Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 55
Текст из файла (страница 55)
ол ны, конечно, Если г (5) — многозначная функция, то контуры не должны, пересекать разрезы для Е (5) (п. 7.4-2). а аичесинх 8.4-4. Обратное преобразование Лапласа для рациональных алгебраи си ф нкций: разложение Хевнсайда. свиная отно(а) Если г (5) — рациональная алгебраическая функция. выраяс я загнием двух мнйгочлгназ О (5) и ичгм слегпгнь мнйгочлгна 0 (з) гыщг степени многйчлгна О, (з), то е ! [Е '(з)[ ( . 7.7.1) функции Е (з) гз' по всем особым тачкам (пйлв- сам Е(з).
Лля вычисления обратного преобразования Лапласз сй [ ( )[ з звнення 0 (з) р О (которые определяют полюсы Е (з)) 292 — 28 3 — ( — ) (все корни уравнения ньми в пп. 1.8-1 — 1.8-8 или 1. Если 0(5)=аз(з — з,) (5 — 55) .. з — з„все 0 (з)=0 простые), то я » ! — — ", то 2. Если 0 (з)=а (з — з,) (з 5 ), (г з )т Е [г (з)Т=,Е -,~, —,-' ~' "' ',"'"1.'",,'- л эе, ~~~~~ Н»)1 " г» ((~ 9), »=! е=! 8.4. ТАБЛИИЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 8.4-4. 236 ГЛ. 8.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА Т в б и н и а В.Я-\ (с!авдиев«ение) 10З Р)0) ! [с) (! >0) !г [5 Ь' — а* — — 65» ас 2и И вЂ” и ) ( Ь -[-) 5) ! 3'«[У«+а) д.[- а) 1'5-[-ь Ь* —. а' 5 [5 -)-а И 5* (5'+ а'у* 43 ь' — а* (6' -)- ав)' !сов а! соь а! — сов Ы Ьв — а' [5*-! а*) (5'+ Ь') ! [5 — а)* !.Ьь [, — Г)*+ Ьв У5 [5 — Ф) ()' 6 + Ь) (! — 5) вл '!. 'Св — е 5!и Ы ас — вп (3 (2л)1 У"и! 45 ед сов Ы ас (! — «) 5Л ) 5 Зав 55 1-а' 4й" 5' -(- 4а" )' в -)- 2а ) 5 1 )'5 Ьи)'5-)-Ь г (ь) (5 4- а) Ь Р я.
Ь)ь 48 (!г (а1) + !в (и!)] 5 5'+ Яа' ! 6' — ав — — ып а! 55 аг ! 2а' ЗО ! .- — («ь аг — в!и а!) 2»5 33 — (сь и1 — соь а!) ! 2 и* Здь«в [в'+ и')' Ы 34 — е 1,(аг, 1 -й! 35 е (! +2ас] у дс Р— и) св (е — е ) ! Ы а! 2 )!=!в )'5 — а — )'в — Ь вЂ” 'е — ')ва'1 ( — 'а!) ! )'5+ а 35 [ас) 38 Ъ3 ив! (и1) Ув да 1 Ы)о) (5 .1. а«)сг — е ег( (а У ! ) а 40 )г, (5 дв) асс МО )гв (в + а') Т а б л и П в В 4.! [прада«всей»Е) ! 2й — —. [61» а! + аг сов аг) 2 и[ — еа!12 соь — — У 3 5[и а! У"3 аСУ 3 63» ас сь а! — сов .д вь а! [! + ач*) 5!п ас — и! сов а1 ,сл — — — 'п (1",-') - —.л ОЗ п! д! л) — — аеи«С ег1с (а у«1) )гл( + аеа С егс (а ) С) У л! а У'с 1 2а — аД ~ 6Х« 83 У'и! (гд 0 а 3'7 е аь! )г еА« ВА а 1'и 0 ! и-[-а) С [5-1- Ь)'! ) 5 -г.
2а — )г«' 3'««и 2а .1-у'; СГ 5ь;с (3'«Я- а.)- ~Ч) '" (в) !) У« ) «+а ! (3 5 -! г' — 5) У 5 -3- й 58 (У 6' -с- а' — в ) Ы ) О) (5 — У 5' — и«) (в ) — 1) У И вЂ” а* еи с (ь — а ег[ (а У с)) — ьеь с ег[с (ь У с) е" С сг1с (о [РК) — е ос ег! (уь — а )"с) УЬ вЂ” а ей*! 3 — ег1 (и у7) — 1 ~ -[-еЬ*« ег!с (ь у!) [и л! !свлы (Ус) У д (2п-1-1Я е-'),(ая-Ь)! (а — Ь вЂ” ')«е — Ив(а+и! „ ~а — ь! (а — ь,~ Н-'с,(а+Ь)1[! ( — Ь,',+ ~ — Ь (1 —,— Ч« (а-)-Ь) С ! ('~~ — Ь ) сь 5), (а!) — (о!) Ьо" Ь 8.4-4. 238 04 тЛБЛИЦЫ ПРЕОБРЛЗОВЛНИЯ ЛЛПЛЛСЛ ГЛ.
