Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 72
Текст из файла (страница 72)
15.4-5). (а) Прямоугольные декартовы н норда наты х у г. Уравнение (22) имеет частные решения; Фе ! М(х у г) =с!(а,к-)-е в-(-в»г) (й ! Ы 1 ГР . Ьз) Фае,е, (х, у, г) = (а+ ьх) с!(я'р ») взс' (1з + й-" — Аг) (!0.4.23) Ф»юв (х, у, г) =(а + Ьк) (с»+ ()у)) с'"', которые можно представить в виде различных произведений действительныт линейных, показательных, тригонометрических н)илн гиперболических функций. (Ь) Ц и л н н д р н ч е с к и е к оо р д и н в ты р, ф, г (см.
также п. 1О 4 3, Ь). Пусть Ф = и (ц)) о (г) ш (р); тогда уравнение (22) разделяется на уравнения (11), (!2) и — —, ш(р)+ — — — и (р) + [(Кг+йг) — '», ~ !о(р) =О, (10.4.2() где т = О, -»- 1, -»- 2,... н К вЂ” произвольная константа разделения, определяе- мая красными условивми. Уравнение (22) допускает решения вида Ф, 1(т(р, »р, г) = васк*хм (р ьгйг+ кг) (сс сов п»»р+- 6 мп п»ф) (т =О, 1, 2, ...).
Если К =»Х, то Ф ьгх (Р, »Р, г) = в- !)л2»»»(Р )сгйг — Хв) (а сов пмп+ () мп пму), Ф, (р, ф, г) =(а+ Ьг) К,(йр) (а+()ф). (10.4-25) Заметим, что для осевой симметрии т=о. (с) Сферические координаты г, О, ф (см. также и. 10.4-3, с). Пусть Ф = и (»р) о(сов О) ш(г). Тогда уравнение (22) разделяется на уравнения (16), (17) н — —; ш (г) + - - -„- (о (г) + [ Ьг — 1 1ю (г) = О. (10 А-26) Уравнение (22) допускает частные решения вида Фе((Г, О, ф) = - = — 2! 1)2 (АГ) 1'; (О, »Р) (! = 1, 2, ...), (10.4-27) с » !Вг Фм»(г, О, (р) = — (цсптраяьная си.нметрия), где У!(О, (р) — сферическая поверхностная гармоника (21). В частности, если ланная задача требует непрерывности решения для г= о, то 2 +1 2(йг))угг есть сферичепигя фуюсция Бесселя первого рода (и.
21.8-8). 10.4-5. Частные решения двумерных задач (см. также пп. 15.6-7 и 15.6-10, Ь). (а) Уравнение Лапласа фгФ = — — + — мя — — ~ г — ) + — — = 0 (10.4-28) бр бф 1 аг бо) )аф ока ди» г дг 1 дг ) га дф» допускает частные решения Ф (к,у)=спок" +'я', Ф,(ху)=(а+Ьх)(а+(уу), (10.4.29) Фт (г, »Р) = (Агт -(- †. ) (м сов гпф+() з)п пму) (т=о, 1, 2, ...), (ГОА-ЗО) Фа (г, (р) = А + В ! п г, где К, а также а, Ь, и, (), А,  — произвольные постоянные, определяемые краевыми условиями.
(Ь) Двумерное уравнение Гельмгольца. Двумерное ур»в- нение вида (22) допускает частные решения Ф (х, у)=е!(е' +всю (й'+Аз=О') «»ез (1ОА.З П Фав (х, у) =-(а+ Ьх) е'вг, Фею(г, ф)=2ш(йг) (м сов тф+ () з)п »пф) (гп=о, 1, 2, ...), 1 '"' ' ) ()ОА-3» Фа (г, (Г) = 2„(лг) (а + Ьц). 326 ГЛ, 10. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ !8.4.8. 10.4-8. 104 ЛИНЕИНЫЕ уРАВНЕНИя МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 327 (с) Комплексно сопряженные решения (29) и (31) образуют различные произведения действительных линейных, показательных, тригонометрических и]илн гиперболических функций.
