Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 71
Текст из файла (страница 71)
линейные уодвнения мАтемАтическОЙ Физики 321 10,4-2. Линейные краевые задачи (см. также пп. !5.4-1 и 15.4-2). (а) Пусть у †заданн трех- или двумерная область точек (г) и пусть 3— граничная поверхность или граничная кривая области У. Требуется найти решение данного дифференциального уравнения 1.Ф(г)=)(г) (гчм У), (10 А-1а) удовлетворяющее последовательности краевых условий В;Ф(г)=Ь;(г) (1=1, 2, ..., )У; г чы 5), где ~Ф и В;Ф вЂ линейн однородные функции от неизвестной функции Ф (г) н ее производных.
Каждое решение этой линейной краевой зада~и можно залистпь з виде суммы Ф=-Фл-ЬФз решений простых краевых задач ЛФА (г) =0 (г щ У) В,.Ф„(г)=Ь. (г) ((=1, 2, ..., А', г чи Я) (Ф (г)=!(г) (гси у), ВзФя(г)=0 (1=-1, 2, ..., )У; гчм5). Заметим, что уравнение (2) является однородным дифференциальным уравнением, в то время как уравнение (3) имеет однородные краевые условия.
(Ь) Однородные дифференциальные уравнения с неоднородными краевыми условиями. Частныерешения, приведенные в пп. 10.4-3 — 10.4-6, обычно позволяют представить Фл (г) как сумму ряла пли определенный интеграл: Ф„(г)=-~~ ~аиФи(г) или Ф (г) = ~ а(р) Фи (г) д!ч (10.4-4) и й, от подходяще выбранных частных решений Фи(г) уравнения (2а), Коэффициенты ан или а(р) выбираются так, чтобы удовлетворялись краевые условия (2Ь). Часто функции Ф„(г) образуют полную ортокормироеанкую сиаиелцт (п.
!5.2-4; например, ряды Фурье, интегралы Фурье); глогда возможно представить данные функции Ь; (г) в виде (4) и найти неопределенные коэффиц енты а„ или сс(р) методом сраечекия коэффициентов (п. 10.4-9). (с) Неоднородные дифференциальные уравнекия с однородными краевымн условиями: разложения по собственным функциям (см. также пп. !5А5 — 154-12). Для важного класса дифференциальных уравнений (1) решение Фв(г) уравнения (!) можно получить простой суперпозицией решений Ч'(г), соответствующих однородным дифференциальным уравнениям ЛЧг (г) = ЛЧ' (г) (г чы У) (!ОА-5а) для различных возможных значений Л, прн которых Ч.'(г) удовлетворяет однородным краевым условиям В;Чг(г)=О (1=1, 2, ..., Ф; гчи5). (10.4-5Ь) Вообще такие решения (ненулевые) существуют тольио при специальных значениях параметра Л (собственные значения); решения Ч' =Чгз(г), соответствующие каждому собственному значевшо, называются собствениымн функциямн краевой задачи (5), В пп, 10.4-3 в 1ОА-3 принодятся частные решения Ч'(г] для некоторых дифференциальных уравнений вида (5а).
Зги функции позволяют при помощи 11 Г. Коро и Т. Кори 1 д ! дФ« 1 доФ д-'Ф Т«Ф ==- — (Р— )+- — г+-,' г =О. =ад ~ до) 5 учл Ь.г= . (10.4-10) (10. 4-12) (10.4-1 3) (10 А-14) и линейных красава условиях Разделение переыенных дает (10.4-!6) (~ = соз О), (!0.4-17) (10.4-!8) (ЬОА-9) 322 ГЛ. 1О. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 10.4-3. метода наложения получать решения соответствующих неоднородных уранпсний (3). Собственные функции, соответствующие дискретной последовательности собственных значений, часто образуют удобные ортонормнрованные системы (п. 15.2-4) для представления правых частей и решений в виде 1(г) =- ~~'., 1ЛЧ«ь (г) ФВ = ~лрхтл (г) ь х Непрерывная совокупность (непрерывный спектр) бл собственных значений Л приводит к инглсгральны«! пргдставлглиям 1(г)= ) Р(Л) Чо„.(г) йЛ, Ф,= ) 5 (Л) Чгх(г) с!Л.
