр !Пзынается типом цечои функции '! Зта теорема была ранее доказана русскам математнком Ю. Оетачхзм и нталь. янсккм матеыаткком С, Яззеоптжч Отметим, что теорема справедлива для нензолзронанкой особой точкк, яалжсщеяся "репсльяой для полюсов 211 7Л-1. 7.7.
ВЫЧЕТЫ И КОНТУРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 7.(-а. 2РО и= 1!щ !им (г) г со гр р= 1)П! )и!а М а) »ю !нг (7 Е-3) З Агс 7 (г) 2п (7.0-5) (7.7-]а) ГЛ. 7. ФУНКПИИ КОМПЛГКСНОГО ПЕРЕЗ!ЕННОГО Если и ) О, то ) (г) — фуакцая нормального типа, если О=О, то мщлмалы(ого типа. Для функции бесконечного (максимального) тина налетают о=со. Если пределы справа существуют, то !1елэя функция ) (г) называется функцией экспоненциального типа, если опа первого порядка и конечного типа (р=-1, и С со), а также если р (1. (с) Преобразование Фурье и целые функции (см.
п.ц.П-З). Пусть функция )(7) обращается н нуль при ]7! -а. Тогда ее прсобразопанпе Фурье а [) (э)= ) 7 (1) е '" й( — а есть целая аналитическая функция от з экспоненциального тапа яма (р=! и и ма, или р <1), Теорем а Вп пер а — Пал и. Пусть ф(з) — целая функция дхснд!»снциальиаго типа =-а и тикая, цто ~ )ф(х)!гйх <со (интеграл берется по дейсгвительной оси). Тогда существует функция 1(7), равная нулю при ]7! аз а, ПРСОбРаэадалис ФУРЬЕ ХатОРОй РаВНО ф (а).
)( 7.6-6. Разложение целой функции э произведение. Для каждан пссзсдогэтельности точек гт г,, гю .,,, не име!ощнх предельной точки (п. 4.3-6,з) э конечной части плоскости (т. е. имеющих г = со своей единственная прейс! ы:ой точкой), существует пелая функция (» (г), которая своими единственными нудит!и имеет нули порядка т!ю в точках г=ге. Пусть г,=-0, гь нь 0 (й О); сели г =0 ие является пулем, то та=-О. Функция 1(г) мол ет быть предстзалспа а= в виде са ) (г)=гт Ег(з) И ф! — — ) ЕХР ~- — + 2 ( — ' + ° "+ — ' ( — / Ц, (! ГВ) й=) где у(г) — некоторая целая функция, а целые числа гй выбираются так, чтобы Сесконечаое произведение разяомерно сходилось з любой ограни:с;но]! области (тсорена Всйерштрасса; прннеры см. в и.
2!.2-13). чл 1 ж Если носладааатез»ность г, г, , такоаа, что ряд рй — сходится дяя меха. 3 р~л, я!р а =- 1 тарага целого палажятальнага числа р, та асс числа гй можно положить раааымн р — !. если последовательность (ге) пРоизвольиза, та мах.ао азата й = [(н ь] (аслан часть !и ю. )( 7.6-7. Иероморфные функции. Однозаачная функция ) (г) назывэется чероморфной в области [), есяи ее единственными особенностями з [) являются полюсы. Число зтнх полюсов в каждой конечной замкнутой части 0 обязательно конечяо. Полюсы л(агут иллеть предельную точку на травине области Р, В частности, Р люжет совпадать со всей конечной комплексной плоскостью (исключая г=со); тогда в любой конечной части плоскости имеется толысп конечное число полюсов, и едино!пенной предельной точкой для ппл!псов мажет быть бесконечно удаленная точка. Аа едри функцию мара яарфягю а хая»»чаи я»а»настя мам»на яредстааит» а зад атяа!агния дар» из!их фия»п(яй, и !»меющик общих нулей.
и, следа»атея»я«, а аида а!я- яат»яия дарх яраяззяд»яий вила (Т.б-2). Функция мерамарфиая а конечной плоскости я имеющая а бесконечности нразял»- аую точку нлн полюс, есть рациаяая»яая ашебраая»»хая фряхция, представимая в а де отношения двух многочлеиза (см. также и, а 2.2, с). т,а-э. Разложение мерамарфных Фунхпяй яа простейшие дроби (сл», также и. 1.7.(). Пист» ! (з) — фракция, м»рамарфяая а ха»залай яяасяасти и имам»цая яаяюгм с зада т(, яимз з.»асямми частями (и.
