Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 59
Текст из файла (страница 59)
(Ы Контантиые преобразования (см.тэкжепп.10.2-5,10.2-6и Н.О-З). Замена переменных «(Ю У, Р) У Р(Х У Р) (Р=,( ) прн условии (О.2-9Ы определяет контактное преобразование, сопаставляющее линейные элементы х, у, р н ду ду ау дк ду др ду к,у, р=— дх дх дк ак дк ду йр таким образом, что лннейиые элементы, образующие гладкую дугу, отабражаютск яа гладкую дугу я касавае дуг сохраняется. Контактное преобразование мажет быть задано формулами р=р(х, у, р>1 — '' з.01, [д(х,у, р) 1 д (х, у, р) (9.2-9»> (9.2-9Щ «=х(к, у,р), у=у(к, у Р) прн условии ау — р ай=я (х, у, щ (ау — р аю [я (к, у, Р) ~ 01. которое преобразует данное дифференциальное ураенеиие (6) е Р(р, рх-у, «) =а. (9.2-1 1) Ураенение (и) может оказаться более простым, чем исходное.
Если его решевие будет найдена, то решение искоднога уравнения получмтся обращением формул (10), 9.2-4. Рещение специальных типов уравнений первого порядка. (а) Следующие уравнения интегрируются в квадратурах; Уравнение с разделяющимися переменнымн у'= [» (х))ге (у). Общий интеграл ) )з (у) Ыу=~ [1(х) ух+С. 2. «Однородноеэ уравненйе первого порядка: у'=[ (у[х). Замена 1(у) — у у=у[« приводит уравнение к типу 1: у'= —.
Прн этом формулм р = Уу/ах и р = ду»ак энвизалентны. В частности, я (х, у, р).= — ! дает легко обратимое контактное нр»сблизи»аню уг»- жандра «=р, у=рх — у, У=«, (9.2-10) 3. Уравнение в полиык дифференцналак есть уравнение вида Р (х, у) с[«+(С (х, у)»[у = О, (9.2-12) где левая часть представляет собой полный дифференциал »[; значит, что выполнено условие . — =— — (п.
5.7-!). Общий интеграл ду дх х У »р (х, у) = =3 Р (х, у) ух+ 3 () (хщ у) с[У=С (9.2-13) х» у» ('-'-, '-' Если левая часть уравнения (!2) не является полным дифференциалом а — ~а— ), то можно найти интегРнРУющий множитель )1=9(х, У) так й, чю множитель произведение р(Р»(х+(3 с(у) будет полным дифференциалом. Иитег ир й р (х, у) удовлетворяет дифференциальному уравнению с частнымв ри ующи производными /дР до ( ди дн (9,2-14) 4. Линейное уравнение первого порядка у' +и (х) у =[(х) (см. также пп.
9.3-1 и 9.3-3) допускает интегрирующий множитель р=!1 (х) =а( Общее решение у = — ~ ~ / (х) р (х) ([х+ С]. (9.2-15) Некоторые уравнения первого порядка можно првзестн к одному нз указанных тяпая азмеиой переменных (и, 9.2-5), В частности, уравнение ' = [ + р Н тяну 1 ЗаМЕнай уж а« + Ру. Уразисвнс у' Г ' + Р У У' П Н а Р— Р щ О приводится к типу 2 заменой х = к — к», РР— у» (параллельный перенос асей координат), где к», Р» — точка пересечения прямых а к -1- р у + т, = 0 и а х + р у + т» О. Если же а,й, — а»Р» О, то ато уравнение приводится к типу 1 заменой у = а,х + Р»у, Уравнение у' = [,(х> у 1 [»(х) у » (урианение Берну«»и) приводится к типу 4 заменой у=у "(»»Ы1) (Ь> )1 Если уравнение первого порядка дано в виде у = » (х, у'), (9,2-!6) то иногда оказывается удобным проднфференцироаать обе его части по к я пол чнть дифференциальное ураазеняе относительно у' (х): я олучнть а» а» ау (9.2-17> удается решить н найти у.
„. (х я У Дапвас УРааисипс (16) позволяет найти нском ю фу 'кцн ( ) О«умается э анде и (х у ) 0 сля реже Э ПаРаМЕтРИЧЕСКай ФОРМЕ ЧЕРЕЗ Паоаметр р'= у » и (х, О) = О, у = » (х, О> "вена УРеэнеине х=» (У, Р') ДнффеРеипиРовеняем по у прн у --д5+ д — ау с независимой переменной у и нанимай функцией у' (у>.
