Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 74
Текст из файла (страница 74)
(Ъ) уели существует вторая производная Г" (а), то функция с (к) имсшл ь нинке а ') Ь[ есть приращение ханной функции 1(к), соответствующее прнращенью Ьк неэз. внспмего перемеянпге к Пряращеняе Ьр есть функция ет и н ог Ь»; его не следует смешнгвть с эаппачисй 55 ввояныеа в п. 1!.(-1. ') В фермулнревке эвцвчн должна быть точно указана область опреяекенпя фуннцнн 1(к>. Например, функция 1, (х)=.г( — со<к<4-се) не вмеег максимума, в функцея й (х) =к(к "' 1) имеет при к= 1 граничный махсимум. н.з. экстреь(умы фщ)кции многих первменнык 335 11.3-4. ыж-!.
334 ГЛ. П. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ (с) Более общее утнержденне; если суи(ествувт производная (гпг(а) и если !м(а) =1/т(а)=...=(га "(а) =О, то функция ) (х) инсат в точке а максимум лри п четном н (гаг (а) (О, минимум при и четном н (гаг (а) ) О. Если и нечетно, то функция ((х) н точке а не имсет пи минимума, нн максимума, а имеет точку перегиба (и, 17.1-5). (Условия, сформулированные в Ь н с, являются достагпочкжки условиями вхсгпргмулга.) Если ('(а)=0, то во всех случаях говорят, что функция ((х) прн х= а имеет стационарное значение. Н р н меры.
Кзгкдзя яз функппй хк хк х',... имеет прях = О минимум, з каждая яз функций лд х', хц... имеет х О точкой нерегнбз. 11.3. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ ДВУХ И БОЛЬШЕГО ЧИСЛА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 1!.3-1. Локальные максимумы и минимумы'). Действительная функция /(хз, хь ..„х„). определенная при х,=аь хз=а„..., х„=а„, имеет в точке (аг, аз, ..., аа) (локальный) максимум нлн (локальный) минимум ('(аь аз, ..., а„), если существует такое положительное число 6, что при всех Ьхь Ьхз.., Ьха, для которых выполняются неравенства 0 ( рлйхз!+Ьх1+„.-~-Ьхз ( б и сУществУет значение ((аг+ьхг, а,+ьхь ..., а„+ьхн), пРиРащенне фУнкпин Ь/=/(аг+Ьхь иг+Ьх„..ч а„-1-Ьхп) — /(а„а„..., а„), (1!.3-1) соответственно меньше нуля нли больше нуля.
Локальный максимум (минимум) называется внутренним максимумом (внутренним минимумом) илн граничным максимумом (граничным минимумом), если точка (аь аь ..., а„) является соответственно внутренней точкой нлн граничной точкой области определения функции /(хг, хз,..., хя) (п. 4.3-0, а), Определевпе строгого и нестрогого экстремума енглогнчна и, 11.2.1. 1!.3-2. Формула Тейлора для приращения функции. Прнрзщенне функции Ь(, опРеделнемое соотношением (1), ЯвлЯетсЯ фУнкцией от аь аь ..., а„и от Ьхь Ьхз, ..., Ьх„. Если функция ((хг, хь,.ч х„) имеет в некоторон окрестНаети тОЧКН (аг, ав, ..., аа) НЕПРЕРЫВНЫЕ Чаечтийс ПРОИЗВОДНЫЕ ДО ВТОРОГО порядка включительно, то я г ((а , а ...
а ) я и — Ьхйх/+о(р'), (11.3-2) й ) (аь а, ..ч ая) где р = 4/Ьхл!+Ьхф+... + Ьхз (локальнан формула Таллара, сн. п, 4 10 5). Члены порядка 1 н 2 относительно Ьх; в этой формуле соответственно составляют первый дифференциал й/ н половину второго дифференциала йз( функции 1(хг, хз, ..., х„) в точке (аь аз, ..., а„) (см. также п. 4.5-3, Ь). 11,3-3.