8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 8,4-4. 238 Р <5> С(П (1)0) У (з) (й > 0) (5 — а ) . й -»5 е 5 — — с — <Лсз) 5 15 1 5»и 2 у' »1 Улй 60 —,»Сз »С 511 2 >' »1 1 ггй 79 6! »5 е 5 — Ы>51 О ) О) ! 5!» 62 — е С 0„)о) 1 ли »5 — (Ь) 0) 5 >5 в! »У5 <»>о> -йз 1 — с 5 —,е»У' щ>О> !+с(ЬЯ» ) е — »1'з <»>о> ! „г- е з Нз е — »У5 б>)О> 5 (е»з — а) аз — й 1'з (й) 0) (а+ Уз) — !Ь »з 1 з Вб 67 з (! <- е»') (») О) 87 >Сз (а+у 5) — й)'» И+ а> е >сз <5( ,а) Н (2й, 1) (рис. 8.4.1, с) — 1Ь йз 1 1 з »Ь 1»5 70 е ! 5 со йз 71 — - с1Ь»5 1 3 90 )5>лм! й Из с!Ь— 55 + »' 2» 1 78 дз (а У(з ЛЛО»8 9! 74 (2+1) (! и5) — (»Сз) — — » У 5'+ аз е 5 — е 92 ссз 2 Уй( ! У йс — е — <»)5) ,-» УГН: аз,— Ь вЂ” сЬ 2 уг»1 11 лс е»>5 1' 5 з (! —,е»5) 25 т е б л и и в ВЛ.! (прадалжспис> — — '1»,с (ап Г<»> ('за С О, если 0<1<», 1, если 1)» О, если 0«1 <й, 1 — й, если 1)» < о, если 0«1< й, , если 1)» Г (и) 1„если О <1 <», О, если 1>» 1+ (1/й) =-п, если (п — 1> й<1 < л» (л = 1, 2, ...) (Рис.
8.4-1, а) О, если 9<1«», 1 + а + а -1- ... + а З п-1 если п» < С < (и+ 1)» (л = 1, 2...,) М <2й, 1) = ( — 1>п С, если 2й (п — 1> < 1 < 2»П (п = 1, 2, ...) <Рис. 8 И), Ы и 1 1 ! — ( — !) 2 2 — М(», 1>+ — - —, если (п — 1)» < 1 < пй Р (1) = 2 (л — 1), » <2п — 8>»«С«зп — П»<1)О> п М (2», 1+зй)+ ! ! -1- ( — 1), если <2п — З> й«С < (зп — и» (1 > О) У (1> =2п — 1, если 2» (п — 1) «С <2»п 51п<, ЕСли (2п — 2) и <С < (2П вЂ” 1) Л О, если (2п — 1) и<1<2пи Я, (2 У'»1) У з* -,'— аз — й У М вЂ” аз е — » 1' з' + а' — з <й> 0> табл»»ла 84 ! (прада»жели > Улс 2 ~С вЂ” ' елр ( — „, ) — й еис ( — ) †» ее*С ег15 (а >'1 .(- 2 УС с + ег1с ( — ~ са» еа'1 сгсс (а >гс .! < О, если 0<1<» а 1 1* — »'), если 1>* — ы (2 О; если О<1<» 7» (а >с!* — »'), если О, если о<с <» 15 (а >ест- »*), если 1) С, < О, если 0 < 1<», — 75 (а >гг' — й'), если У'1* — (,5 < О, если 0<1<» 1» (а У 1» — »5), если Унз:и 241 8.4-4.
