Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 81
Текст из файла (страница 81)
исключить путем введения новым управляющих оп . П и м е р, Ограничение (4) нида Р н. )иа(ща(41, х, ...,х„) орннодится к форме )ь(щ1, если ввести новую иерем н Ре сниУю Управлении ь, полагаа ил= о е (х(, кт, ..., хл), 11.8-2. Принцип максимума Понтрягина. с пе еыснные н оптимальный гамиль".ф '2' к конечное гч т о н и а и.
Удобно трактона р р ".ф , ) э л, ( „) д о(/ ) ополнительной переменной состояния хо ураияению (11.8.12) — — о ""' — -/„(хп хю „„, хоб иы ию ." ие) и начальному условию х (/ ) = 0. (11.8-13) Необходимое условие антил!ального управления н р я ны ажается принципом ! . ма Лоят ягииа Определим а+1 сопряженных переменных ро (!), р, (/),, рк (/) ках решения (п+ и ( +1) дифференциальных ураенгний первого ла/лчд«а ел,. ж( а/„ Дг о./" Ш Д'4 ол. й=о (1 = О, 1, 2, ..., и; / ( / щ /Р), (еопржкеняые ураенеяия), (11,8-14) ПриьгМ (11.8-15) р„(/) = сопя( ~ О. и иэоперпметрпческие условна )Нс (хы х,, ..., х„]4и=е/ (/=1,2, ..., ') '=1, 2, ..., т') (0,8-8) с кусочно-непрерывно дифф Р Ру /.
е енци емыми ., то эа Чт., дача может научаться с помощью метода / к нтсрни-фуинционаае множителей Лагранжа (пп, П 6-2, П 6-1) Прп этом функция 4 в крите (2) эамснястся ио т гл' "4=/ + 2: А;(!) Г,-/- ~; Паней, /=! а=( гае !., () Р, л , / и суть соотоетственно перс временные и постоянные множители Лэлрэнжэ. я, иключэющие также и упрэнлеянс. РассматОграничеиин иэ пеоомеиныс-состояаии, иключэющ рава; ыи н п 11.8-6. 3. Критерий-функционал !я (/о ~/~ !Р). (11.8-1?) Кроме того, атпимальяые х! (/) и ий (/) должны удовлетворять даяяым услоеиял( (1) и [4) и условиям трансеерс !льно4лш и, дн Р + ~~ Л/ 84- — — 0 (/=/о, /=1, 2, ..., и), (11.8-18а) и нк) до/ Р+ Г, Л/ — =0 84! /=-1 соответствующим условиям (4); Л;, Л,— неизвестные константы (см.
также пп. 11.6-6, 11.6-8, 11.8-2, 6). В предположениях, укаэааных в п. 11.8-1, с, сопряженные переменные р;(/) должны быть кусочно-нспрсрь,вно диффсреицйруемымн функциямн. Они остаются непрерывными и тогда, когда /о и/или /,, /„„., /ц прстерпенают разрывы на гиперпоисрхности 5, определенной уравнением где у-иепрсрынио дифференцируемая функция и /! имеют односторонние ),РОИЭНОДНЫС ПО Х„Х„..., Хи С КажДОЙ С1ОРОИЫ Я («ОтРажеинс» ОитнМаЛЬНЫХ трискгорий, см. также п.
11.6-7) Н/рп этих условиях оптимальный гамильтониан остается непрерывным ш! 5. (Ь) К раен а я з ада ч а. Условия принципа максимума имеют своим следствием соотношения, выражающие каждую управляющую переменную че!сзх; и рр ил= — ий (хо, х(, ..., х„; ро, рт, ..., Р„) (у=1, 2, ..., л(). (11,8-19) Вти соотно(пения ыогут быть получены посредсгном решения задачи яа макси,иуи (возможно, с ограничениями-нсрзвснстагыи (8)) для ка!кдого /. Задача оптимального управления сиодптся к решению 2л+2 диффереии:!альных уравнений (1), (12) и (14) или дп ар,. д/! (11.8-20) следующих из ураннеикя (17), при указанных яыше краевых условиях.