(!046Ь) лх Подстановка выражений (ба) нли (6Ь) в уравнение (3) позволяет найти неизвестные коэффициенты рх или )) (Л). Отсылаем к пп. 10.5.1 н 15А-12 для общей теории этого метода решения н его области применения, Важный альтернативньй метод решения уравнения (3), так называемый мотов функций Грина, трактуется в пп.
15,5-1 — 15.5.4, (б) Задачи, включающие зависимость от времени. В задачах, в которых искомые функции зависят и от пространственных координат и от времени, решается линейное дифференциальное уравнение 1.Ф(г, Г)=)(г, Г) (г оп у, 1)0) (1ОА-7а) при соответствующих линейных начальных условиях Л)Ф (г, О) =()1(г) (1=1, 2, ..., 5!! г = У) (!0.4-7Ь) В Ф(г, 1)=51 (г, Г) (1'=1, 2...,, !У; г ом 5; 1) 0). (10 4 7с) Так как начальные условия (7Ь) есть просто краевые условия на координатной поверхности 1=0, то применимы методы пп. 1ОА-2, а и Ь (п. 10.4.9). Следующие методы позволяют упростить решение задач с пачальнымн усло.
виями: 1.Ф,=ФВ(г, Г) может быть представлено в виде суммы функ. ций, соответственно удовлетворшощих однородным начальным условиям и однородным краевым условиям. 2. Разделение переменных (пп. 10.1-3, 10.4-7, Ь и 10.4-8). 3. Преобразование Лаплзса по переменной Г (пп. 10.5-2 и 10.5-3, а). 4. Метод Дюамеля (п.
10.5-4). 19.4-3. Частные решения уравнения Лапласа: трехмерный случай (см. также табл. 6,5-1, пп. 10.1-3 и !5.6-1 — 15.6-9; ре!пения в других координатных системах приведены в (10.7)). (а)Прямоугольные декартовы координатых, у, г: (10.4-8) Допустимы частные решения Фо,л,д, (х, у, г)=вл «+лов+до«(йм Йг, Ьо — любые комплекс- ные числа, удовлетворяющие условию Ьо+Ьо+й',-'=0), Ф,о а (х, у, г) = (а+Ьх)вдовея «(Ьоо+ йо о=0), Фооо (х, у, г) =(а+Ьх) (а+()у) (А+Вг), 10,4-3.
104. лнне1чн!о!е УРЛВнениЯ математической Физики 323 которые образуют различные произведения действительных линейных, показательных, тригонометрическвх н!нли гиперболвческнх функции. (Ь) Цилиндрические координаты р, ф, г. Пусть Ф=и(!р) Х )4 о(г) в (р) (п. 10.1-3). Тогда Раздслсиле переменных приводит к трем обыкновенным дифференциальным уравненвяы: - —; и (ф) + шо и (ф) = О, (10.4-11) — „( ) — Ко о (г) = О, д* —, в (р) + — — в (р) + ~ К' — г) в (р) = О, где функция и (ф) удовлетворяет условию псриодичностн; и (в+2я) = и (ф); это будет, когда и=О, гс 1, .ге 2,.„; К вЂ” произвольная константа (константа разделения, п, 10.1-3), которая опрсделнется по данным краевым условиям.
Уравнение (10) допускает частные решения (цилиндрические гармоники) вида Ф (р, ор, г) = вш ~~ л (Кр) (а соэ лир+ () яп иир), Ф, Ко (р, ф, г) =в — К 2о (Кр) (а+()ф), Фо (р, 1р, г) =(а+ Ьг) 1Ар -)- — ) (а соз тф+ () яп глф), Фв (р, ф, г) =(а+Ьг)(А+В!яр) (а+ ))ф) (л4=0, 1, 2, ...], 1 где 2„,Д) — цилиндрическая функция (п. 21.8-1); в частности, если данная зздача требует ограниченности решения Ф прн р=О, то 2 (") должна быть функцией Бгссгля лгрвого рода /в(оь) (п. 21.8-1), Если в последнем случае йоло>кить К=(Л, то комбинации комплексно сопряженных решений Ф гл образуют действительные решения вида (а соз Лг+ Ь Яп Лг)!в (Лр) (а соз глод+() яп лир), гол 1в (Лр) =1 "',/м (!Лр) — мсдифицировинная функция Бесселя (п.
