Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 63
Текст из файла (страница 63)
21. 9-6); уравнение (14а) можно записать в символической форме [йэ (/ — т) = 6» (/ — т). (9.4-14с) 1 Заметим, что ~ йз (/ — т) дт есть нормальная реакция на единичную нагрузку о [/<.(! — т) (п. 21.9-!), т. е. й+(/ — т) есть лроизаодная от нормальной а ии нй единичную нагрузку. Символическое дифференциальное уравнен часто легко решается операторным методом п. 9.4-5; другой путь ния й (/) заключается в интегрировании од»арада<ма дифференц уравнения Сй„(/) =О (/ > О) ре кц ие (!4с) нахождеиального (9.4-144) при начальных условиях й,(О+О) =й,'(О+О)=...=йу "(О+О)=О (9.4-1 4с> й( - О (О +0)кы 3 .
О Пример. для [уеиа — !+у имеем: й+(/)= »е (/)О) \ 1/а <ь> пр» экалогкч»мк услоацяк нормальная рзакц»» сист«мы лннейнмх д»фреренцналькык уравнений (11> может быть аредстээле»э э виде » ! Ра 2' ) <ьз>а/ у-т>/! (т>лт (й 3, 2...,, л>, <2.(.!2> / 10 где (л«>а/ (1 — т> — решены» сасгемы (11>, соог»етсгеующ»е праэын частям // <О .в если предположить, что /(/)=О при /~0 и й, (/ — т) =0 прн /(т, так что «будущие» значения /(/) не могут воздействовать на «более ранниеэ значения у(/) и «мгновенные» влиянии исключаются (физически реализуемые сислымы). Прн этом ь Оз линейные уРАВнения с пОстОянными коэффициентчми О87 (! -,с ь>, /й(1> = б+ (1 — т>.
матрица фу»к»на [(ьг>а/ у — тБ есть частный случай матрицы <с> Сзергкз <12> дает норм«»ь»ые рззкцэк тэкже к з тоы с»у«эе, »огдэ / <1> к ! (1> сэ»зэны дкфферекцкзлькын урээ»зкн«л! зкдэ к Р( Ое — Р+а — «+...+а Р=Ь вЂ” +Ь вЂ” -1-...-[-З /. (ЭЛ-Ш> ло — 1/ Л!г Л!г — "' О !!р 1 Л р — 3 '" Р ' Такие соогкош*»ня могут по»у«нгься, э част»осгн, когда система (и> ори«од»те» к одному уравнению путем»сключ«»»» (» — 1> кскоыых фу»кцкй ЕКОтОРЫЕ (а 3 >а! П>, Э ЗНЭЧ»т, Н ЬГ (1>, Э С»УЧЭЕ СООГКОШЕННй тИПа (1б> НОГУГ СОДЕР- прк этом жать особенности типа дельтэ-фу»кцэн (обобщенны«фуккцкк Гркц«, о, 12.2-1, Ы.
Если Ь<. (1> = с,б<. (1 — 1,> + гзб(. (1 — 1,> + ... + Ьз (!>, го 4юрмула (12> сводится н р=-ул(1>=с,/(! — !,).~-С,/(! — !,)-~-...+) Ь <! — Ю/<т>ат (!>О> о (д) Более общие задачи. «Симметрическиеэ и «асимметри чески ез функции Г р и на. В случае, когда правая часть при / ! 0 отлична от нуля, можно ввести «симметрическуюэ функцию й(/ — т), определяемую уравнением (см. п. 21.9-2) ! й (/ — т) = 6 (/ — т) (9М-П) " подходящими начальными или краевымн условиями. Ре<не ие ОЗ СО у= ) "(/ — т)/ (т) дт= ~ й (т)/(/ — т) бт — ОЗ вЂ” СО будет, в частности, удовлетворять уравнению (10) при /г»0 н у (Π— 0)=у' (Π— 0) =...=у" "(Π— 0)=0, если /(/) =/(/) [/(/) (п.
21.9-1) и если й(/ — т)=й'(/ — т)=-...=й" "(/ — т)=0 (/(ъ). (9.4-19а) «дсимметричсскиез фуниции й, (/) удобнее применять вместе с преобразованием Лапласа, а «симметрическисэ й(!) — с преобразованием Фурье. В обыгных физических приложениях сохраняют условия (19а), так как «будущисз значения функции не могут влиять на решение; при этом й,(1) и й(!) совпадают в тачках непрерывности. Часто внешняя нагрузка не может оказать мгновенного действия на решение, так что й(/ — т) удовлетворяет более сильным условиям й(/ — т)=й'(/ — т)=...=-й" "(/ — т)=-0 (/~т) (9М-190) (9.4-18) и й(/) совпадает с й (/), Н»ы .