Так как сопряженныс уравнения (14) однородны относительно р(, можно пронзт.ольным образом выбрать константу а уравнении (15) так, что ро(!)= — 1 (!о-"-:!-.Ш!Р). (Н.8-21) У(хл, хю, х„) =0, Тогда антил(альяое управление, мияимизир/рощее функционал (2), ргали- а/Л тая допустимыми управляющил(и переменными ил=ил(/), которые максимизирдют гамильтонову функцию и Н(хт хю" хл' Рь рт ", Рл' ил, ию "ие)= ~ р,/ь (118-16) длч каждого / междд /„и /л.! более того, А/ (хт хт " "л Рг Р~ " Рл! =' шах = — (и( и..., и )щс! Н(тл, х, ..., хл( Р1, Рэ, ..., Рл', ил, и, ..., и )=0 !).В-З.
ГЛ. Н, МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ 362 ая —,-=хз, -' =-и(!) Требуется ынвнмнзнравать время гр «,(<Р)=<Р=] а О (>е — = 1), дх„ — — =1, хл„1(<а) =<е дл> дрз — '. = О, 4п = — Р, = сопз<, так *по «о (!Р) !Р 1 д! (<а 1)' необходимое для достнження заданноа и (!) угла менсду направленнея скорости Уравнения состояяяя (<ч ! = «'): ух, 3! -'-"-'- = з, <хь «,>+ У со в, Рнс. !1.8-1.
Траекторнн на фазозои плоскости для простеншеи задачи регулвровзння. Рнс 11 8-8 Геометрия задачи перс вода ракеты с одной орбиты яз дру. гую. о <х х)+ушли, 'г<- 1 !«е дхе Отсюда >! = Р, <з, + у соз я) + Ре Шз -1- У з<п я)— мпн= — —; Ре Урез Рз !« !х Т саз н и! же+ т (! — <,) ' уравнениям м = и!ах Н = р о„+ рззз У 1' РЗ+ РЗ и х (<е) = оы Р <<,> =О «(! ) = о <а. Р Ке) =де, Таким образом, имеется точно 2п+и +и -]-2 краевых условий ( ), ( ), 4, 13, (18) и (21) для определения 2п+2 неизвестных постоянных интегрирования, и +и неизвестных множителей Лч Л> и неизвестного интервала <Р— <. Недостающие краевые условия получаются подстановкой <=<Г в Уравнение (17). Если ! нли <Р не даны явно, то вводится дополнительная перемсаная состояния х 4,: (см.
такжз п. 11.8-1, е). 3 а и е ч а н н е. Если кскотооае краевое услоэне <4), например бу = О, позволяет явно вырезать нлн исключить какое-лабо красное значение, например, х! (<Р), то Р! (!Р) не определяется из ( и дс. з (4) и (18). В этом случае у-е уравненне <4Ы <я, следоватсльаа, Ау) н 1-е уравнение (18Ы просто пропускаютсз.
Волн, с другой стороны, р з ь , к возов условя переменно са и стояния, например, «! (<Р), остается свободным нлн неопрсделеннын посредством соотноп4енна (4Ы, та !.е уравнение <18Ы влечет соответствующ з естественное условие» вЂ” р! (<Г) = о (см. также и. ! !.8-8). Аналогичные частные случаи связаны с уравнениями < > , '). <4а н <18а . (с) Так как принцип максимума выражает лишь необходимые (но не достаточные) условия оптимальности управления (по этому вопр .
1 . ]), осу см. 111.17]), то метод Понтрягина может давать несколько кандидатур оптимального решения, либо же решения нс существует. Решение двухточечной краевой задачи обычно достигается численными итерационными методами (см, такж п. 20.9-2 и 20.9-3). Поыимо этого получение максимизирующих функций (19) мо)кет быть достигнуто последователь. (а) Н авягацноиная задача задача Це р мело. В стацноиарном поле скоростей ,),, (,,)), г е х н х — прямоугольные декартовы координаты, движется ЗЗ Оа У*). ДанО: Х, (О) =О, Хз (О) =З; точка с постьояййов по велкчннг сноростью У (з + оз *).
