Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Рсзультирующиг функции (6) удозлгтааряют уравнению (1); рея!ение г=х(х, у) илн в неявном виде ф(х, у, г)=0 находим, исключая параметры 1 и т. Задача с ночольннкн услоеилми имеет единственное решение, если из данны» начальных услееий (6) следует (Ю.2сЛ 3 ь с) (х Р) здесь — '~ =2тюо. исключая параметры е н т, пол)чаем едкнсгтнное реше- 15 Если ищется решение данного уравнения Рд — г=.о, удонлетворяющсе начальным Условнам хе=т, У,=тч ге=т*, го УРзнневна (55] пРнннмают внД Р,д,.—.т* н Ре-!.
Ц 2тде =Зте н имеют две системы Репееннй Р' = тц д' = т и Р" =.2тч Е," .=т)2. Соответе ' е отвеина етому надлежит решать дне задачи Коши. Для леркой яз ннх а=те, у чае, а зе г = с , отнуда г = хр л» второй х = т (е -е- !)(2, у = та(2е — !), г = тте~ ° обоих глучаях угловое единственности ныполняется.)( 10.2-3.
Полные йнтегралы. Общие, частные, особые интегризм! Решения характеристических уравнений. (а) Полный интеграл уравнения с частными производными первого по- рядка (!) есть двулараме-., кческое семейство решений / деФ деФ деФ д Ф г=Ф(х, у, Л, р) ( — — — — г — чьо), (ПЛ2-8) (дх дх др ди ду д дх ди причем функция Ф и ее производные дФ дФ вЂ” =р(х, у, Л, р)=р, д.— — д(х, у, Л. Р)=0 в некоторой области пространства х, у, Л, р должны иметь непрерывные частные производные по х, у, Л, р. Данная последовательность значений (х, у, г, р, 0), удовлетворяющая уравнению (1), должяз определять единствен. ные значения параметров Л, р.
Полный интеграл (8) производит общий интеграл, если ввести произ- вольную функцию р=р(Л) и исключить Л из уравнений г — Ф[к, у, Л, !((Л)]=0, —. +-- -8=0 (!о.2-0) (огибающая однолараметрического семейства интегральных поверхностей, л. 17.3-11). (Ь) Получение частных интегралов из общего.
Для получения частного интеграла, соответствующего заданным начальным усло- викм (5), надо найти соответствующую функцию Р (Л), входящуео в общий интеграл, определенный в и. 10.2-3,а. Функциео р (Л) находим, исключая х, у и т из соотношений дФ (х, у, А, и) да (х, у, Л, Н) д» =Ра ('т) д, 5 Уо('т) «=хо (т) У=Уз (т) (КО 2 !0) (с) Отыскание особых нктсгралов. Исключаях ни нзуравнснкй г — Ф (х, р, А, и) = О, дФ (х, у, А, м дФ х, , А, = О, ' ' "' О, (10.2-П можно получить особый ннюеграл (огибающую двупараметроческого гемейства ннтег- ральных поверхностей).
(й) решение характеристических уравнений. Каждый полный интеграл (8) уравнения с частнылеи производными лграога порядка [1) произеадит решение сишпсмы обыкновенных дифференциальных уравнений (3). Функции х=х(Е), у=у(Е) получаются из соотношений дФ (х, у, Л, и) дФ (х, у, )., Рд =51, (!0,2-12) где Л, р и [) — произвольные постоянные интегрирования; г=г(!), р —.— р(е), 07-у(Е) получаются подстановкой х=х(Е, Л, р, [)) и у=у (Д Л, р, 5) в ра- венства Тевлина Ю2.1 Палама ннгеграл х= Ф(х, у, А. и> Тнп уравнения г =Ах+ Лу+ и, где Р(Ц А'> =0 х, у, а яана не гадержатся в уравне- ния Р <Р. О> = 0 а=)" /<», Ь>д»4 Ас>-~и, г = (/ <у, А! да -Р 1» ., и Р =/(х.
01, 4 =/!у. Р> хфзу=-$ —.<-и, где гр (г, 1.1 л* ср<к А> есть реыенне уравнения Р =/ (х: ХР> Содержится галька одна на переменмых х, р, а Р=/<х, Ю др др дх дс, дг 12 дхл д», др др дхл дт, х .!- Ау = ~ — ' !. „ Р = / (»1 (10.2-171 Р, (х. Р! = Г, <у,,я (= — А, и. 10.1-3! дх дт л-1 Пол> дх, дх„ '1'л-1 ' дг 1 а = ! /л (х, А! дх+ + ) /а (У, А> ду -!- и Переменные разде- лены нлн Р =/л <х, А>, о = /е (у, 11 (10.2-!9) (10.2-14) 304 ГЛ.
