Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 77
Текст из файла (страница 77)
+ 61/ил+ баал * (11. 4.10-5), Члены степени 1 и 2 относительно Ьу и бу' в формуле Тейлора (4) соответственно составляют первую вариацию ЬГ функции Г и половину второй ее нариации 62Г. (й) Определения и формулы пп. 1!.5-1.а, 5 и с без изменений переносятся на функции у, у, и Р двух и большего числа независимых переменных ха, хг, 11.5-2. Максимумы н минимумы опредгленных интегралов. В то время как теория обыкноаенных максимумов и минимумов (пп, 11.2-1 — 11.3-5) имеет дело с кгизгесткьиш значениями независимых переменных х нли хн соответствую. шими максимумам и минимумам заданных функций, предметом нарнационного исчисления является отыскание ксизвгсткых функций у(х) или уг(х), реализующих максимум или лаилиыум определенных интегралов вида хр ]= ) у[у(х) У'(х).
х[йх (11,5-5а) ха нли хр 1= $ Г [да (х), уг(х), ..., Ул(х); у[(х), ус (х)...л у'„(х); х] йх, (!!ЛагбЫ х, где à — данная функпия, панчем заданы конечные пределы интегрированна лл, хр и граничные значения у(х ), у(хр) или у,. (х ), уг(хх). В других зада. чах пределы интегрирования и]или граничные значения также неизвестны и нуждаются в определении.
! есть функционал (п. 12.1-4), определенный па соответствующем множестве функций, Определенный интеграл (5) имеет сильный максимум ило сильный минимум д ая данной функции й (х) или данной системы функций у, (х), если существует такое числа е) О, что г хр Л]==Л )Гйхи— м ']Луйк<0 или Л!)О (11.5-5) ха ха дла всех вариаций бу илн для всех систеь! нарааацчй бда, для которых соот- ветственно 0 < ! ЬУ! < е или 0 < )Га]У!+Ьдгс+...+Ьдлк < е пРи хе <х <хл.
Интеграл ! имеет слабый максимум или слабый минимум, если неравен- ство (б) выполняется для всех вариаций Ьу илн Ьуь для которых соответст- венно О < [/бра+бди < е или О < ]аабдк~+бр[*+...+Ь(гик+6!Гл'* < а пуи ХЯ<ХЕВХР. Условия слабого экстремума сужают множество допустимых функций срав- нения; поэтому сильный моксилсум (или минимум) яглягаася в то зге гремя и слабьиа макгичумол (или лаиашмулшм). 11,6-1, 11.6.
ВкстремАли кАк Ре[пения дифференп. уРАВнений 347 11.5-3 346 ГЛ. Н. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ Пусть область значений допустимых функций у (х) плн у,,(х) удовлотворяст неРавснстван тапа у [„< „1(у, 1,, „,, у ) > О, тогда, если значения функций р (х) илн у,. [х), реализующих экстремум интеграла 7, лежат внутри области значений, то говорят о анутреииеи эистреиуие; сели же этн зпачс. ння полностью или частично ложат на границе обла"ти эпачений, то говорят о граничном экстреиуие. В большинстве приложений функпни д (х) нли у((х), дшощие максимум или мнниыум интегралу (6), должны выбираться не среди множества всех возможных функций от х, а лишь среди множества функций определенного класса, В дальие гшеаг всюду, где это необходимо, предполагается, что рассматриваемые интегралы существуют и что !) функции, дающие максимум или минимум интегралу, выбграются среди множества всех функций, имеющих на рассматриваемом промежутке или области непрерывные вторые производные, н 2) каждая подынтегральная функция р имеет непрерывные вторые производные.
!1.6-3. Решение вариационных задач. Функции д (х) или д;(х), реализующие максимум или минимум данного определенного интеграла, могут быть найдены 1) как решения дифференциальных уравнений, получающихся из условия бр=О (пп. 11,6-1 — 11.6-7), или же 2) «прямыми» мгтодами, описанными в пп. 11.7-1 — 11.7-3. Нетривиально замечание, что задача расгматриваелюго здесь типа мохггт нг иметь решения, Для каждого решения, полученного с помощью необходимых (но не достаточных) условий пп, 11.6-1 — 11,6-7, должно баичь проверена, действительно ли оно обладает свойствами максимума или минимума.
Некоторые дага!сточные условия существования экстремума определенных интегралов рассмотрены в п. !1.6-9. !1.6. ЗКСТРЕМАЛИ КАК РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ; КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 11.6-1. Необходимые условия маисимумов и минимумов. (а) Необходимым условием сущгстгавагшя лгакгг лгума или минимума апре. дглгннага интеграла хр 7= ~ Р [у (х), у'(х), х] 4[х (11.6-1) хг пРи фикоиРаванных хо и хр лвлаетгп Равенство хр (хр хр 67 = ~ бр йх = = —, бу — ~ [В, Я вЂ” 3 1 бд йх = О х, хэ х, длл произвольно малой вариации бд. Ноэгпохгд каждая функция у (х), реализдюи(ая микаил!ум ихи минимум этого интгграха, должна удовлетворять ди[РОг)гргнцпальнаму уравнению ОР') эр йр ! э'Р, ! б"Р йр Π— '(% — "=- — "" (уравнение Эйлера).
Общее решение уравнения (2) содержит две произвольные постоянные (еслн Ру„, 0); они определяются из того, что функция д(х) либо принимает заданные граничные значения у(хо) и/или у(х.), либо же удовлетворяет каким-либо другим условиям, определяющим ее граничные значения (п. 11.6-6). Приведенное условие является необходимым условисн слабого экстремума, а значит, э г.нльного Отметим, что достаточвыс условия слабого экстрсиума менее ограничнтслыш, чси сильного [п, 11.6 !О).
