Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Стоячие волны (42) одномерного вояно. Ь аого уравнения удовлетворяют заданным краевым условиям, когда щ=- — и/2 и половина дчнны волны Л/2 = и/а целое чвсло раз укладывается в длине струны !.; лп плс *= —, о=аз=в 1. (э=О, 1,2, ...). Записываем решение в виде рида из частных решения ь ! / плг . лпс ) лп Ф(х, О= гз (а соз — — 1-1-0 з!и —.. !!з!и — х =,Рл (и' / и 1.' л=) н определяем «оэффнцвенты с и Ь нз начальных условий, пользуясь формулами для л л «оэффнцнентов Фурье (и. 4.П.4, Ы: 2 Г, лл а = — ! Ф <х) з!и ' хдх (я=1, 2....), п=<- ~ о! 0 — (х! юп — ха» (л=!.
2, ...). 2 г, лп л,:~с) с '' Ь о Решеипе прелставляег сумму гэриоиическик стоячех волн, возб)о«денных заданиымн начальными условиями <с)Свободныс колебания круглой меыбраны. Поперешыесмещевия Ф (г) мембоаны, закреплеяноа по окружности г = 1, удовлетворяют еолисзсмр ррое- ! д*Ф нс«ио о'Ф вЂ” —, — — =0 <г щ !), краевому ь ломтю Ф о прн г = 1 и несоленым рсгоеилл~ с' ды дФ Ф=-Ф, (г), — =те <с~ пРн ! 0 (г ( 1). — е Применим пплириые координаты г, ф. Так как Ф непрерывна при г =-О, то образуем суперпознцию решений (61), содержащих только функции Бесселя первого рода, г. е. Е (Ьг) = 7 Ыш (и 21.8-11. Такие реюения образуют хороктерисшпчжкие ксхеоолил, ш ш зловлетворяющве заданному нраевпму условию, если Ь= — = — Ь ю (л, ю=п, 1, 2...), с жл гд ь есть л-1 депгтвительнлб положнтельныа итль функции / (Гл этя зада~а есть жл ж еодлча о собг ~эеяяих нн ешзлх.
Решение представляет я а внд» суммы характеристических колебания Ф(г, гь, 0=.. ~~ ~ / Н лг)(о псозшф+В из!пелр)х я!=О о= х(о соя са /-Р Ь жп са !). гче иеизвестяые коэффициенты определяются как обыкновенные козф4нциенты Фурь ~ яа подстановке заданнык начальных условна. !0.6. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 10.5-1. Общая теория (см, также пп.
8.2-1, 8.6.1, 9.3.7, 9.4.6, 10.4-2, с и !6.4-12), Требуется найти решение Ф=Ф(х,, хю ..., хн), уловлетворяюшее за/шнныы красным услониям дсйствятельного линейного дцфференпиальпого )равнепнч с частнымн производными д" Ф дФ (!ч-';1.,) Ф=ае(хл) —,-+а, /хп) - . +аа (хл) Ф+(.эФ= дх ,. дх„ =/(х,, хш ..,, хп), (10.6.!) гле Ез — линейный однородный лиффереппяальяы/! оператор с производными и коэффяпнен!ами, содержащими хд, хв, ..., хп 1, но не хп. ЗЗ[ 10.5-3. (10.5-4) х> з со !» за ьк— )=1 т ЗЗ0 ГЛ, !О.
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ !0.5-2, Для простоты примем х„изменяющимся з некотором ограничевном или неограниченном интернале (а, Ы для всех х„х,, ..., х„! так, что граница 3 области решения состоит из двух координатных поверхностей (см, также и. 10.4-1, с). Уравнение (1) можно часто упростить, применяя линейное интегральное преоб азование р Ь <р(х), х " х -1! 8) = $ К(хл, 8) |р (хы хз, х„) с(х|п (10.5-2) а Если ядро преобразования К(х, 3) выбрано |пах, |ипо [.»зК(х„, 8)= —,—, (О,К) — — — (а,К)+а,К=Л(8) К, (10.5-3) 04 дхи ([.се — опеРатоР, сопРЯженный с 1., (и. 14.4-3)), то интегРиРагание по частлм обобщенная формула Грина, п. 15.4-3) пригодтп к возможно более простому иффереициалыюму уравнению ([.е+Х(8)] Ф= [х„=Ь (х! ха, ...
хи !', 3) Р (хм хе ° хя' 8) ~ дФ д)с < /» (х! ха " "п( 8):"е '(К д — Ф дх )+(а) ае)Ф"( л и относил)еяьио неизегстиай фрихкии Ф (х(, хз, ..., хл 5 8), являющейся интегральным преобразованием искомого раиеиия. Заметим, что новое дифференциальное уравнение включает в себя краевые значения Ф идФ/дх|ы заданные для хи=а, х„=Ь и пеРемеииык х), хя, ..., х„!. Метод интегРальиого пРеобРазования предполагает существование интегралов (2) и сходимость формулы об. ращения б Ф(х(, хз, ..., хи)=$ О(х„, 5) Ф(х), хе ..., х„)! 5) (18, (10.5-5) а (сч. также п.