21,8 6). Зао!егйм, что в случае осевой симмс!лрии, т. е. когда Ф не зависит от ср, в=О. (с) Сфе р н ч ес к не к о о рд и наты г, д, ср. Пусть Ф=и(ор)о(созд)в(г). Тогда !ауаФ = =— ! го —,— )+ —. — ! з!и д — )+ —.— =О. (10А-15) д l дФ« 1 д /. д!Ф1 ! д'Ф = дг!Х ор) яиа дЗТ да) яоое дг = ' до —, и (!р) + ш 'и (!Р) = О, (1 — ьо) в,;- о (Ь) — 29 — о (С) + ~) () + 1) — —,"', ) о (") = 0 —,в(г)+- — в(г) —, в(г)=0, дэ г в !' 0 ф Н 324 Гл. !о. уРАВнения с чдстными пРОизВОдными !ВЛ-4. !6.4-5. 104. ЛИНЕИНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОИ ФИЗИКИ Функция о(Ь) =о(со50) должна быть непрерывна при 0==0 и 0 =и; это означает, что т=о, д- 1, .»-2,...,-»-) и 1=0, 1, 2... Уравнение (15) допускает частные решения вида Фгш (г, О, ф) =(Аг)+ —.,)Р',. "(сов О) (а сой »пф+() 5)п )пср) г+ (.1=0, 1, 2, ...; )п=о, 1, 2, ..., !), (! 0,4-19) где Р'р (Ь) — присоединенная функция Лежандра первого рода порядка ) (и.
2!.8-10). Комбинация тания решений произнодит более общие частныс решения Ф! (г, О, ср) =(Аг)+ . „1) Уг(0, »Р) (/=О, 1, 2, ...), (!О 420) где ! уг(0, ф)= ~', Р',и (сов 0) (а сов тф+() ып п)ц)= т=.п ) У Рун' '(соа0)с1»пф (! 0 1 2 ) (10 4 21) т — ! Функции (21) удовлетворяюг уравнению (15) для г=сгл)51 н называются поверхностными сферическими гармониками степени ! (см также и. 2!.8-12) Имеется 2) -)- 1 вписана нсзавнснмых поасркнастных сфера шскнч гармоник ста. псин )' Дня разнажанпя в ряд по ортаганапьпым решен»т» заМетим, что функция 2) -1 (! — п)»»п т 2) -)- 1  — »п)1 ш 2н Нф )1 ! — — ' Р . (соз Е) саз тф, у — - Р.,саз В) а)п шф 2н Иф п)1 ! В = о, 1, 2, ...; и .= о, 1, 2, ..., Л пан более удобные функции 21-)-1 (! — 1 "»))),н», ип' 2 и () + ) и» О) ! — Р'.' '(сааб)с ф В о, 1,2, ...; т=о, -»-! -»-2,.„,-»-Л а5раауют артанармальную систему в смысле и.
21,6-12 эгн функция называются тессераньнымн сфсрнческнмн гарманнквмн (ссктарнааьнымн сфсрнчсскнмн гарманнкамн дяя я» 1; см. также пп. )бл-в, 15.2-6 н 21 З-Н). Ортапармалып»с функцнн 2(.(- 1 Р (сазе) 2 ( называются зананьнымн сфсрнчсскнмн гарманнкамн. Есян допускаются решспня с асабсннастямп для 6 =а, 6 =-н, та появляются анаяш нчныс решения, садаржашна ассапннрапаниые фуякцпа лежандра второго рода !21 3!. 10.4-4. Частные решения для треха(ерного уравнения Гельмгольца (см. также и.
10.3-5). Дифференциальное уравнение фвФ -1- АвФ = 0 (уравнение Гельмгольца) встречается прн разделении переменных в трехмерном волновом уравнении (и. !0.4-8, Ь) и в уравнении теплопроводностн (и. 10.4-7, Ь). Коэффициент Аг может быть отридательным (А = Ос, пространственный внд уравнения Кясйпа— Гордона). Для заданного однородного линейного краевого условия (напрнмер, Ф = 0 ва границе В ограниченной области у) уравнение (52) допускает решения только для соответствующей дискретной последовательности значений Ьз (проблема собственных значений, и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