У У П р и м е р ы. Диффгигнчиагьнт уриинение клеро у = у х + [ (у ) имеет оби(ее решснае У4 охф[(с\ н особый интеграл (н параметрической форме) х= — )' (Р), у=- — оу (Р) -)- Диффергнииа»»нас уриенсние лагранжа у = «[ (у') .1. я (Р') приводится к урависияю ау' у'=[(у)+ [«у(у)+я' (у)] — „; записав последнее в виде [[(у) — у] —, + [' (у) «-1- а.с ' ду "г я (Р') = О, получаем лниеАиое дифференциальное уравнение относительно х (у'>. (с) Уран пение Р и к кати Общее ура»пгниг Риккати а (х) Р'+ а (х) у + с (х) !Ч 2.16) у " — ~ — + Ь (з) ) у' + а (х) г (х)у О, г а'(х) а (к) (9.2-19) ! 1 У =+— х«у аз дает гу — — — зг, —.(-а уз Ь х лх (9 2.22а) (9 2 22Ю гдв Ь,— а .— 'и+4 а — , 'б +а! +з т+з При а <О подстззозкз ! х= х т+1«у= 270 гл.
е. Овыцнбвцнныц диффпрцнцидльнып уРАВнения г.з-в. зиогдв упрощается подстановкой у 1/у, Звмеиз у' х х, у а(з) у оризонит к ояверодиему кизейиему ураззеиию второго порядка етзоситегьио у у («и Вслв известно оаио частное решекие уз (к) уравнена» (1а), те подстановка у-у (х)+= У приводит к ликейвому диффереиизззьзоиу урззиезию Всзз известны дза частимз РЕВ1ЕИКВ У,. Уз КЛИ тРИ ЧаетИМХ Рвювзна Уы Ую Уь то ИМЕЕМ Юзетавтзтзввзв Уз Уз д (у — д)+Су (У вЂ” у) (9229) У=у«+ у- 1+СезР (а(х) (Уз — Уй Лх ' (У« — Уз)+С (Уг — Уа) Для любых четырех частных решений уь у,, уь уз двойное (ззгариозическое) отзешеззе УЗ 1 УЗ Уз постоязио.
Уз У« Уз — Уз Сегииалзиое уравнение Рикзати у'+ ау* Ькт (9. 2-21) при г1= 9 относится к типу 1. а прз т — (а=.г.(, 4.2....1 прззедзтсз к з Г 4Ь том 1 — 2й ткну путем й-кратного повторении одиой ив указанных изме подстазезок, при з> О подстановка х .т+3 ° б з(б х у+ в+1) дает граззеизе (22а) с --,а',, =- т+! (9 2.22«) )! Накоиек, при т = — 2 урззиеззе (21) приводится к типу 2 поистзиезкой у= 1( у Миогечиглеикые примеры спеииальимз типов дафферезцизльимх уравнений приве. деиы з [9.4!.
)4 9,2-5. Общие методы интегрирования. (а) Метод последовательных приближений Пикара. Для интегрирования дифференциального уравнения у' =! (х, у) при данном начальном условии у(хз) =уз выбирают некоторую начальную функцию у (х) [!', и вычисляют последовательные приближения искомого решения: у[)+'! (х) =уз+ $([х, у[(1(х))йх 0=0, 1,2, ...). (9 223) О Этот процтс сходигпсл ари выполнении условий п.
9.2-1. Метод Пикара осо- бенно удобен, если интегралы и формуле (23) могут быть вычислены в вамкэ '"' нугой форме, хотя в принципе можно применять и численное интегрирование. 9 З. ЛИНЕИНЫЕ ДИффГРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 2У[ Вполне аналогичный метод применяется к системам (3) дифференциальных уравнений первого порядка. (5) Разложение решен и я в ряд Тейлора (см. также п. 4 104). Если данная функция г'(х, у) дифференцируема достаточное число раз, то коэффициенты у'т'(хз),'т! ряда Тейлора у (х) = у (х ) + у (хз)(х — хз) + —, у" (хз) (х — хз)з+... (9 2 24) 1 можно получить последовательным дифференцированием данного днфф цнального уравнения: у' (х) = 1 (х, у), д! д! , д! д! у" (х) = — — + — у' = — + — ( (х, у), дк ду дз ду и последующей подстановкой х=х, у=у(х„) =у, Аналогичный метод применяется к системам дифференциальных уравнений первого порядка.