Условия существования виутрениик максимумов н вгниимумов. (а) Если функция ( (х„хз, ..., х„) диффе ренцируема в точке (аь аь ..., а„), то она может иметь в точке (аз, аь.„, ая) внугпрвнкий лгаксикум илиминимум Л) Ом, сноски к и. !1.2-!. при х,=аь ха=аз, ..., ха=а„(необходимые условия гкгтремума). (Ь) Если функция !(хг, хз, ..., х„) имеет в некоторой окрестности и(очки (аг, аь ..ч а„) нгпргрывпыс вторые частные произвоаньм и гаги в втой точке выполняются нсобходимыг условия (3), то в случае, когда второй дифференциал а л — — Ьх,йха д( "а (аг, аф.„а„) (!1.3-4) есть отрицательно определенная квадратичная форма (п, 13.5-2), фунт)ик 1(хг хь "., хл) имегпг в точке (аг, аь ..., а„) максимум, а в случае, когда мпот дифференциал есть положительно определенная квадратичная форма, функция ( (хь хз, ..., х„) имеет в втой точка лшнимум (достапючкыв условия вкстргмума).
Если условна (3) выполняются в точке (аь аь „., а„), то во всех случаях говорят, что функция ) (хь хь ..., х„) имеет в этой точке стационарное значение; сана точка называется стацнонарксй. П р я м е р. Нзйтн максимумы н мнвнмумы функции г = Зх* — х -(- и' — Зр' — 1.
Необходимые условия дз дг — = 9хз — 1 = О н — =Зр' — бр О дх в удовлетворяются здесь прн х = 1(3, р = О; х = — 1(3. В = О: х = 1/3, Р = 2; х = — 1/3, Р = 2. Но, рассмгтрнвзя хгрзвтернстнческос уравнение квздрат»чной формы (4) (см. пп. 13л.б я 13,5.5) (1ах — р) (бу — б — Ш = О, знднм, что едннственнымн зкстремгльнымн зяачепнямп являются максалгулг (р, = — б, р,= — б) г= — 7/9 прп к= — 1/3 н у=.о н минимум (рл б, рл=б) г= — 47/1 прн х=)/Знд=2. (с) Если первый дяффереяцнзл а( достаточное число рзз непрерывно днффсренцнруемой функции ((х, х, „, х„) обрзщзется в тачке (а а,,„, а ) я нуль, з второй рнфференцнзл д'! есть лолуоарсделснная квадратичная форме (и, 13.5-2), то характер стзцпонзрного зпзченяя зависит от днфференцнзлов более высокого порядке.
Гслн же Вз(есть неопределенная форма, то функцкя / (х, х ...х„) не имеет в точке (а а„, а ) нн мгкспмумз. нп мянямумз. Если вз уравнений (3) получена система знечепнй х — а, х = а . „, х„ а то ззрзктеп квздрзтнчной формы (4) можно определять люоым аз методов, перечнсленныт в и. 13.5-5.
Можно также исследовать функцию нз максимум я мггнпмум, фзктпческп вычислив значения ! (а 4- Ьх а + Ьх а 4- Ьх ) длк рззумнмм образом выбранных 1 1 2 з . и а но"лбннзцяй прврзщейнг) Ьх, Ьх ..., Ьх,, 11.3-4. Условные экстремумы, Метод множителей Лагранжа. Максимумы н минимумы действительной функции ( (хь хз, ..., х„) переменных хь хг, ..., х„, подчиненных достаточно гладким аополкитггьным условиям в виде т(л правнгний связи гр,(хг, хь ".л ха) =О, цз (хь хь "., х„)=0, ..., грт(хь хз, ..., ха) =О, (11.3 5) в принципе могкно найти по способу и. 11.3-3, исключив т нз и переменных лл, хз, „., хн с помощью уравнений (5).