ЬЛ.4. ГЛ. 8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 1 а бл и ца 8.4-! (прада висели ) Т а б л н ц в 8 4-! (лродслясглгге) Р Гв) 1(Г) а>О] !(!) (!>О Р (5) =е ег(с ( — ) 1 Ь'75 В 5 5 7 Р и! , е — АЬ'П-г- а* ПЬ О, если О "Г <Е (Л вЂ” 45) 75, если 1> А Г' (1) — 1п 1 [Г' П) = — 0,57721 1 — )п 5 5 К, (еа) Кв (Е )гв) П6 — еяр (- — ) — — (па (й>0) 1 58 )П вЂ” Р ! (Г + 24) 1 4 [1п а — Е1 (- а()1 сов 1 Я 1 — 5)п Г С) Г 1 45, — е К, Гев) 5 — (а) О) !па в — а 118 1 ( Ав) = К, (47'5[) 1 ) 5 110 — 5)п Г Я Г вЂ” сов Г С( Г Ке (2 р'24! ) 12О 100 [Г ПА — П1 Е', еел я О < ! < 24 О, сслн Г ) 2,5 ле Е'1. 145) в — а )п 5 — Ь 10! пе ) (45) — )п (1 -1- 4'55) 5 102 2 )и а — 2 СЕ (аг) ' (п (55, ав) (а > 0) 5 1 — (а ) О) !+а !03 ! еп — е Е! ( — а5) а5 — [а( )п а -г- 5)п а! — а! С) (а()1 2 и — — 1п (в' + а*) (а > О) 1 )» (а > 0) 1 ав — +ге Е)( — ав (! со5 аб 2 вв.! ав !п 55 12Ь вЂ” (! — св аб 2 5 а )п 55 106 -- 5)п И А агс!6— 5 !07 1 А — а гс(6— а в Ь! (ЬГ) д) е455 ег1с (Ав) (А) О) 109 ег! (-„— ) [ 4555 -- е ег(с (Ьв) (Ь)О) 110 (л, 6) е Ав ег!с )545 (Ь ) О) )П Л[« (б, 01 сг1с (У Ав) à — е ег1с ()745) (А ) 0) )ге 112 ег( ( — ) ! ГЬ !П 5 55 -1- ! 5 )п 5 55 .1- 1 — !п (1 + Ев) (Ь ) 0) 5 О.
если 0<1<4, — l (а Р'Г* — А'), если ! ) Ь вЂ” Е) ( — — ) — (е — ва ) ! 2 С)( — ) УЬ л)г! .! -1- 4) О, если О<!<А (п1) 75. есле Г) 4 1 р и (Г + А) — '- 5(п (24 )гг) гсг 6« тАБЛИДЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА < 4 †.
если О < Г < 24, А )гг (24 — О О, еслн Г) 24 Рнс, 8.4-1, Грабгикн оригиналов к пвобралгеггнян 65, 67 — 69, 71. 8.4-4. 249 888 ГАБЛИП44 ПРЕОБРАЗОВАНИИ ЛАПЛАСА ь ь ь ь Ю ь + ! + ! ь ь !! ° ь 38 + ь'!"„ !! !! ь ь ь о 4 ъ + ! ь "4 ! !! ь! + ь !! К + ! Е ь -!-1! + 1 ! !! ь !! "С ь! ! ь ! ь Е ! ь ! ь ! ГЛ. 8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА' + 'с + + 'ь +ь ь +ь ! $! И ь Щ + й3 + ь ;~.= + +ь +Е Еь ! + ! !! ! 43 44 + й + ° с + б.4-4. 250 25! 4,4 ТАГЛП1ПЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАС.
В.4-4. Л ь Ъ + ! 4 3 ! ь!ь 3( и С + 4 .~", +ъ ! !! ! 41 Ъ + 3 +3 + Ъ Ъ + ,ь ь 3 + 3 3 +-!- + Ъ + "ь 3 ! !! М + ь +ь Е ь ! ь !! !! ь !! !! 41 „+ ++ ь ь Ъ + + ь ! + + ъ + ! 3 "з + ГЛ, В. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 3 + -Н 33 4 + ь +! ь ью Ъ «+ "ь 3 ь4 ВЗ 3 + ! ь ! 3 ь + В -!. ь ЬО ! Е +„ + ". 3 + 44 + '< 3 + Е ВВ 3 о 3 ! 3 ь ь -~ъ 8Л-8, 8.4-6. ГЛ. 6. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 252 Лусть »=01 почти я, более общий случай: (!) 0). Г(з)=-,'+-,;,*+ (8 А-5) ! 'Е] с, р (з) = — Т вЂ” (Пе а ) 0) 3 (мз 5 > =0 то с (Г(')1='" ',У, — »1" (!) 0>, Г (» 4-а> » = 0 (8.4-8) В честности, если ряд слева сходится, то я — о а х 3 — аа+ /.
(зл-!0> Г (з) = ~ "«(з) »=О (Щ Иногда удобяо получать обркткос преобразояаяие Ляпласа в случае кратных карнга уравнения О В) = О прямо предельным переходом, ведущим к совпкцеиню рззлкчнмх простмч корней (см. также табл. 8.3-1, 7), П р и м е р; (с] К о м и л е к с я ы е к о р н и, В формул«к (2) пары членов, соотяетстяующкх комплексно сопряженным «ариям в=а ч- !и, можно преобразовать следующим образам (см. также п. 8.4-5]: (А +,В] (г сач!ю! !+ (А — !В] (гс'а !и! 2А!"е сохи! — 2В( с з!и и! = я/геа! з!а (юг+ а) =я!"еа(соз (а!+ а'), ф 4.6> А, В Я = 2УА*+ В', а — згс18 —, а'= «гс! А, В, д, а а а' все действятельвы, есле козофяцкенты многочлеиоя О, (з) н О (з) дей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
