Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Так, на рис. 10. 3-1,й Ф, 1)Ф)дх н дФ,ду дФ могут быть заданы на Се, а соотношения вида а — -+ 6Ф=Ь(х, у) — на каждой из дуг С,' н С„'. Решения в разных областях, показанных на рнс, 10.3-1, ссклеивэются» вдоль характеристик тан, что Ф непрерывна, а ОФ1'дх и дср)ду ь)агут быть разрывными.
Заметим, что закинутые границы е плоское)пи Охд нг допуска)ошся. П р н м с р. Начальные задачи для гиперболического сднслсрнсгс зслнсьс с рлсансннл, и. )0.5-5. (Ь) Параболические дифференциальные уравнения. Здесь существует только одно семейство характеристик. Хотя задача Коши может опять быть разрешима для соответствующей дуги Се, однако обычно задается Ф на характеристике д(= !)=О и линейная комбинация а — -1- ()Ф на двух кривых, которые не пересекают и не касаются друг да дл друга или характеристик. Зал)кнутыг границы а плосхоссни Оху не долусхаютсл. П р н м е р !Донусчама следующая краевая задача для параболического рроьнс- д'Ф ! дФ «на днффизнн - ..1- ) — О: заДано Ф гх, 0 =Фа !х) на хаРактеРистике )=О Ьх'з у) ш дФ (ночольнсе вслсзнс\ и о !х, 1) — ф!) !х, 1) и на враных х и на =д !хоосзыс вслсзнл), дг (с) Эллиптические дифференциальные уравнения (см.
также пп. 10.4-! и 15.6-2). Действительных характеристик не существует; краевые условия типа Коши не допускаются. Типичные задачи: зада)от линейную комбипапию а(х, у) — +6(х, д) Ф на кривой С, ок р уж а ю щей дФ дл ограниченную область нлн неогра!х-! ниченну)о область (корргкл)ная крагаая задача). 10.3-5. Одномерное волновое уравнение (см. также пп. !0,3-4, э !0.4-8, а и !ОНЬ9, Ь).
Гнперболнческое дифференциальное уравнение д'Ф !х, П ! д'Ф !х, П 0 дх* с' дп (одномерное солногог ураанен1и) (10.3-1 8) имеет общее решение Ф(к, !) =Ф,(х — с!) )-Ф, (х+с1), (10.3-19) ноторое представляет пару бегущих волн, распространяющихся соответственно вправо и влево вдоль оси Ок с постоянной скоростью с. Характеристики х -ь г1=сопз1 есть геометрическое место точек постоянной фазы (рис. 10.3-2). В пп. !0.3-5, а, Ь и с приведены решения для трех типов задач с начальными условиями. На практике метод Фурье (п 1ОМ-9) может быть предпочтительнее, особенно н приломшниях к неоднородным дифференциальным урапненням (вынужденные колебания).
(а) Начальные условия Ф(к, О) =Фа (х), — ! =Ус (х) ( — со(х < схз) (10.3-20) представляют корргюнную задачу Коии (пп 10.3-1 и 10.3-4, а; си, также рис. 10,3-1, а н !0.3-2). Решение есть х -,'-сс Ф(х, !)= — (Ф„(х — с!)+Фь(х+с!))+эз ~ таД) йб, (10 3 21) х — с) (ранение Даламбера). (Ь) Н а ч а л ь н ы е у с л о в и я Ф (х, 0) =- Фа (х), -д7 ~ = уа (а') дФ в краевое условие Ф(0, !)=О (х 0) (! 0 3-22) (10.3-23) 10.3-4, а представляют смешанный тнп краевой задачи (см. тактке п. н рлс. 10 3-1, й н 10.3-2). Решение х -)-ст Ф(х, Г)=, (Р (к — с!)-(-Р (х+с())+ — $ Г) ф) йй, (10.3.24) х — с) (х ) 0), (х =0), Р (х) = -=( Фз (х) — Ф,( — х) О (х) = ' (1О 3.25) — т,( — х) (х 0) представлнет гулсрлозис!шо прямой и оглражгнной волн.