7.б-з) У д), Н вЂ” г!) ! в таяяак г=-гь, яисш я»тая !г 1»»! 7= 1 яаяютз ияи бесяаитяа и хатарис я! иазюа! ар»д»я»яыя точек в я»я!»»»з»! засти ят. с». сия, 7'а!да маята яаити таха» маза»я.ияы р, (г), р, (г), ... и целию дгяяци»а с (з), чта т 7(з) = чЛ ~ ь . (з — з ) — р„(г) фг(,) — ! й! ь й г=! Ряд ра.аз ыряа схадия »я» яамдаи азраяяязя»» ! области, а каа!аза»! ] (з) аяаи.ля и»т (а!»ая м Л!!птз!аз-.7»фф!»ра).
7.6лк Пули н пзтосы меромоуфн)ае функций. пусть,((г) — мсрохорф7!ит С!Цехина а некоторой о»угасили 6 и С вЂ” зог!януалый контур, лривадяслсгцЩил »и!гсл! сд свзгй виг!. ц)синосггью об,юсти 0 и пи проходя(ций ни через нуди, пи ц:ргз пояшсы ф»уиш;ии )(г). Пуст» ]у' — число нулей и Р— число полюсов 7 (г), лежа!цих внутри 6, причем нуль ияи сд,иос пипядха т витаса»ся т раз. Т»)г.]и З Ага 7 (г) (7.0-4) 2!из](") з 2л С сел!! Р =-О, в!о формула (4) дал!и число пулей сдс А йгй((г) обозначает !аымнение араби!сита ((г) при обходе точкой г лзъг (ра С в лолдлситслылсл нт»лраляешп! (!!Лип»цип аргулс(лала).
О ула (б) означает я!а ш =7 (Ю атабра»кает движущуюся то!ху г, апас»-аюту ° ата; .," !шятур С, иа дзшауи!у!ося точку »з, аяруллающу!а з ш-ияа,"насти галала .аар. »!»яат»за ко раз, »хая»ха аулей имеет Функция ! (з) ааутрн хиатура С а гила»асти. : зр;уяы (И я (б) игра!ат за»аную роль дяя определения пола»хеиня пулей а пал!а»за ! ы! и лл«ат а асааае геометра юанях зрит»риза изяайяипасти (см. [7.!]). 7.7.
ВЫЧЕТЫ И [чОНТУРНЫЕ ИНТЕГРЛЛВ! 7.7-1. Вычеты. Пусть в тачке г= — а функция 7(х) илн аналитична илч имеет нзолнронанну!о особенность. Тогда вычетом Вез) (а) ') функции 7 (г) и точке а называется коз рфипиент при (г — а) ' в рззложеянн Лорана (7.5-7), нлн ](ез)(а)=- —,. ~ 7 (~) й~, С где С вЂ” контур, окружающий точку а и не содержал!ей внутри себя осабги. настей ) (г), отличных от а. ') В»гюты абознача»отея также Яез Н (з); а] мля Яез ! (г). з а 7.7. ВЫЧГТЫ 14 КОНтУР)>ЫГ ПНТГГРАЛЫ 210 212 ГЛ.
7, ФУНКПИИ КОМПЛГКСНОГО ПЕРЕМБГ!НОГО 7Л-2. Вычет )тев1(оэ) функции 1'(г) при г=оо определяется как 2пг (7.7-1 Ь) — С где интегрирование производятся в отрщ!птсльнам направлении по контуру С (в этом случае внешность контура С остается слева), заключающему вн "три себя есс особые точки 7(г), лежащие в конечной частя плоскости. Зто значит, что г=со является для функции ) (г) нли правильной, нл т „и изолированной особой точкой.
иез1(сю) равен взятому со знаком минус коэффициенту при г ' в разложении Лорана в окрестности бесконечяо удаленной точки. Отл(стим, что ((ев)" (сю) = Вш ( — 21(г)), (7.7-2) г оз если этот предел существует. Если 1(г) или аналитична, или имеет услгранимую особсниасть при 2= а чь со, то йез((а)=0 (см.
