Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Многие свойства деугтоаачнгго преобразования Лапласа просто получаются из аютеетстзующих свойств одностороннего преобразован(т Лапласа. В частности, Х [[(О]=Х [1(1)], если [(1)=0 для ( щ0, (8 6 2) В ХВ [[ (!)] = Х [[(()] — г, если [ (1) =с для ( с О. (8 6 3) (Ь) Значения обратного преобразования Х= ' [Е(з)] ие обязательно равны нулю для 1 с О, тзк что,ХВ 1[у (з)] существует для более широкого класса функций Е(з), чее Х 1 [В (5)]. Если дино изображение е(з)=Хи[[И)] (а, соса,), то длл каждою значенил 1, имеющего окрестность, з ка!порай [(()-функция ограниченной гариации, а, +а( [ (1)= —. 1(щ ~ Е(з) е'1 йз=- ][(1 — О)+[((+О)] (86 4) Зн( Л са а,— щ (теорема обращения).
Теорема обращения для одностороннего преобразования Лзплзса (и. 8.2-6) может рассматриваться хак частный случай формулы (4). Двустороннее преобразование Лапласа и его приложения деталыю рассматриваются в [8.3]. 8.8.8. Преабразоьанке Лапласа в форме интеграла Сткгтьеса. Преобразование Лаан«се в форме интеграла Стнхтьесв дает за»иажяа«ть армул р сф мулкравать в более общем виде многие теоремы обыкновенного а еаб а»аванкк Лапласа (си.
также и. «Л-17). р р другие функциональные ь ые иреабра»азанке, прввеяекные в табл. 8.6-1, также могут быть з»оксаны в форме ввтетрахав Ствчтьеса заметим, чта Г (») ы-т ма««ка прел«таенть в фарм» (5), ке употребляя кмпульскых функцкй (в. 8 5-1), преабраювавне Лапласа — Кврсана (табл, 8.6-1,!) вваглв употребляется Агк аалабнык целей. Ю г- ы ч а ы и Ю и и 4 ы о Ф о ч ы » о, О «а « о о. ч Л ч '» Э и и » » ы ы ч— ы о' м ы ы ч о ы ю а о:ь о. о ч и и Я а о.
Гл. а. пРеОБРАзОВАния лапласа Таблица Злт Преобразования Ганкеля (<0 =1 ° (<и з зм>зь О (<'>=) '((<>./ <зцл! О <а* — г'>. о<!<о О г)о 4о 2с* — lг (за) — —,!, (зе> (и — в — р(з зз з 4р Мр>»зт! ,н -в,-рс зиг ('/ -' нм + /2> зп+ Г (', з — Н/2 + пг/2! — р! ] 1<!) >2 <з(> ЛЦ О Оз < Оз> — '/з О ! 2 .„), <З.б-)2) О ~ р (зз + о > /з (<з) / (зц Лз = -; [! д — О) 1 О м" (<г>-1=2„+,/ <зог*ю, О + / (! + О)1 -р! с (3 1. ре>г/з р со ! (з) ,! 1 , / (зг) м аз = 5 з(за+Па)/з -рг з (зз + рз) — "з , Преобразования Гаикеля и Фурье — Бесселя.
б. Определение и теорев!ы обращения. И р я Пнтег алиное орсо е з = ! (.1 з! д( (8.6-6а) ((з) — тГт ]! (з/] — Ют (! (з/ ] ~ У() т ( ) (преобразование Ганкеля порядка т), — действительная функция и зт (2) — функция Бесселя порядка п> 8-1), существует в смысле абсолютной сходимости, д ( ! )()! уст. Если, кроме того, ! (1) — функция огранииенной вариации е окрсстюогки (, пго иметп песню формула обращения 1! (()зт ] 1 (з)в ут (а() дз= — ]1(( О)+)((+О)] (86 БЬ) Ь (ю) — 1/2) (амодема обращен я Ганкелл), ая определяет обратное преобразование единственным р об алом в пинке ывности. Свой ст за и реоб р аз о в а н и й Га н к ел я. Отметим следу щ ю ие щения (8.6-7) К.]](.(); в]=~К. 1((();-'.1, Кт ~ —,' )(()1=,— '(БГт >У(()]+Кт+>У(()]), (86-8) Жт()'(П]=2'— „,((т — 1)Ю 4>У(~)] — (т+1)® -в]](П]] (860) ыГт (! (з/+ ! ! (О !» ! (з/ 1 з тз' т]! (з/] (8.6-10) сс ьз вЮт]](()]й," ]дЩ]дз=~ (((()д(()д( (и~ — 1/2) (8.6-11) 'о (пморема Парсееаля для преобразования Гаккеля), амеры преобразований Ганкеля см, в табл.