Д: — ° а требуется мнннмнэнровать время гр конечной тачки (« Р, х Р) посредством выбора У тачки н осью хь где пркнято Р, = — 1. Для максимума Н неабходямо выполнення равеаств соз н =- Р )У~' фр, Р, и Р* Л "опасны удовлетворять сопряженным !р, ! дс, „доэ') осто иы, то таковы же рь рз, я; ях значскин, вместе Если, в частности, о, и о, постолниы, с !Р, удовлетворяют условиям «З Ш) О, хя Ф) = О, х (<Р) «<Р, х (!Р) = «8Р 11.8-8. Н 8. ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ И ПРИНЦИП МАКСИМУМА 363 <Ы Просте! шая зад ча регулирования по быстродс! дэны х, (О) хз (О) =- х, (О) н уравненн» состояния ( т. е.
— —, = я (!) ~). Шхз с<* всабходнмое для достиженн» задаяного конечного состояния х г!Рт = х„'!! ' =. х посредством апю4мальнаго упразлсвяя такого, что ! л К) « 1, Максимизация гамнльтоннана Н = Р,х,-<- Р,н — 1 прп условны 1 и ! < 1 пркзоднт к управлению и=витра=-~ 1 < >О, Рз ), — (Рз <!) Р,=Р,<О), Р,=Р,<О)-!Р,<О>, Оптямальные траектории в плоскости хь «, суть дуги парабол, соответствующих и =! н и = — 1. Этн дуги пересекают «кривую персключенна, соответсте)ющую о,=о, н каждая траектория продолжается к началу координат вдоль'этоа кривое (рнс. 11.в-))] Каждая траектория завнснт от парамстроз Р, ( ), Р, (О), которые должны выбираться так, чтобы удовлетворялись заданные граничные условна х г<рз =х !Рт=е, !'Г'=,'Р = . (с) Простевшке задачи о переходе с одной орбиты на дру.
гую н о встрече эа мнннм ° льное вре,мя. Соответственно рнс.>18-8двн. жанне ракеты в вертнкальноа плоскостс в предположекья постоянства ускоренна силы тязкестн ( — 8) н отсутствия сапротквлевня воздуха задается четырььш уравнениями состоя имя др ° дя Т Мп и — = Р, — к.
д! а тфп<! — <> Хя— м «ь Х=Хы У=«,, Р=Х,— ПЕРЕМСННЫЕ СОСтОНННЯ; К, Т (тата), Ш, <МаССЗ РаКЕО! на старте), т < О <постоянная скорость расхода горючего) — денные постояааые. Требуется псревсстн ракету с данноа горнзонтальпои сжарюоееп орбяюы 365 (!.Я-В. НВ ВАДАЦИ УПРАВЛЕНИЕ И ПРИНПИП МАКСИМУМА | !.8-4. ГЛ. П. МАКСИМУМЫ И МИННО(УМЪ( В частносси, писем Сапаажгниме урагнеиия дрг Р Р О Рг р др, й сп д й ' й( ' й( Рг (1) = Рг (Гг).
Рз (1) = Рг ((г) (1 — 1 ) + Рг ((г), Рг (1) — Р*((И Р (11 — Ра (() (( ()+ Р (1) Рг (П вЂ” Рг <( >. г икснраваиы. то представляют Так как на»а начальные и конечные аиачеиия х, у, у ф ! . Имеем интерес ли ишь условия игрансггрсаюнагти ( В). к (1 ) — э ( = О, к ((, ) — ар(р — а = О, (О) 00 Р (1)+А' =О, Р ((Р)ц-Ах=о нли Р (() — А'Э =О, Рз((Р) — А Р=О. = О. Кроме того, максимальное а», что Р, и Р, постоаниы, полУчаем Рг = Рг = значение гамнльтониаиа равно нул|о при = р: (Рг ('о) '- Р( ((о) -! 'г ('о) ('Г - 'о)' 'Рз ('0) Рз ('о) ( Р ОН Н +йрв((0) ((р-10) — йр ((0) — | =о. иными начальным ными и конечными условиями. опреПоследиее, вместе с восемью дани ным . ° .
оделяют девять величии (, 1р, к( ), ' ( 0), ( ), ( О), з( 0' ' ' ' у )' (г ( )' (г , 0)' (га ( 0)' Р4 О мым все решена е. ин в задачах управлении. Для задач управлении 4, ВШтрячшге Обозначения задача» . к „ч „п ээл удобно испо об ользовать матричные обозначения п.. - <а аые обозначения, п. 14.7.7). Введем: , х... „х ! — матрица.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