!О, УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 10.2-4, (е) Специ а л ь им е сл у ч а и. Табл. 10,2-! содержит полные интегралы для некоторых часто встречающихся тнпов уравнений с часпсыми пронзводнымн первого порядка и позновяет применять методы п. 10.2-3 ко многим задачам. Полные интегралы для некоторых специальных типов уравнений с частными производными первого нарядна е) 10.2-4. Уравнения с и независимыми переменными. (а) Задача с напальными условиями (см. также пп.
102-! и 10.2-2). Требуется найти решение г = Ф (х,, хе, ..., х„) уравнения с частными производными первого порядка Р (Хл, Хв, .", Хл,' г; Р1, Ра, °, Рл) =0 с л 10.2-4. 102 УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА удовлетворяю>цее начальным условиям г=га(т> та " тл-1) х(=хм(ты тм " т ),1 (10 2-!50) р( — Ра(тс, тм "., тл 1) (1=1, 2, ..., л), / ГДЕ СИСтЕМа УРаВНЕНИй Х(=-Х(„(т,, т„..., тл 1) ПРЕДСтПВЛЯСт ГИПЕРПОВЕРХ- ность, не имеющую кратных точек, и Р(хсо хло " хпо: го: Рсо Рло " Р,>о)=-.0 дха д»ао д = „~~' Р/м д (/'=1, 2, ..., л — 1).
(10.2-150) 1!тобы получить соотношение лщжзу хл, х„..., х„и г, надо найти решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений дг дх, дх( др др( с)Р ду (/=1, 2, ..., и) (хиралтгристичегхие уравнения), удовлетворяющее началь. ным условиям (15) при 1=0, и исключить и параметров т,, та ..., т„, и /.
4</ьак н в случае п=2 (см. п. !0.2-2), можно в качестве начальнык условий задать только функции го н х;о, а функции р/а определнть из уравнений (15Ь).44 Задача с начальнымн услапнямн имеет едннсгвенное решенне, если данные наыльные условия (151 приводят н тому чга (5) сые интегралы и решение характеристических у р а в н е н и й (см. также п. 10.2-3).
Полный интеграл дифференциального ) равнения (14) есть и-параметрическое семейство решений г=Ф(х,, х>,, хьО ссо иа, ..., сс„) )йе( [д д 1 чьО), (10-2-!8) д*Ф 1 1> причем функвня Ф и се производные дФ д» Р! (11 ха' ' ' ' х >1 сх1 пг ссл) должны иметь непрерывные частные производные по всем х; и ин Данная последовательность значений (х,, х,, ..., х„; г; рл, рм ..., Р„), удовлетворяющая уравнению (14), должна определять единственные значения пзрамет- РОВ Пс, ПЧ ..., О„. Полный интеграл (18) производит общий инглегрил, сели ввести и произвольных функций сс>,=по (Л>, Л, ..., Лл,) (0=1, 2, ..., и) и исключить л — 1 параметров )..
нз и уравнений г=Ф(х>, х>...,, х,; мл(Л>, Л>, ..., Л 1), и, (Л, Л,, ..., Л„,), ..., „„(Л,, А,, „,, Л'„,)), дФ ди, Х ди дь — 0 (/ 1 2 л 1) ГЛ. 10. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 10.2-0. !0.2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКй 10 2-6. З07 дп' — []й( (й= 1, 2, .„, л — 1), -Ф =1, (10.2-20) где «! '12 " ссл: []т, [)а " []л 1 — (2л — 1) произвольных постоянных интегрирования; функции г=г(() и р; =р](() (1=1, 2, ..., я) найдем, подставлян х;=х)(1; ш„ша, ..., ал! []1, 5„..., [)л 1) в выражения дФ 2=Ф(х„х,, ..., »сй он пш ..., а„], р;=- —,— 0=1, 2, ..., л).
»1 (с] Особый ивтегрвл (сы. также пп. 10.2-1,с в !0.2-з,с]. Особый интеграл даффсревцяальввгв ураввеввя (!4) есть решение »=Ф(х, », .... » ), велучающссса всвлючсввем р. иа л + 1 уравнения Р (», », .... »„; »1 р, р...,, р ) = О, — =0 (1 1, 2, „., в). др др; (!0.2-2!] Иа давввгв полного ввтсграла особый ввтсграл получается, сслв исключать параметры о, в, ..., о вз л+ 1 ураввсвав 1 Я'"'' л На.злц) дФ вЂ” 0 (й 1, 2, ..., л). дцй 10.2-6. Преобразования соприкосновения (см. также п, 9.2-З,Ь).