В, Р ер, электр»!«ской ц и», содержа»<ей только со»рот»элен»ел, сига тока р (1> к напр»же»не /(1> сззззкы соо!»Ошеннс» р (1>=/(!>/Л, так что здесь й <!>- 6 ! — „. (О! н Ь(1>=о<1>/Л НО дк» Ср— = а -+р »»ее» Ь (!>=Ли а!' 1 == — з 9.
-, А-4, Устойчивость. Линейное дифференциальное уравнение (!0) или сис- тема (!1) устойчивы, если исе корни соответствующего характернстичсского уравнения (6) или (9) имеют отрицательные действительаые части; тогда малое изменение начальных условий не может вызвать больших изменений решении (более общее определение устойчивости см. п. 9.5.4, а).
Характер корней может быть исследован мстодамп пп. 1.6-6 и 7.6-9 (критерии устойчивости для элек- трических цепей и сне<ем > прзвлепия). Диффгргнциальног уравнение (10) Гл. 9. ОпыкнОВенныр диФФеРенцидльные урдвиения 9.4-5. н м т н. е е) в 1)ь))) [""" о ственно ) )Л(т) )йт . Аналогичнью условия для каждой функции Льу(т) системы (!1) (п.
9.4-3, Ь) являются необходимыми и достаточныл<и для устойчивости этой системы. 9А-б. Операторный метод решения (см. также п. 8.1-1, 8.4-! — 8.4-5, 9.3-7, 10.5-2 и !3.6-2, с). (а) Для интегрирования линейного дифференциального уравнения (!0) с начальными значениями у(0+0), у'(О+0), ..., у" "(0-1-0) применяют преобразование Лапласа (8.2-1) к обеим частям уравнения, полагая о (у(у)) ==— нпу(5) и Х'(у(у)) =г". (5).
Получающееся линейное алгебраическое уравнение (вспомогательное уравнглие) (аеУ+а)зе 1-1- ... -)-а,) У (5) =р (5)+6(5), 6 (5) = У (0-1 0) (аоз' '+ аги '+ ... + ае,) + -1- у'(О+0) (аоз' '+ан' '+ .. +а, 2)+ + + у" "(0-)-0) (а„з-1-ад-1-а„у" "(0-1-0) (9.4-20) легко разрешимо относительво изображения искомого решения: г' (в) а (ь) (9А-2! ) У (5) оеве-(-о)э 1+ ... -(-о оов +о)в ' +ос + где функции 6у (5) зависят от начальных условий. Решая полученную систему по правилу Крамера (1.9.4), находят изображения искомого решения л л Ч;Ч А ) (в) Ауа (в) Уь(5)= '~~ о(,) Гу(5)+ '~ о(,) 6)(5) (Л=1, 2...,, Л), (9.4-23) у=! 1 где Ауь (5) — алгебраические дополнения элементов ц)уь (5) в определителе системы у) (5) М де! (<р ь(5)] (см. также п.
!.9-2). Первая сумма в формуле (23) есть изображение нормальной реакции, а вторая представляе условий. Искомое решение уа(у) находится путем обраще Лапласа. Здесь первый член есть иэображение Ую(5) нормальной реакции у (у) (п, 9А.2, а), а второй член представляет влияние ненулевых начальных значений функции у(у) н ее производных. Решения у(у) и у,(у) находятся по своим изображениям с помощью табл. 8.4-! или 8.4-2 или по правилам пп.
8.4-2 — 8.4-9. б (5) В частности, ка)кдый из г членов разложения функции (о,е ( о ее-1, + о ) нэ простейшие дроби (п. 8.4-5) дает соответствуюншй член в решении (7). Этот метод решения применяется без существенных изменений н к дифференциальным уравнениям вида (16). (Ь) Применение преобразования Лапласа к системе дифференциальных уравнений (11) приводит к системе линейных алгебраических уравнений (рув (5) 1 1 (5) 1 фуе (5) 1 х (5)-1,,' +1рул (5) Ул (5) =ру (5)+ 67 (5) (у=!, 2, ..., а), (9А-22) зимы 94 линеиные у авнения с постоянными коэьфицин)тами 289 д х, содержащих неУстойчивое диффеРенциальное УРа е (и, 9.4-4) или импульсные виешнис нагрузки, решение может иметь особенности типа дельта.функций (см.