8.6-, .6-2. азованиа Фурье — Бассзла <сн. гантели.218>и2(а2). щие парные интегральные прес разоааии б ииа связаны с иитсгральиын преьбразова- анксли (б) ( <т ! 2 „.>. (З.б.)З) ' П<! — о)+((с+оП тсгральиых ирсобрааования ьтиьсатса к париыньрссбразсзааизиФурье Бесселя!. = О Фориулы (13) сводятся к синус-преобразованию Фурье. Д ГИЕ ФРНКПИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИИ 260 > з Г (т/2 -<- Н/2) 2 вн/ +т/вг(1( т) ( 2 2 +1 4 ) 2"5 Г (Н/2+ т/2+ 3/з> Г (1+ П/2 + т/2) (л+ з)н/2+~/24. /, х х,р, / (г 2 2 + 2 ' 2 2 ' ' з' + о'/ з.т-ц вона.
гл, ж пгеовплзовлние ллпллсл 260 261 Т а б л к ц а З.б.з (лрадаааааниа1 Ф(х)= ~ Ч'(х, й) байр (й). (8.7-2) 8.7, КОНЕЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЪНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ, ПРОИЗВО)(ЯШИЕ ФУНКЦИИ И в-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 8.7-1. Ряды как функциональнме преобразования. Конечные цреобразовання Фурье н Ганкеля. Конечная сумма илн сходящийся ряд Ф (х) = ~ !» Ч'(х, Д) (8.7-!) п едставляет функциональное преобразование функции (последовательности) )вы!(д), определенной на дискретном множестве значений Л=О, 1, р д Заметим, что для некоторых !а и Ч'(х, и) этаг ряд можно записать как интегральное преобразование в форме интеграла Стилтьеса (и. 4.6-!7) Ряды (1) и формулы типа (4.10-5), (4.! 1-6), (7.5-4) и (7,5-7).
определяющие коэффициенты !а по функции Ф (х), составляют соответствующие взаимно обратные функциональные преобразования. В табл, ВЛ-1 приведены соотношенин для коэффициентов рядов Фурье и рядов Фурье — Бесселя, рассиатриваемых как интегральные преобразования с коленным интервалом иатегрирования (конечные интегральные преобразования). В каждом случае приведено преобразование подходящего линейного дифференциального оператора второго порядка в связи с применением метода интегральных преобразований для решения краевых задач (см.
пп. 10.4-9, 10.5-8, 15.2-4, 21.8-4, д и [8.5)). 8.7-2, Производящие функции. Если фувкционалшюе преобразование (1) имеет вид сходящегося слмлгннасо ряда 7 (з) = Х Твэла а-о и а Ю Ю ,„с» о о. Л Ю о о о о. о и о о Б н ц о и й .а ю о. Й о и в,а й о и а о в о о ая а и о ц ! а о 8 в о н 8 а 3 а й о ы гл. а. првоврлзовлннв лапласа зл-з. 5 Х о с и о Для ннх производящая функция Е' (4) = Ег (ЕР) = ~~ 7' Е лг. 44 м о ! м м !' аа м м о 5 з к я м йл м м о й О и м к к О и ч м о о м м а й о .с вт.
конвчныв интггральнын прговразовщгня то у(з) называется производящей Функцией для последовзтельности к -' "- писнтов )аз— н / (й). Функция сти козффноз уе(з)=.Е а".*' (8.7-3) а=о называется знспененцнальной пронзводящей функцней. Применения н свойства производящих функций см. в пп 18.3-8 н 18,7-2. пнимн П р к и е р. Чнсла Фнбоначчн определяются рекуррентным соот и ноше)а=)а г+(а, (4=-2, 3, ...).