(с) Начальные услов ия Ф(х, 0]=Фа(х), — ~, =т,(х) (0<к<В) (10.3-26) н краевые условия Ф(0, !)=Ф(Ь, Г)=0 (!)0) (10.3-27) определяют другую смешанную задачу (см, также рис. 10.3-1, й, и !0.3.2). Решение дается формулой (24), где Р (к) н О (х) интерпретируются как периодические функции с перяодом 2Ь и соответственно равные Фо (х) н т, (х) для 0 < х =.
!. и — Фс( — х) н — уо ( — к) для — !. = х < О. 10.3-6. Метод риманв — Вольтерра для линейных гиперболических уравнений (см, также пп. 10.3-4 н 15.5-1). Метод позволяет иногда получать решенле задачи Коши (п. !0.3-1) для действительного гиперболического дифференциального уравнения (.Ф (х, д) = †„ + а (к, д) — + Ь (х, у) — +с (х, у) Ф =) (х, у), (10.3.28) где Ф и †, †- заданы на граничной кривой Са, удовлетворяющей условияз! дФ дФ дх' да п. 10.3-1. В соответствии с рнс. 10.3-1, а решение в каждой точке Р с каор.
дннатами к=(н дь В выра)кается в зависимости ог начальных значений Возмущенве начальных условна, ороаааеденное на заданном ангарелле с к< 5, затрагааает рещение а антеразле и — ос<к <5-1-с). Разрынность Ф, !х) расвространястся а оба наораалення. 404, ЛИНЕ1«НЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИ'1ЕСКОИ ФИЗИКИ 319 10.4-1. 31$ Гл. !О. уРАВнения с чАстными пРОизВОдными 1О 8.7. где так называемая функция Римана — Грина 6 (х, у; 5, ц) непрерывно днфференцпруема внутри области ОР, ограниченной СР и характеристиками, проходящими через точку Р, и удовлетворяет условиям простой краевой задача д' д д !.6 = — — (аб ) — — (Ьб )+об( —— 0 (х, у внутри Ор) ая б,=ехр) а(9, у) йу (х=е), л б =ехр)гЬ(х, з!)дх (у=т)).
й (10. 3-30) Припер ы. Для а 0 =с=а функция йц=!. Для а=э=о, с=соне) функцвя О>г= уо [У 4с (л — Ь> (а — Ч>[, гае и Ш> — Функция Бесселя первого рода порядка нуль (и. 21.8-!). Для ыногнх практкческнх прннененнй, в которых встречаются линейные гнкерболвческн» дифференциальные урввненвя с настоянными козффацнентвнк, прекпочтвтельнее метод ннтегрвльнык преобразований (и. 10.5-!) 10.3-7. Уравнения с тремя и более иезависнмымн переменными.
Действительное уравнение с частными производными вида а«Ф а)а (хх, кх, ..., хп) 8„8„+ 1=1 а=-1 где Ф=Ф (хх, хш .,., хл), называется эллиптическим дифференциальным уравнением, если матрица [а;й[ положительно определена (п. 13.5-2) вшолу в рассматриваемой области.
Во многих задачах рассматриваются неэллиптические дифференциальные уравнения с неизвестной функцией Ф, зависящей от и пространственных коорлинат х), хю ..., хл и временнбй координаты С Дифференциальные уравнения вида л в в л 1=!а=! 1=! а=! где матрица [сщ)=[с(а(х,, хх, ..., х„; !)[ положительно определена и В есть функция от х,, С Ф и дФ(дк;, являются соответственно примерамн уравнений гиперболического н параболического типов [!О.?[. !) См.
также форнулу (10.3-4). Ф (х, д), дФ)дх, дФ(ду на сегменте граничной кривой СР, ограниченном карактеристиками, проходящими через точку Р 1): Ф (9, ))) = 6, Ф [л — ~ 6ЛФ (а йд — Ь йх) + Ср + 1 ~ зн У+ л дк 1+аз л) У >( [В дйл дш — ) бцФ(айд — Ьйх) — $ [Ф 8 йл+бя 0 с(д)+ ) ) 6>()((худ, (10.3.29) Ср харвктернстнкн более общих днфферепцнзлькых урввнепнй (31) и (32) суть поверх. востн нлв гвперповерхностн, нв которых краевые условия типа Кошв не позволяют опредешпь нропзвойкье высших порядков вскоыого решення. Эллнптнческве днфференпнельвые уравнения ке ныеют действительных характеристик.