тэкже пп. 8.5-1 н 21.9-6). 9.4-6. Периодические внешние нагрузки и решения. (а) Синусондальные внец!ние нагрузки и решения. Синусоидальные установившиеся решения. Любая система лингйносх дифферснциальньт уравнений (11) с дгйствитсльными козффицигн. тами и гинусоидальными анаиними нагрузками одной частоты У (У) = В(а)п (ы(+58 (У=1, 2, ..., а) (9.4-24 а) допускает единственное цастнос реи!гнив вида у(, (у)= — А), пп (ьй — , 'аь) (Л=1, 2, ..., н) (9.4-24 Ь) (сели нет резонанса, т.
е, если он не явлнется корнее( характеристического уравнения). В частности, если асе корни характеристического уравнения (9) имеют оп)рицатсльньи дейпнвитгльные части (устойчиапя сиоп!ема, п. 9.4-4), то синусоидальное решение (24 Ь) будет единственным установившимся решением (п. 9.4-2).
(Ь) Метод ко м п лекс н ы х ам ил и т уд. Синусоидальные внешние аагр>зки и Решения (24) можно поставить во взаимно однозначное соответствие комплексным числам (комплексным амплитудам) ф. у Ру= — е У= — у()у (1=1, 2, ..., и), Уз Ай 1'и А (9.4-25) Уь= — й е = — Уаь (Л=1, 2..., а). ~ Аь Уз Уз Абсолютная величина каждой комплексной амплитуды рвана среднему квадратическому значению соответствующей синусоиды, а ее аргумент равен начальной фазе синусоиды. Комплексные амплитуды (25) связаны (комплексными) линейными алгебраическими уравнениями ц)у(((ы) 21+9(о((ы) Уе+ "+ц)ул((ы) Ул=уу (7=1, 2, ..., 11), (94.26) которые отвечэют системе (1!) и могут быть решены относительно неизвестных комплексных амплитуд (ср. п. 9А-5, Ь): л А О (йо) О уы) (9.4-27) у=! В случае резонанса (п.
9.4-2, с) выражение (27) может не иметь смысла. <с) Сонгсондо ьнь)е вели)ояи (24) Удовлетворя)от данной состеме днфференцнольник ирнвненоп (11) тогда и люлько тогдо, когда этим же свойством обладают компвексныв гор.еоп сп,ие финкцпп 1 (ы(-и Р.1 )ы( !.8):=л ' ( 1)=Р Уй (1=1,2, ..., л), 9.- ( .4-Ш) Уу,ця= — Ау,е Ь) = Уйе !'2 Ф 1, 2, ..., л), которые чэсто более удобны о расчетах. ч*н сами синусоиды <24). (д) Более общие пеРиодические внешние нагрузки (см. также пп.
4.11-4, 4.!1-5 и 9.4-5, Ь). Если дана устойчивая система (11) с периодическими внешними нагрузками вида (9.4-29) 290 гл. в. овыкновенные дифференци»льные ур»внения вл-з. вм-в. з4. линеиные ррявнения с постоянными коэффициент»ыи 291 то метод комплексных амплитуд можно применить к каждому санусоидальному члену отдельно и затем путем наложения получить установившееся периодическое решение. Этот метод может оказаться более удобным, чем метод преобразования Лапласа, если в решении надо найти только небольшое число гармоник. 9.4-7. Передаточные функции м частотные характеристики.
(а) Передаточные фу нк ци н. Передаточной функцией называется нкция ),1 (х) и (.)— (9.4-30) с л'.< л хг 1-<..., -,'. а г" (х) (см, формулу (21)). Передаточная функция представляет некоторый линейный оператор (п. 15.2-7), который преобразует внешнюю нагрузку на входе в нормальную реакцию на выходе (рис. 9.4-1). Рис. в.4-1. представление лииейвых дифференциальных урььиьииа е пьстьвиныыи хоьффццхехтаыв с помощью нерелаючных функций если вм(о ствноьитсх вхешаей загрузкой длв второго дхфференцилльиьго урльнехих с нормальной Реакцией е»< Ы), то дье цередьтьчаые фуахции переыиожаютсх, т.
е. — = нх и) нх в). хн (5) р <5) Ау), (л) Более общо, каждая функция в формуле (23) есть передаточная О (л) функция, относящая нормальную реакцию уь (() системы (11) на выходе внешней нагрузке [< (() на входе, когда все остальные внешние нагрузки отсутствуют, Этн передаточные функции образуют передаточную матрицу. Передаточная функция для уравнения (16) есть Ь Р Ь Р1л, -)Ь г г-1 (9.4-31) а„л' + л гг 1 -Ь ... -'г а (Ь) Частотные характеристики (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