Некоторые задачи, содержащие уравнения с частнымн производными первого порядка, могут быть упрощены введением дважды дифференцируемого преобразования х)= — х) (хт, хш ..., х„; г; р„ра...,, р„), где ! 1 2 л 1 2 а Фо выбранного таким образом, что л / в йя — ~ гййхй=й(х„хш ..., х„; г; р„рм ..., Рл) йг — ~~ райха 0=.1 й=! [д(х), ха, ..., х„; а; р„р„..., рл) ~ О[. (10.2-24) л При этом условии полный дифференциал йг= ~ райха прееброзугтсл также й=) -т да в полный даффедел!(аал йя= ~а )уайда, еде )01= — (! =1, 2, ..., л).
й=! д»! Такое преобразование называется преобразованием соорикоснооения; преобразование соприкосновения необходимо сохраняет каждое условие полосы и буде~ также сохранять касание регулярных элементов поверхности для и=2 (см. така(е п. 10.2-1). Каждый полный интекрал (18) производит рсшение системы обыкнсеглных даффгрелцип(ьлих уравнений (16). Функции х;=-х;(() (1=1, 2, ..., л) получим из соотношений преобразование соприкосновения (23) преобразует данное дифференциальное уравнение (14) в новое дифференциальное уравнение Р(х!. ха " хл! 2; 171, (тт, " Ра)=Р(х! »а " ° хл' 2' Р). !'а " Рв) 0 — 1=1, 2,..., л) (-= = д» дх (10.2-25) С рЕШЕНИяМИ 2=2(Х, Га, ..., Хв). ИНОГда СЛуЧаЕтСя, Чта НОВОЕ уразивинв (25) не содержит р, н не являетси тогда дифференциальным уравнением.
и р в ц ср. л-лсрсшс ар»облава»ание лежандра (сц. также ц. 9.2-3,0 и !! 6-зп х,.=л( Р,.=»,. (1=1,2, .... л),1 п (!О 2-26) а= 2 р,»й — а+С. ! й=( 10.2-6. Канонические уравнения и каяоннческие преобразования, (а) Канонические уравнения. Для уравнения с частными производными первого порядка да 6(х(, х,, ..., ха! РР ра " рл)=0 !Р)=---, 1'=1, 2, ..., п„(10,2-27) которое явно не содержит искомую функцию х, характеристические уравне. пня (16) имеют особенно простой вид л Д=Хрй — „" й (10.2-28) (10.2-29) дх, до д( др,.
' (канонические др. до д( дх. ! уравнения), (1 = 1, 2, ..., л) 3 а ц в чав вс. Рсшсвва «аждвга двффврсвцвальвога уравцевая (14) цоает быть сведено к решсввю даффсрсвцяальаагв уравнения врастага вида (27) атаасцтвльвв л-1-1 всааввсвыыа цсреыеввыа», », ..., »„, »: каждое решение я в (», », ..., »; «) двффсрсицвальввго ураввевия да д» а' ' ди да дл д» дв д» Вол-то) (Ь)44 Канани ческие прео бр а зова ни я (см. также и. 11.68). Дважды непрерывно дифференцируемое преобразование х]=- х; (х,, ха...
хсй Р(, Рш ..., Р„],1 (1'=1, 2,." с л)„ Р;=Р;(х), »а,...,ха;Р! Ра "° Рл) 1 (]о.з-зП где ст д(» «а...,. »а р» Р*, ..., Рв) д (»4 хь . »л' Р ° Р* . Лл) прав»ведат савтввтста)4ощсв рсв4авяа а =» (х, », ..., » ) давцагв ураавсвая (14), такая, чтв и (», », ..., »„; а) = О. ЗО9 1б9. УР»ВНЕНИЯ ПВРВОГО ПОРЯДКА [о.з-з. ГЛ. 10. УРАВНЕНИЯ О ЧАОТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ шж-е. называется каноническим преобразованием, если оио преобразует каноническис уравнения (29) в новые канонические уравнения Ск! д — — С(х„ха, ..., х„; Р„Р,, Рл), т др! !р; д ==С(к! Кл ".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