Понятие хврактернстнк пожег быть рзспрострннепо нз уравнения с частными прокзводвынн порядка высшего, 'ын два, н на некоторые снстены уравнений с частными провзвопнын» (10.5!. 10.4. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ 1ОМ-1. Физические основы и обзор. (а) Многие проблемы классической физики приводят к отысканию решения Ф(х, !) нлн Ф(г, () линейного травнения с частными пропзвоцпыыи в заданном интервале или области У (табл. !0.4-1).
Неизвестная функция Ф и или ее производные должны, кроме того, удовлетворять заданным начальным условиям при (=0 и линейным краевым условиям на границе 5 области У. Аналогичные задачи возникают в квантовой механике. Каждое дифференциальное уравнение, приведенное в табл. !0.4-1, является однородным (й. !0.1-2, Ь), если 1=0. Заданное краевое условие также однородно, ссли нарялу с каждой фувкцией Ф, которай удовлетворяет краевому головню, ему удонлетворяет и фуннция аФ. Неоднородности вознннают в результате действия внешних влияний (силы, источники тепла, электрические заряды или токи) на рассматриваемую физическую систему. Для эллиптических уравнений типично описание сгпационарных процессов (стационарные температурные и элентростатические поля, упругая деформация). Параболическое и гиперболическое дифференциальные уравнения описывают переходныг процессы (свободные колебания, возникающие вследствие заданных начальных возмущений) или, если имеются неоднородности, зависящие от времени («вынуждаюшле» функции в дифференциальных уравнениях или нраевых услов ях), описывают процессь! распространения возл)ущелий (вынужденные колебашп), излучение).
Можно связать каждую задачу обсуждаеного тнов со своей еппрокснннрующей системой обыкновенных днфференцпальных уравпеппй, заменяющей каждую прострввтеен ую пронзводпую рвзностнын козффвцневтон в сньнле и 20.8.8 (метод ролл«ошно .лффгл«нц»ольлыл нллплснпн) Этот метод прнненнн не только аля чнсяенного ре)неннв; внзлогня с двскретнынн пробленанн типа, описанного в пп. 9.4-1 — 9 4.8, полег приводить н пьтересныы фнзнческнн анвлогняы. (Ь) Конструкция решения методом суперпозиция. Многие важные методы решения линейных дифференциальных уравнений основыва!отса на фундаментальных теоремах суперпозицин, сформулированных явно в пп. 9.3-1 и 15.4-2. Метод наложения (сулерпоэиции) разумно выбранной последовал>ель>июпти основных функций дает возможность полу«огнь решения, удав ггтворяющие заданным краевым условиям и!или задалпыл! на:альпы.л условиям, а также получать решения неоднородных уравнений.
Рааложгния го собгпшепныл! фулкциял! (пп, 10.4-2 и !5.4-!2) и методы инл!егральных преобразований (пп. 9,3-7, 9.4-5 и 10.5-1 — !0.5-3) представляют систематические схемы для конструирования таких решений. Методы функций Грина (пп. 9,3-3, В 4-3, 15.5-1 — !5.5-4, 15.6-6, 15,6-9 и !5.6-10) являются суперпознционнымн схемами, которые сводят решение соответствующих задач к задачам с простыми вынуждающими фуннцняын илн краевыми условиями.
Оби!ал пиория пикейных крагел!х зада( солержнтси в гл, 15. Пункты !0.4-3 — 10.4-3 пргдставлшот применение частных методов с эвристичесной точки зрения элементарного курса. (с) Выбор системы координат. Система координат л', х' нлн х', хв, х', определяющап точку г, обычно выбирается тан, что, во-первых, возможно разделение переменных (п. !0.1-3) и(или, ао-вторых, задиллал граница 3 предел)авлхет координатную линию илц поверхность или пару координатных лилий или пгогрх гостей. 320 ША-З, (10.4-(Ь) (!0.4-2а) (10.4-2Ь) (! ОА-За) (!0.4-3Ь) о ы о и н н н и й и и н и и и. с о и и гл, !о. урхвнении с чхстными ЙРОизводными !зл-!. !Ол.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
