Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 69
Текст из файла (страница 69)
та.сже п !ж2 О Ю. Если палаыа интеграл (47), лающий решение урааиеннн (16>, неизвестен. та мо к на пытаться ввести каноническое преобразование, связмвающее 2л ->- з перемени»а л =г, р, х., Р. с лл+ 2 нов»ми переменными х= г, Р, х! Р. так по Р+ О= г' ! =Р+Н, н 3ГЕ ГЛ 10. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОЛНЫМ!4 !0.3-!. 103. УРАВНЕН?1Я С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОЛНЫАН! 3!3 10.3-2. 10.3. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ, ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕННИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ, ХАРАКТЕРИСТИКИ 10,3.1, Квпзнлинейные уравнения с чзстнымн производными второго порядки с двумя неззвисимымн перемеинымн.
Характеристики. (в) Уравнение с чзстнымп производными г-го порядка иззыввегся квази- линейным, если оно линейно относительно производных г-го порядка от неизвестной функции Ф Квазилинейное уравнение второго порядка с двумя независимымн переменными х и у ииеет вид д'Ф д'Ф д'Ф и — -+2аы — +азз — + Э=О, 11 аа Е аг ду ааа (10.3-1) (10.3-2в) х=х(т), у=у(т), и послсдоантгльность крагаых условий типа Коши!) ,)» Р (т)' а "(т) (,дт Р ах+4 дт) (10.3-2Ь) (зтн условия в п.
10.2-2 назывались иичалаиыли). Кривая Со вместе с функциямп (2Ь) образует полосу первого порядка С,. Заданная совокупность функций (2) единственным образом определяет значения д'Ф д'Ф даФ дхз ' дх ду ' дуа -- -=и(т), — =о(т), — =ш(т) (и также значения производных высшего порядка от Ф) на кривой (2и) в кажлой точке Ро, где фуниции (2а) не удовлетворяют обыкновенному дифферен. цнвльному уравнению (ду'* и11 ~дх) — 2иы а +ива=О (10.3-4) нлн дг ааа 1 ~/а(з — а„а дл ап В самом деле, производные и, и, ш от Ф на С, должны удовлетворять уравнению (1) и условиям полосы второго порядка ар т)х ду ад дх ду ит дт ат' дт дт дх' — =и — +о —, — =о — +ш —, (!0.3-5) твк что, например, а ~дуда 1 аае (хад-)-Вахид а= аы да' — 2аы 4!х дУ -1- аы ах' ' (10.3-6) 1) Если задаем граничные значения нормальной ппоаюодлой дФ)дп (п.
5.6-1) (10.3-3] дг дх ду то решая уравнение (3) вместе с условнем — р — + д —, яайдем р (2) и д (х), 2Н дт лт' дФ дФ где ип, аы, аа, н Э вЂ” фУнкции от х, У, Ф, — и —. ПРедполвгветсЯ, что все дх ду' встречающиеся функции и их производные непрерывны. (Ь)* Х в ра к те р исти к и. Дана кривая Со (в плоскости Оху), описываемая уравнениями Уравнения (4) выполняются в точке Рш сели С, есть дуга хзрактеристнческой кривой (называемой часто хзрзктеристикои) у=у (х), удовлетворяющей уравнению (4), илн если С, касается такой кривой в точке Р, Собстеенно говоря, харахтернстякя свяаывают с лнфференцяальвым уравненном (!) краеые г=х(т), у=у(т),2=2 ГО на интегральной поверхности 2=.Фин у), тан Чта У=У(г) УдазастзОРНЕт УРаВНЕНИЮ (1).
Е«ЛЯ УРазпввнв (1) Лпзвйва, У. Е аа, аы, а„, я В ве завэснт от г, р я д, то харектер~стэкв опрелелнютсн аезаваснмо ог выбора 2, р а д, т. е неза~нсамо от ннтегральной поверхности. Основал» задача Коши дтя уравнения (1) сташшся следующем образом. Лана полоса первого парника Сп нада найти решение Ф (г, у) уравненян (1) такое, чтобы пзверхность Ф(х, 21 содер>кааа полосу С,. (Решенэе ищется в некоторой л1алой онрсстностн кривой Сш см.