также формулу (7,5-1)). Если г=а Ф оз сеть полюс порядка т, то Ип — 1 Вез)(а) = !(ш —,((г -а)т 7 (г)]. (т — 01 з о азт (7.7-3) В частности, пусть э=а~аз — простой полюс и 1(г)=р(г)1д(г), где р(г) и д(г) — аналитические функция в точке а и р(а) ~ О, Тогда О(а)=0, д'(а)~0 и Йев((а) = Р,(', (7.7.4) е' (а)' (7.7-5) ( ((г) йг — ~~ ' ((ез((гь) (тсоРсл(а о еьюстах). йн) > С й 1 С особой осторожностью нужно следить, чглобы «аитур С нс плрссскпл раз- резы для ((г) (см. тзкже и, 7.4-2). 4(если функция 1(м одиознзчиа и знзлнтичнл во всей номплэнсной плоскости, эз исключением только нзолироззнных особых гочс» (иеобхолнмо конечного числа, тзн кзк иначе сужэствовалз бм конечная или бссноисчно улзлснизя предельная точка множестве особых точек), то сумма всех ээ вычетов (вилючзя яычст Пэз1 (со)) разил ггулго.)( 7.7-З.
Вычисление определенных интегралов. (в) Часто можно вычислять действительный определенный интеграл ь 1(х) йх, рассматривая его как чзсть комплексного коптурвого ннтеграда ~ 1(г) йг при условии, что контур С включает интервал (а, Ь) действительной оси. Теорема о вычетах (5) может помогать в таких вычисле нях и н может, в частности, сводить неизвестные интегралы к уже известным. НЕсли бесконечность — правильная точка для функции 1(г), то вычет Кеч((оз) может и не разнятся нулю.
Например, если ((г)лп1,'г, то г=сю есть нуль, а )(гл((со)= — 1. >к 7.7-2. Теорема о вычетах (см. также п. 7.5-1). Пусть однозначная функПггя 7 (г) аналитична и области Р, за искл зчснисм изолирсеинньа жсбых >пояски а замкнутый контур С приппдмжит вигстс со тосей снупгрсипостью области Р, содержит внутри себя конечное число гг, гл, ..., ги особых тагск и нс проходит ни через одну из них. Тогда Рйп ~ Т (гч) ""= й'=О, я- с'я Метод контурного иптсгрнровзиня может дзязть глзвноэ знвчсине ннтсгрзла по кои.и (см. п. 4.в-2) для ) 1 (х) кх, когда сэм интеграл з обычном смысле иэ сужтстзуэт.
Лемма Жордзнэ бывает особенно полезна для вычисления несобственных иптсгрзлов зидэ ) у (х) лгигх ух и, согласно формуле Зйлэрз, иитэгралоз видя Г (х) сот глхах и ) Р (х) з(п тхох зтн интсгрзлы встречаются при преобризозэнии Фурье л. 4.11-3 и в формуле обрзн е. иня для прсобрззовзиля Лэплзсз, п. 8.2-6). (с) соли з — макая-.тибо лолуоспужиослю круга ! г — о , '=. е, лал точто т = о — лрэс. лгой полюс фулччии 1ы), тэ ц гп ( 1 (() (ь = и> Я ел 1 (о).
е о, Это используется, зо-первых, при вычислении иитегрзлов по ноитурзч, «огпа прияос е(с дится огибать. простой полюс (взпримср, прн вычислении 1 - . Сс ло контуру, состояг нгтму из отрезка ( — й, Н) действительной оси и полуокружностей г х) = я и 1 з( = т при Я ю и г О) и, зо-вторых, для вычислена» главного зиэчэння по Коши нскоторыл несобственных нитсгрэлоэ (б) Теорему о вычетах можно применять н ннтэгрэлзм энди 2п 1 Д (сот ф, *(п ф) Уф о где й — рэлионалг.иая функиня от сот гр и з(п гу, если совсрюить подстапозну кф =- — ус, 1 гг г!п р=,— (г — -). э — „иг (7 7-Щ 1', 11 солгу= —,.
(г+ — 1, 7.7.4, Применение вычетов и суммирозаиию рядов. Пусть нонтур С окружзст то гяи г = т, э =т ф 1, з=т-г-2, .„, з.=л, где гп — целое число, и пусть!(х) зналэть гни (Ь) Для вычисления некоторых интегралов вида ~ 1(х)йх следует применить формулу (5) к контуру С, состоящему из интервала ( — П, П) дейст. ннтельвой !оси н дуги С,, окружности ~ г)=гс в верхней полуплоскости.
Следующие леммы часто позволяют отбросить интегралы по дуге С при 71 — Ож 1пц ) 1(г) йг=О, если 1(г) аналит!юла при ' г Ртэ и я- ся 21(г) стремится к нулю при г, ,'оз, к(еда у-=0; последнее, в частности, выполняется, если 1) (г) ~ ( — —, где а )О, прн всех К (тп ' лоствточно балыках ' г '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