(8.7-4) ! 7(з)=. н =1+з+2зз+Зтз+бка+8за+... (8.7-5) 8.7-3. г-преобразованне. Определенне н формула обращення. г-а капнем последовательности " а ,"а называется функция комплексного цеременного разе' (!а! г)=Е (г), определенная рядом Я()»! г)= — Ег (г)=го+ '-+ ',+... (~ г) г ), (8? 6) сходящимся (абсолютно н равномерно) вне некоторого круга ради са г, зависящего от данной последовательпостн. Так, еслн ~)а , '~ Иез", то ряд (6) сходнтсн при ~ г , ') е". Подразумевается, что область , 'г ' ) г определения функцни Ег (г) расширена с помощью аналитического продолженвя, как и в и.
8.2-3. Соответствующая формула обращения нмеет внд ! )а= — —.~ Е (г)гз !с(г (л=0, 1, 2, ...), (8.7-7) с где С вЂ” л!обой замкнутый контур, окружающий все особые о ф Ег(г), в частности, любая окружносгь г,) г . ооые точкн ункцпн о' Значение ннтеграла (7) часто удается получить с помощью т "орсмь ( ..7- — 7.?-3). Если Е (г) — рацнональная функцяя, то кожно пользоваться разложением на простейшие дроби (как в п. 8.4-5'. Об особенно п с = "е росто, если Е (г) может быть разложено по степеням 1Уг. .
- ), ращение В табл. 8.та..7-2 собраны важнейшие свойства г-преобразования, Их п нлор ' разн стных уравнений н к аналазу систем управления прнлого выборочным данпьш приведены в п. 20.4-6; там же обе'ждается я. ы ду г- реобразованием н преобразованием Лапласа ступенчатых функпвй. В табл. 20.4-! прявсдены некоторые г-преобразовання.
з-праобразоаамиа сепзапм с орсобразоаанием моллона пз таб . з.б.!. 3 связь мсзс у степеппыми и л ° . аматам, что р дам» и преобразованием меллчпа аналогична сааза между Р ми Лплозла ~~„(аа и пРеобРазованием Лапласа. здо ч *з а=о ХЗамена пе емен 1' 3 мена переменной г=е! пркводнт к днснретному преобразонанню Ла- пласа 264 ГЛ. В. ПРЕОВРАЗОВАННЕ ЛАПЛАСА Т а б л н ц а 5.7-2 г-преобразование (иэображение) Номер теоре.
мы Последовательность (оригнкал) Операция 9.1, ВВЕДЕНИЕ Лннеаность (а, () — по- стоянные) а Рг (г> -1- б Ог (г) а)ач йаа г Рг (г> — (ог, Е)),, (,-1,2, ...> Опережение (си. п. 20.4-П г-1 г Рг (г) — гг 1;г (=о )а-г (г=1, 2, ...) г Рг (г) Запаздывание (г — Н Рг (г) — (ог, г — ! — Рг (г) г Конечнме разности см, п. 20.4.1) исходящие (правые) $ азы ости осходящие разности (а+1 1» = А)а (а — )а — = р)» ЯР Рг (г) г г — 1 Сумммроаанне последо- вательности ~", 1(аа ! Г=О Свертка последователь- иостеа Рг (г) Ог (г) Ппз Рг(г, а) а а « гп 1,(а> а о Непрерывность (а ве зависит от а и г) д — Рг (г, а), да д — 1, (а), да Дифференцирование н интегрирование по параметру а, не завися.
щему от а и г а, ( Ргш,а)да а, а, ) 1а (а) да а, «щ Рг(г), г ю (и Низ 1 а оэ Предельные теоремы «щ (г — О Рг(,) г 1 — г — Рг М), вг а(, Ег( „(г = 1, 2, ...) )О Дифференцирование нзобрюкения — г в,г(»г '1„: г] Соответствие операций прн г-преобразовании Следующие теоремы справедливы в области абсолютноа сходимосги преобразования; все пределы предполагаются существующимв (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