такэве и. 10.3.4.) Если полоса С, целяном состоит нз точек, в ноторых уравнения (4) собаюлаются (характервстачесвая полоса), то, чтобы на пей можно было постронть полосу второго порядка, должно соблюлаться лаполнптельное услонве. Так как на интегральной поверхпоста выраженве (б) должно быть нопечЬым, то дсп дФ ;э = — я дх ду должны удовчетворять обыкновенному лвфференцэальнаму ураэненвю ам даду-1-а„угад-1-Вд»ау=о нлн дд а 4- )/аэ — аыа, В )'ду! йр аы а„, ',ур, (10.3-7) на каждой характервстнке, определенной уравненяем (4) с саответствующпм знаком плюс влв минус. В этом слу1ае полоса второгэ порядка определяется не олвозпа пю.
Зсо означает, чта на характервстнческвх полосах возможно ветнлеаэ» янтегральной поверхэостн, т. е имеются различные внтегральные погерхаостн, Ллн которых вдеть «арактервстякв значевяя Ф, р э д совпадают, а некоторые пройзволные высшнх порядков оназываютс» различными 3 а м е ч а и н е. Проязаол1 ые второго порядка от Ф могут быть рзгрывны (но обязательно конечны) на харантерпстнке, так *1то разлпчные решения могут быть соеаннены вместе вдоль характернствк.
(с) Гиперболическое, параболическое и зллпптнчес ко е у р а в н е н и я. Данное квззилииейное уравнение с частными производными (!) является нз выбранной интегральной поверхности: !) ГИПЕрбОЛИЧЕСКИМ, ЕСЛИ иыи,з — и',з ( 0 ВО ВСЕХ тОЧКаХ ПОВЕРХ- ности; тогда уравнение (4) описывает двз различных семействз характеристик; 2) пврзболическнм, если анав, — иы =О; тогда существует одно семейство хврзктеристнк; 3) зчлнптическим, если и)(и,з — и), ~ 0; тогда действительных характеристик не существует.
Следовательно, тип квззилинейного уравнения зависит от того, какое решение рассматривается, и может быть разным для разных решений. 10.2-2. Решение гнпербогнческнх уравнений методом характеристик (см. также и 10.3.4) В гллербоапчгсхол случае (а а — а2 < О) одновременное респенае четы. 11 22 Ш рех обыкновенных дяфферепцвальэых уравнений (4) в (7) выражает р = дсрп)г н д = = — ЬФ)ад нэ ншегральной поверхности вак функции г э у, так что Ф = Ф (х, у) может бить полу1ена далььейшям интегрированием Во мпогвх првложеоннх дФ(дл и аФ)ау более важны, чем Ф (», у) (кэмпов«нты скоросщ1). этот метод образует ос1ову для многих апалнтя 1еснях н чнсаенных методов ре1невяя в теории сжэмаемой ж нйк ос та.
Вычнслення значнтельва упрощаются в спецнальном случае Есле В = О, то (:-"),®.=--С ®.В,=-Ь ()О 3-3) гке цнлекс означает, что в уравнениях характеристик (4) н (7) выбираются соотзет. отвеяно знаки плюс влн минус. Если в дополнение аы, аы н аю эавнсят только от дФ)дх н дш)ду, то нужно решать толька уравнение (1) лла полученнн характсраствк (двумерное устойчивое сверхзвуковое течепае жалкости). Йапротвв, если аы, аы и аы зависят только ат х и у, то нужно решать только уравнение (4). "гьг5! "СЬП5! у!рость Рр Рмегмь Рр (1О. 3-11) (Пдз-12) (10, 3-13) с) 314 гд. !о. урлвнцння с плотными пронзводнымн 1Е.З-З. 40.3-3.
Преобразование гиперболических, параболических н зллнптических уравнений к квнвиическому виду. Пусть ап, а„и а 2 — функции только от х н у, так что обыкновенное дифференциальное уравнение (4) разделяется на двз уравнения первого порядка ду -„— =Лт(х, у) с решениями й,(х, у)=ат, -о=Л,(х, у) с рещенияь(и йз(х, у)=а„ (10.3-90) где а„ а, †произвольн константы. В зависимости от знака функция аыаз, †в рассматриваемой области значений х, у') возможны три случая.