15.3-7). Табл. 8.6-1 иа стр. 207 содержит некоторое число употребительных интегральных преобразований и формул обращения. Заметны, что в решеннях прео5разованного днффсренцнального уравнзння (4) кон. станты ннтегрнровання следует рассматривать как пронзвольные функцвн от з. 5!етод ннтьгрзльных прзобразованнз можно озобшнть на дифференциальные уравнения, содержащне производные высших порядков от х; кроме того, знтегралы)ое и' преобразованне можно променять по двул| переменныч х, х 1 одновременно.
Если в выл' л-1 раженнн И (х, я) допускается б.функция, то формула (5) может прнводнть к разложен яиял е яяди для Ф в конечном интервале (а, Ь) <коне«ю|е интгьрсяьяие иртбра»ееаяия [8.31). 1ВЛ-2. Преобразование Лапласа по временнбй переменной (см. также пп. 8.2-1, 8.3-1, 9.3-7 и 9.4-5). Задача с начальными условзями для гиперболзческих и йараболических дифференциальных уравнений часто упрощается введением одностороннего преобразозания Лапласа |р(8) = ) <р(!) е з' й!, 0 которос преобразует каждое линейное дифймренциальное уравнение с част. ными производными с постоянными козффициентамв — - — а, — — аеФ=/(г, !) д*Ф дФ д(ь ! д! !оз. мгтод интегральных преоврдзовднии в новос н, возможно, более простое дифференциальное уравнение р»Ф (аеге+а'3+и')Ф /(П 5) [(~аз+ ат)Ф+~а д| [<=о о (10.5-7) дФ! для неизвестного интегрального преобразования Ф(г, 8) решения Ф(г, !). Краевые условия преобразуются подобным же образом; заметим, что уравне- ние (7) включает в себя заданные начальные условия.
!0.5-3. Решение краевых задач методом интегральных преобразования, примеры (см. также и. М.4-9). следуюн(не примеры нлл|острнруют простеашне прн:|гневна нп- тсгральных преобрааованнп к решанн|о краевыз задач (см. также (8.51). (а) Однол|ерное уравнение теплопроводностн в слу |ее фнк. снрованноа температуры на концах: прнменевне преобразо.
в а н н я Л а и л а с а. Теорема Дюамеля (п. )0.5-4) своднт важнын класс одномерных задач теплопроводностн к виду д'Ф (х, |) 1 дФ (х, |) — — — — =0 (о<я<8, 1>0), дх* т д| Ф (х, О+ О) = Ф«(х) 1«е«л мясе условие\, Ф (а, 0 =Ф =сонь(, Ф <Ь, 0 =Ф(,—— соп»1 р>0) (кясеьме ус»с«ия). Дифференциальное уравнение преосрезуетсн к виду д'Э (х, з) з — 1 дх* т* ' т* — —, Ф (х, з> = — —, Ф, (х) (а С х < Ь>. Если, в частности, Фь (х) = Ф, =-сопл(, то Ф (х, *) = С, И> е" ! '/т + С, (з) с — х ! ' /т + — '- | Б где функция С, (|) н С, (з) должны Сыть выбраны так, чтобы ныполнвлнсь преобразо.
ванные краевые условия — )а — Ь, Ф(а, з)=- —, Ф(Ь, з)=- — ! з 3 Ф (х, 0 получается как обратное преобразование Лапласа методамп пп. 8.4.2 — 8.4.9. В частности, для а=0, Ф =О, Ф* — — О имеем а Заметим, что зта задача может быть решена методом и. 10.4-0. (Ь)задача теплопроводноств в случаебесконечногонптср- вала.Прниепеннесннус-н косинус-преобразованнп фурье.Ме- тоды и, 10.5-3, а тзклсе пременнмы, если а = О, Ь = со; д'Ф (х, |) 1 дФ (х, О дх' т' д| — — — =О <х)0; |>0), Ф (х, 0+0) =-Ф, (х) (х) О) (яа|альяее ус«сене), Ф(о, П=Ф,<0, Ф (1 ) О> (хроезие условия>, | Ф (х, О !'дх существует 0 Применяя синус-луеобри«ьеаяие Фурье т/г ( е (з, () = )' — с! (х, |) |1п зх дх и 0 (и.
4.Н-З), можно, как в и. 4.П-5, с, получнть преобразованное днфферешц|аяьное уралнсане 1 дФ(з, 0 — )/«2 т| д( — — †.(- П Фо (з, 0 =- ~ — з Ф (О г п ГЛАВА 11 МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ огкуца 11.1. ВВОДНЫЕ ЗАЛ[ЕЧАНИВ 1. Ф+Ао(х) дн +А,(х) ОТ=О дзФ дФ Ф(х, О+0)=0, — -~ =0 дФ дс ОФО сэ — + 5Ф = Ь (!) (0(х(ТИ! !>О), (О (х(Е), (х=о, ! > 0), (!0.5-8) >спи (!0.5-10) лаксимум при Г(а)=0 и 1" (а)(0, мияилум при р'(а)=0 н )" (а)>0.