(Ы Точно так же каждая система из и фуккцггй дг(х). Ув(х) "' Ул(хЬ реализующая максимум и,ги хшнимум определенного интеграла хр /= ) Р[уг(х), д. (х), ..., у„(х); у,'(х), у,,'(х)...,, д'(х); х] йх, (11.6-3) дохл!на удовлетворять системе н диг[)фгргнциальных 1)равнений — — — — =О (1'= 1, 2..., и) (уравнения Эйлера) й Гарг ар йхг [й '~ ду; (11.6-4) и некоторым заданным граничным условиям (см, такж п. 11,6-1, с), Фуккцин у(х) нли у;(х), удовлетворяющие уравнению или уравнениям Э!гаера для данной вариационной задача, называются экстремалямп рассмат.
ризаемой задачи; они образуют йп-параметрическое семейство. (с) Лагькейюнм необходимым [но ке йоггнато«ным) усхогигм максиму»го иги мини- мума ! леглется лго, что но экстр«ко.ги х.птрицо 1 гоответстеенко неко«стиг д Р [дг;БУ), т .гьнл игк кготрнцатглька (п 13.5-2) (ус»о«ив Лежандра).
В одиоысриом случае зтн О-'." д'Р услогия сводятся соответственно к — ';„- О нли —,- О (сы пп. 1! 6.7 и 11.6-10), ээн ау" Вообще говоря, необкоднныс условия п. 11.6-1, а и Ь предполагают, что функции у (х) нлн у! [х) дважды йепрерыэно лвфферснцнрусыы, однако это не является каквы-либо дополннтельныы ограничение»1. Если интегрируемая функция Р имеет нелрсрыгньгг ето. лые лрокзводг не, гно есе енргрыгко йиффгрекцаругмьи функции у (х) или у! (х), реализую- кгэг экстремум иктсгра а 1, необх димо эммет нелргрыгныг елюрыг проиыойкме ео гсех й'Р' то гкох икте реала [х, хр), е которых д'Р)йг" ф О иги соотгстГлыенно матрица [ —— О Эу,др(, погомитегьно нлн отрацоюггько опредггенкая (п.
13.52) [теорема Дюбуа — реГлока). (й) !1олучснне уел внй (2) н (4) нз 57 =О основано иа фундаментальных леммах еориоцнокного нечко скок: кР 1, Егли 7 (х) кепререгко на замкнутом актер«о»с [хо, хр) и ] [(х) 5 (х) ох=с дгя хэ гкгюй функции с (х), имеющей келрерыэную проиаооэкую и такой, ч го 5 (х«) = 5 (хр) = О, ло ) (х) = О на [хо, хр(. хр 2, Если [[х) нглргригнп но [х*, х, ! и ~ 1(х) й(х) ах=-О дгя гобой гслрсрнгной ха хр гругтг,пи 5 (х) такой, что ~ 5(х) !х=о, то [(х) ягхягтгя хонслгоктой. хе Прннеры приложений, в которых рэссыэтриваются вариан н он н ы е зад а ч и: геодезические в рныановых пространствах (п.
17.4-3В вывог уравнений Лагранжа пэ принципа Гзиэвьтова. Сн. тюокс и. 15.4.7 П р и и е р. Бромктсхроко в трехмерном нроюнроксгкгг. Если в трехиернои пространстве задана прямоугольная декартова снстсиа координат, прочем ось Ох направлсяа ве1жикальио впиэ, то эта классическая задача состоит в определенна пространственной кривой у =- у (х), г =- х (х), двя катар:гг) натсрнальиая точка, скользя по этой кривон Гсг трения под дсумтвнсм сйлы тяжсстй нэ начала координат, достигает нсноторой заданно ! то'гки [хр ) О, р(хрн г(х)«П аа наиысвьюсс вреыя.
Так как в силу заноза сохранеэвя ы«ргин ! 1.6-2, 343 1!.6-2. П.б, экстремдли кйк Решения ЛНФФерен(1. уРАВненнп 349 ГЛ. Н. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ где я — ускорение силы тяжести, то нужко иайти минимум интеграла в- ( —,' ггхагга'г *. Д х«в а Уравнения Эйлера имеют ввд «л (,, „)- х вйу'(+и)9 -( )*) (х"!'1-) ш')в-ь(*') ) «х р р' г' = сь = св, х I у ! .! (у ) + (х')в хвгв у'! .!. щ'!в + (х ) р (хр! рю г (хр) = О, броет плоскостью Охр. В этом случае г' = О и р = сь положив. р' = (й((/2), вл у найаем где а= — ' зев в х = а (1 — сов б. Далее «р =р' «х = (й ((72) аз(п ! «! =а (1 — соь !) ш у=а К вЂ” з(п б+й Поскольку р=о при х= о, постоянная а должна быть равна пуле.
Постаяавая а будет зависеть аг значений хр и рр. ь!сиомая кривая являетс» пвклоидой (и. 2.6.2 е! с осзоааинем ив осн Ор и точной возврата е начале координат. 3 а м е ч а и и е. Задача о брэхнстохрове, кан и задача вз п. 11.6.2, аредставлнет пример задача на минимум ириволииейиого интеграле (п 4.6.10) задачи этого типа всегда можно свести к случаю, когда интегрирование пропвводитсн лишь по одной независимой переменной. 11.6-2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