Если непосредственное исключение лшиь в том случае, когда гс пераьщ дифференциал й( абрагцагтся в втой тачке в пуль, т. е. когда (11.3 3) 336 11.З-В. ГЛ. Н. МАКСИМУМЪ\ И МИНИМУМЫ Мэмэ дх,+ хы ме А = 4хр. Ф!х, В)=эхр-).Х(хэ+рэ — г). Тогда з« аэ)ОМ« е)/ вьз/ямам«в яви вэее/4 д/ а) ягн условннк лрв условняк (1[А-2а) т переменных невозможно нлн нецелесообразно, то применяют следующе ° необходимое условие максимума нлн минимума функции при ограничениях (5): — — ...= — =О, (1!.3-6) дх, = дхэ "' = дх„ = ' где 0)(хт хз "' хл)— = /(хт эз "' хл) г' ~и ~)«/ц«/(х! хз " хл)) / \ т параметров Х/ называются множителями Лагранжа; и+т неизвестных х!=а/ и )«/ находят нз и+т уравнений (5) н (6).
Заметнм, что урввненяя (б) представляют собой необходимые условия экстремумз Оувкивв Ф (хь хь .... х„), если хм х,, ..., хл считать незавшимылз перемеяяыым. П р я ме р. Найти стороны ярямоугольнлка мвксямвльной площади, впнсвнво, з в окружность; хз,. д — гз Площадь Я прямоугольника можно звпясвть в виде Необходимые усковы» экстремума дают дФ дФ вЂ”. =4р+Юх -йя — 4х+2йр=с, дх др тзк что искомый максимум дают значеян» Х = — 2 а х в = г/У 2. 11.3-5.
Численные методы. Если, как это часто бывает, при отыскании максимумов н минимумов функций многих переменных получают сложную систему уравнений или если явное дифференцирование затруднено илн невозможно, то экстремумы ивходятсп при помощи последовзтельного применения методз проб. Некоторые важные численные методы дли решения такого рода задач описаны в пп.
20.2-6 н 20.3-2. 11.4. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ, ИГРЫ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ !1.4-!. Задача линейного программировании. (а) Поста ноак а задач и. Задача линейного программирования ззключасгси в нахождении г переменных Х,, Х„..., Х„минимизирующих данную линейную функцию (целевую функцию) г=Р(Х1, Х„..., Х,) =— С,Х,+СзХз+...+С,Х, (нлн макснмнзирующую — г) при линейных ограничениях-равенствах ацХ1+а/ЗХЗ+...+И! Х =Я! (1'=1, 2,,.ч П) (11.4-)д) и линейных ограничениях-неравенствах А/гХ1+А/2Х2+...+А/гХ ~В/ ()=1, 2, ..., т). (11А-[с) Заметим, что не каждая задача указанного типа имеет решение.
Рнс. 1[А.[ иллюстрирует один простой пример. В тэпнчяыя лряложекняк это — эакачв о захождеявн необходимо воложнтельвых веля~за Хь Хм ..ч Х, т. е, г видов сырьевык мзтернзлов !«вкодэыеэ данные), э~«шк- 11А.1. Н,4 ЛИНЕИНОЕ ПРОГРЛММИРОВ., ИГРЫ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ 337 мнззрующяк обп!ую стоимость Р (Х«, Х«, ..., Хг) Иа) соответствующих велнчян т юы. кэдяык продуктов Е! — АП Х! 1- А;2Х2+ ° + Я!гкг !«1 ° 2 ... т) с ннжнямн уроввямн Вь В,, Вт. Имея в знду г условий Хй > О (Э =!. 2..., г) в «ч ограннчевмй е!= В! !«'=1, 2, .„, т], мы аолучзсм л=гц.т ограниченна неравенств. Большое количество примеров, рассмотрено в [1!.!1, [11.21. Рнс.
11.4.1, Мэожество решений а] яв плоскости (Х„Х,), м Ю в пространстве (хм хэ «э) для задачи лявейного ярогрвммкровакмя х ЗХ«+зк,=ю!в х, = Х, ) б, х, сй Хэ ) й, х, = ЗК, Ц- К, — В > й з = Зэ«+ 2хэ = а«!о бХ +Хэ — Х«=б, Х«знс, Хэ)0, Хэвне. (Ь) Задача линейного программирования в стандартной форме. Допустимые решении. Задача линейного программировании, сформулированная в и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