!8.4-8. уравнение Шредингера. Трехмерное дифференциальное урланевие I 2» ТЛЕ + ~ — — А*)Ф = 0 <, г Напускает частные ошеимо (!0.4.33) Р ФА/ <г, Е, ср) =гф Агбг/+1 (гас) 1,<е,,р), с — + с' ). е )'г ФА <, Е,,р) = ' „— г/-1 <гаг) )',(Е, ) г/+! " / Х </ О, 1, 2, .„), (10.4-34) глеб» (5) — фимпчии лаг«РРа (а. 2!.7-5). если Ф ноРмиРована (и. 15.2-!б), то оао обРаа ауетс» решениями первого тина (34). Нормированные решения существуют только дло собстоеиных значения (а. 15.4-5) Хь таких, что о/Х о=0, 1, 2,, В атом случье функции Лпгчррь саодягся к прасогдимемпым поли«омом Логгрро а решения (34) обрьауюс ортогональную систему а смысло оо.
21.7-5 и 2!.8-12. !0.4-7. Частные решения для уравнения теплопроводности и диффузии (см. также пп. 10.3-4, Ь, 10.4-9, 10.5-3, 10.5-4 н 15.5-3). (а) Одномерное уравнение диффузкн — ',*Ф вЂ” — '. Ф=о (10.4-35) допускает частные решения — тх — Ытн Ф(х, 1) = =е 1 47< У< Фо(х, 1) =а+Ьх, (1 > О), (!ОА-36) где й — произвольная константа разделения, определяемая краевымн условиями. (Ь) Двух- нли трехмерное уравнение дифсрузнн 1 до чаР— —,— = 0 дг (10.4-37) допускает частные решения Ф (г, 1) = Фа (г) е (!0,4-38) где Фа(г) — частное решение соответствующего уравнения Гельмгольца (22) (пп.
10.4-2 и 10.4-5, Ь); й — произвольная константа разделения, определяемая краевымн условнямн. Уравнение (37) такасе допускает частное решение гл 1 4то — е (деумерный случай), (1ОА-39) Ф(г, 1) = сс 4»'/ (трехмерный случай). Ус' !0.4-8. Частные решения дли волнового уравнении.
Сииусондальные волны (см. также пп. 4.11-4, Ь, 10.3-5, !0.4-9, 10.5.2 н 15.6-10). (а) Одномерное волновое уравнение — — — — =0 дь,ь 1 дл,р дль с«дм (10.4-40) допускает частные решения вида Ф(х, 1) =еж/а«спсы! енсы <хшсб (ш=йс), (10.4-4!) где я — произвольная константа, определяемая краевыми условнямн. Функ- цпа (41) н соответствуощее значения Ач образу!от собсгзс!псые функции и собственные значения (пп. !ОА«2 и 15.4-5).
Решения вида (4!) образуют следующие действительные решения. Ф (х, 1) = С соз (со/ + 7,) соз (Ах + у,) ("с,пусоиуальные стоячие оэлны), Ф (х, 1) = а соз (о)1 -с- /сх) + Ь ып (ш/ .ь. Ах) = (((со=до). (!0.4.42) =Л соз(ш/ ж /(хм у! (синусоида«симо валям, ргспрострамяющиеся а положительном и отриооспелоиом мапраалечии оси х) Круговая частота со, частота т = ш,(2п), волновое число /с, длина волны Х = 2Л А н фазовая скорость с синусоидальвой волны связаны соотношевиями )л = — =с. (10А-43) Суперпозиция синусоидзльвьж волн (42) в виде рядов Фурье нлн интегралов Фурье образует более общие волны.
(Ь) Двух- илн трехмерное волновое уравнение (!0.4-44) допускает частные решения вида Ф<г, 1)=Фа(г)е — 1"с (шьыйс), (10.4-45) где Фа (г) — частное решение соответствующего уравнения Гельмгольца (22) (пп. КЕ4-4 н 10.4-5, Ь); А — произвольная константа разделения, определяе- ьсая краевымн условиями. Решения вида (45) образуют решения, содержащие действительные тригонометрические функции; в частности, отметим следующие решения: Ф (х, у, 2; 1) =А соз (О)1 Т- (/с)х+Ь~+Ьег) +Т] (21+А.;+А) — Ь-; ш =ус) (10.4-46) (синусоидоломосе плоские волны, нормаль к фронту которых ил!ест иапрпе,!ение (Й(, Йм да)), Ф (р, ср, г; 1) =Ксп(Р]' /Н вЂ” К') соз(со/ ж Кг сс- пир+7) (т = О, 1, 2, „.; ы = йс) (!0.4-47) (синисоидальные чилиндричесхие болли), Ф (г, О, ср; 1) = — '..