332 Гл. 10, уРАВнения с члстными НРОизВО)[ными Ш 5-! н пРеобРээпваииое начальное Условие Ф (з, 0-1- О> = Фе(з). ПРеобРаэпвваиан задача имеет решение 1 Ф (з, с) =Фо (з)з т'з'С+1 — )зз ~ Ф (С) з т'з'(С т) ит, г и О Ф (к, 1) = )л — ) Ф (з, 1) з!и зк йз 0 ЕСЛИ, В ЧаСтНОСтк, Эанаиа Фа (С) =СОПЗ1= Фа Н Фе (К) О, та Ф (З) — 0 Н 1 — е — тз'зг ° П 2 к Ф(з, 1)=Ф >/ —, Ф(», 1)=Ф 11 — ег(=1, и а 2 у С!' Еснв звквно краевое усневне =0 0>0) дх (к = О -1- 0 (гевлеизелврованный кеьец>, те прнмепяется кесинус-прсебреэзвение Фурьв ез ср (з, 1) = )С вЂ” ~ В (.г, 1) соь ы йк.
тс 2 0 10.5-4. Формулы Дюамели (см, также п. 9.4-3). (а) Пусть !.—,Однородный линейный оператор с производными и коэффициентами, не содержащими переменную 1, Пусть Ф (х, !) есть решение задачи а начальными и краевыми условиями н пусть Чг(х, !) — решение этой задачи для Ь (!)= ! (! > 0). Тогда Ф (к, !) =Чс(», !) Ь (О+О)+ $ Чг(, ! — т) Ь'(т) д~= — азу (», ! — ) Ь(т) д~ д о 0 (ОСх<Е! (>О).
(10.5-9) (Ь) Решение Ф (г. 0 общего уравнения диффузии 1 дФ О ° [а (г) О) Ф + а (Г) Ф вЂ” — — — 1 (Г, 1) (Г Ы У, 1 > 0), т' дс Ф(г, 0)=Фз(г) (г Ш У), о — +РФ Ь(г, С) дФ (!шл, 1>О> дя е ааввсящнми пг времени воэмущэющей функцией 1(г, 1) н краевым успением 5 (г, 1) связано с решением зу(г, 1; х) более простой задачи 1 дЧ" тс ° [й(г) р)Чг+а(г)нг — — — =1(г, А) (г Ш у, 1>О), тз д1 Ч (г, О; А>=Ф (г> (гщу), (10.5. 11) о —.-+ Вч'= ь (, х> д'У (тыл, 1>0), дн где 1 (г, А) в Ь (г, Х) зависят от параметра Х и ие зависят ог времени 1. Решение Ф (г, !) получаем «э формулы ! Ф(г, С>= -)Ч(г, 1 — М Ыт, д г =ш) (10,5.12) О Очень широкий класс задач составляют экстремальные задачи, в которых требуется найти значения параметров или функций, реал~ну>ощих максимум нли м!Н>имум некоторой зависящей от них величины.
Во многих инженерных задачах, например, желател~но найти максимум меры выполнения или минимум стоимости. Кроме того, э!ажно по крайней мере приблизить решения многих аадач, ныбрав неизвестные зваченяя параметров или функций так, чтобы они дявали ь(ииимум ошибки в пробных решениях; иногда та:(ой преем позволяет применить для решения данной задачи мощные методы шсленпых приближений. П р н м е р ы: решевяе задач е спбственнмх энэченнях в геепнн «плебэння н нвантеспй механике Осп. >5 (-7 н 15. (-З, Ь); прннцепы Гаынлшена н якоби в хявамнке. 11.2 ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ДЕЙСТВИТЕЛЪНОГО ПЕРЕМЕННОГО 11.2-1. Локальные максимумы и минимумы (см.
танже п. 4.3-3). Дейстнительная функция ! (х), определеняая при х= — а, имеет в точке а (локальный) максимум или (локальный) минимум ! (а), если существует такое положительное число 5, что при всех Лх=-х — а, для которых выполняются неравенства 0 с.. , 'Лх ~ ( 5 и существует значение С(а+Ах), соответственно ') Л! == ! (а+ Лх) — !' (а) ( 0 Л[ ==с'(а+Лк) — ) (а) > О. Если в квжвем пз згнх елусэег выполняются нестрогие неравенства (щ нлн >), го сю ерят, чге функция с 1*) имеет в точке а нестрогий максимум (минину.я).
Локальный мансимум (минимум) называется внутренним максимумом (внутренним мимимумом) или граничным максимумом (граничным минимумом), сс и соответственно точка а является внутренней точкой или граничной точкоз со.>асти определения функции ! (х) (п. 4.3.6, а) з). 11.2-2. Условия существования внутренних максимумов н минимумов. (а) Если суи(естеуен! производная Г'(а), то функция с(х) может илссть з тсчкс а аншлрснний мак!иыум или манил(!См лишь а том случае, когда при х=а Г (а)=0 (11.2-!) (ссгсбкодилос условие экстре.!ума).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