9 3 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 9.3-1 Линейные дифференциальные уравнении. Принцип наложения (см. чанже пп. 10«Ф2, !4.3-1 н 15.4-2). Обыкновенное линейное дифференциальное уравнение порядка «, связывающее действительные нлн комплексные переменные з н в = в(г), имеет вид лю «-1 1 и« ==- аз (з) — + аз (г) + ... + а (з) в = ! (з) . (9 3-1) Лгтз Обиыг рги!гииг урагнгнич (!) есть сумма каха о либо гго частно о решгиил и сбилгго решения пютагтгтгуюи(гго однородного линейного дифференциального уравнения Лгю в !лг ь— п а,(г) — +а((з) — „—,+...+ а (г) в =О. (9.3-2) По отношению и неоднородному уравнению (1) уравнение (2) называется вриведеиным. Если в, (з) и вз (з) — частные решения линейного диффгргициалвиого уравнения (1) для правых частей ! (з) :=11(г) и 1(з) ==)з(з) соответственно, то а в, (з) -(- () в, (з) будет частным решением уравнения (1) для правой чампи 1 (з) = а Й (з) + р !з (з) (лрияцил наложения, супсрлозиции).
В частности, каждая линейная комбинация решений однородного линейного дифференциального уравнения (2! также является гго рсшсиигм. 4(Очевидное решение в ив н 0 уравнения (2) называется не лгвыч или тривиальным. В дальнейшем предполагается, что все функции аз(з), а,(з), ..., а«(з) н ! (з) непрерывны в некоторой области [) изменения независимого переменного, причем в точках этой области коэффициент аг(з) не равен нулю. Точки, е которых а,(з)=-0, являются особммн для уравнеяия (!), М 9.3-2. Линейная независимость и фундаментальные системы решений (см. также пп. 1.9-3, !4.2-3 н !5.2-1). (а) Пусть в, (з), вз (з), ..., в, (з) суть « — 1 раз непрерывно дифференцируемые решения линейного однородного дифференциального уравнения (2). г г решений вь (з) называются линейно независимыми н [л, если ~'~ йа вь (з) нн 0 Ь=! 272 гл.
9. овыкновенные дифференциальные У~йвнения в «) только прн )«! еж де=...=)«,=0 (и. 1,9-3). Заю имееп! место тогда и !полька тогда, когда определнтель Вронского (вронскнан) в)(а) вз (а) °" вг И) в 1(г) в) (') " вг (') И" [п»з,вм " юг[= (г — 1) (г — !)( ) (г !) (з) й-либо то (9.3-3) отличен вп нуля всюду а О. Равенство И' 0 в како чке х нз 0 влечет за собой тождество И'= 0 лля всех г ыз «) '). (Ь) Од днов линейное дифференциальное уравнение (2) порядка г ил!ееп! нг болыш г линейно независимых решений. Любые г линейно незавнс .
моро н решений вх(а), в,(г), ..., в (з) составляют фундаментальную систему решег ннй, линейные комбннацнн которых ~',иьвь(з) дают все частные решения 4=1 уравнения (2). т»И аоваиие известных частных решений дпя пониж е и и я п о р а д к а. Если известно одно нетривиальное решение в, одиородиог ур о азиеиия (2), то преобразование в = в, [ в Лз приводит зто уравнение к однородному хииейнаму дифференциальному уравнению порвдка г — 1, т.
е. понижает его порпдок иа едиизцу. указанное преобразование эквмэалеитио двум посхедоватехьиым преобраэоваиипм , ..., в авиеииа (2), то Если известно ш линейно неаависимых Решений в, п~н ..., в,п УР ), можно понизить его порядок до г — т посаедоватеиьиым прниенеиием епедуюп!его процесса. преобразование в=в [ о л» приводит к уравнению порядка г — ! с иэвестиымп ш линейно иеэависимымн решеииэми р)=( — ), ПовтОряя этот процесс и! раэ, придем к хкиейиому однородному уравиеиию парилка г — и!.
!( 9.3-3. Решение методом вариации постоянных. Функции Грина. (а) Если функции в (з), в (а), ..., в (з) представляют г линейно независимых решеннй однородного линейного дифференциального уравнения ( ), 1 ° З ° "° г я 2,то общее решение неоднородного уравнения (!) есть в= С! (х) в! (х)+Се(з) вз(г)+ ... + С (з) вг (з), (9.3-4) где с с' (,) (!) (г) = о С = о, 1, ..., г — 2), й й=! !«й и (з) с'„(*),' " () = —,„, ! (») й=) (9.3-5) Решив систему г уравнений (5) относительно неизвестных производных С' (г), простым интегрированием находим затем й С„( ) = ~ С', (з) да + К в В принципе это!и метод сеодшп реи!ение любого линейного дифференциальною упоен " авйения к решению однородного линейного дифференциального уравнения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