2 „! (Ьг) у(0, ср) сое(ш1+у) )с-- /-1- </г (10.4-48) (/ = О, !, 2... ', ш = Ас) (синусоида«оные сферические стоячие волны), ] Ф(г, О, ср, 1) = — соз(ш/ с- Уг+7) (излу«анис точечного источника), о «, с., » =« (-Г .сп и л.с = — с с~ - с! ! 1 ас' г (10.4-50) (излучение дииоля), Ф(г, ф; 1) =2 (/сг) (исозтср+]) вп тср) (ассам/+Ь 3!им/) ~ (т = О, 1, 2, ...; <о=/сс) (!0.4-51) (дьумермые симусоидш(ьиые круговом стоя'ше боями).
328 Гл. ю. УРАВнения с члстныы!4 пРОизВОдныжн 10.4-9. 320 10.6-1. 10.5. Л(ЕТОД ИНТЕГРЛЛЬНЫК ПРЕОБРЛЗОВЛНИП <!нлннарнческие волны (47) распространяются в пояолгнтельиом и отрицательном направлении осн Оз с фоэоеоа скоростью с' = м К = ьс/К, которая, как видно, зависят от ю и К /дисперсия/. 1ррппоеоя косеешь в направлении осн 0» равна дм/дК = Кс/а, (с1 Общее одномерное затухающее волновое урапиение (телеграфное уравнение). Уравнение нерецачн по линии д'Ф д'Ф дФ дха " д/з ' д1 -- — л„— - — а,— — о,Ф = 0 допускает частные решения вида Ф (х, П = енц !Ьхсз/, (10.4-53) где з = о + /ы есть «орень «вадратного уравнения о„з* + а,з + (с, + а') = О.
(<ОЛ.54) Комплексяо сопряженные решен~гв (53) образуют эоягрхпющиг синусоидах кме еолны и смысле и. 9.4-6; в случае кратнык «ориеа уравнения (54) следует поступать так, как в п. 9.4-1, Ь. Уравнение (52) вкшочает уравнения (35) и (40) как частные случаи.
Аналоюгчные обобщения имеют место в многомерном с учае. 10.4-9. Решение «раевоа задачи резложением в ортогональные ряды. Примеры (см. также и. 10.5-3). Следующие примеры иллюстрируют применение частных решений, приведенных в пп. 10.4-3 — Ш.4.8. (а) Задача Дыр ниле для сферы (см, такжепп 10.4-3,с,<5.6-2, аи15.6-б,с). требуется наатн функцию Ф (г, О, ф), которая удовлетворяет уравнеяню лапласе О'Ф=О внутри данной сферы г<Л и принимает заданные краевые значения Ф (Я, О, о) = Ь (О, 90 ие сфере. Ясно, что следует яр~сменять сферические координаты ., 6, гь (и. 10.4.1, с). записываем неизвестную функцию в виде суммы решения (!9), которые необходимо ковсчиы прн г О (В =Ы: со 1 %ч ж! / ш Ф=Ф(г,6, Р)= г г г Р (со 0)(о,созшф+йшз!пшгср /=О ш=п Пенавестные «озффнцпенты и/ .
5/л, вычнслаютса ло заданным кРаеамм УсловиЯм со Ф(л, О, сс) ~ ~~ л Р!. (со*6) (о/, со! эпР 1-!1/я, з1п шф) =ь (6, 0). /=0 ш=о Согласно условиям ортогональностн и. 2!.8-!2 2л н о/)= — --. ~ ды~ Ь (О, О) Р; (соха) 2/ -,'-! ! 4п Л/ О 0 2л и 2/ ' ! (/' —:)'. 1 ( нлн = —. ' ' — ( Л,р~ Ь(6, ср! сл (/-(- и)! Л/ З 0 0 2л л д„„=- — ' —.
~ до ~ ь (9, 00 2/+ ! (/ — еп! ! 2л (/ п1)~ Л1 0 О (/=О, 1,2,., Л ш=-<, Нп0 да, Рш (сот О) соч тес юп 6 да, Р!' (соз О) мц ппо юп 6 да (10.4-55) 2, ...,!'1 яоча,гьяым рслоеиям Ф (х, 0) = Фа(х) дФ ( — т, (х) (О щ х( Ьд 'д/ !/=О Ф(О,!)=Ф (О, Ф(!.,О=Фа(1), и кр ~ мм рслощлч (Ь)Свободные колебания упругой струны (см. таклсе и. 1080), Поперечные смен1ення Ф (х, О упругой струны удочлетворяют одномерному еоляоеомр Ьргшяснию д*Ф 1 д'Ф дк* сз д!3 =' Рассмотрим частный случай Ф„(1) =Ф (О =-О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