1. Гиперболическое дифференциальное уравнение (а!та„— а,-', (0). Лт (х, у) и Л,(х„у) действительны и различны. Суи(еспыуютп оза однолараметрических селейстоа действительных хараспериспи(х (9а) н (9Ь); через каждую точку рассматриваемой области проходит одна кривгя каждого семейства, Вводя новые координаты х=й((х, у), у=!ч(х, у), (!0.3-10) преобразуем данное уравнение (1) к канонической форме д'Ф 1' дФ дФ ( ==/!х, у, Ф, —, -я), дх др ( дх' ди) Система координат «+р 2 †т) = 2 ' 2 производит вторую каноническую форму д*Ф д*Ф дФ дФ) ййт дт!' 1, ' ' ' дйч днт — — — =д(й, т), Ф, — —, 2.
Параболическое дифференциальное уравнение (оттает — а'„=О). Л( (х, у) н Лт (х, у) действительны и тожцественны. Суи(естеует одно однопараметрическое семейство дейатыительных характеристик (9); ~срез каждую точку (х, у) рассматриваемой области проходит одна характеристика. Вводя новые координаты Хй 01(х, у), у=де(х, у), (10.3-14) где йе (х, у) есть произвольная диффереицируемая функция такая, что д (х, р) д (х, о! — ФО, преобразуем уравнение (1) к каноническому виду — 2=у 'х, у, Ф, —, —.), (10.3-15) 3 Эллиптическое дифференциальное уравнение (отта,,з — аы)0).
Лт(х, у) и Лз(х, у) н, следовательно, 61(х, у) и ГЧ(х, у)— комплексно сопряженные; дейстеительных хараттеристшс ие существует. Ввода — — (10. 3- 1б) В ознчянх случаях Лясярнняячят а а — а2„ не меняет знака ь расснятря- 11 22 1т ьаемой облястя Зянетяи, что ьяяя а а — ат есть ннзернент отяоснтельео яепре- 11 22 12 рияяо лнз(5егенцяруечмз преобрятьеяняй координат х=х(х, е(, р=о (х, е! с яену.
геенн яяобньтюн. М В последнее время большое значение получнля ьчхачн смененного тяпа, когда десярянянянт п е — ат меняет знак е рясснзтриеьеной облястн (сн, 1!0.71!. 4( !е з. у йвнцнпя с чйстнымн пронзвод!лымн преобразуем уравнение (!) к каноническому виду 2+ 2 ~ ~ ' У' ' )' (1О. 3-17) дхт дет ~ дх' дч) Эти трп типа урга(ений с частными производными существенно отличаются друг от друга заданием краевых условий, обеспечивающих существова«нс и единственность решения (пп.
10.3-4 и !5.6-2). 10.3-4. Типичные краевые задачи длн уравнений нторого порядка. (з) Гипербол«ческие дифференциальные уравпе«ия, В задаче Коши (задача с «гчальными условиями) в и. 10.3-1, Ь требовалось Ряс. (О.з-!. Крьееие зялачн лля гяпчрбьлячсс1тх ляфйерсяяяа21.еих урряяеяяй. найти решен«е г«перболического дифференциального уравнения (1), задавая Ф, дФ еФ . — и — иа дуге С, регулярной кривой, которая не является характеристикой (4) и пе касается характер«стик.
Такая нрнвая пересекает каждую хзраигеристику не более (ем в одной точке; задаиньш начальные значеття олредетяют Ф е треугольной области 02, ограниченной Сь и харантеристикы1и каждого семейстпеа (рис, 10 3-1, а). Более точно, значения Ф в каждой точке Р облает«о, определиются з«ачениями Ф и ее производных на час" «С, д)!и Р Сь, которая ограничена характеристиками, проходящими через точку Р.
зрй ГЛ. !О. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМП 10.5-5. !ВЗ. УРАВНГНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ зру )в.з-а. Второй тип краевой задачи задает только линейное соотношение а — -+ВФ=Ь(х, д) на дуге Са, определенной выше; в дополнение Ф задана дФ дл на хаРактеРистике Сс, пРоходищей чеРез конечнУю точкУ дУги Са (Рвс 1О 3-1, Ь). Трс)иий шин краевой задачи задает Ф нэ двух пересекающихся дугах характеристик СС и Сс (рис. 10.3-1, г) (задача Гурга). Комбинации зтнх трех типов задач могут указывать допустимые красные условия для более сложных границ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
