Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Сопряженные подгруппы обязательно изоморфны. (Ь) Есякип группа 6 изаморфиа некоторой подгруппе (мажет быть представлена такай подгруппой, реализована в виде такай подгруппы) гругп!и етх вэаиипа однозначных преобразований некоторого класса объектов иа себя (теорема Коли, см. также п. 12.2-8). В частности, каждая конечипя группа изомарфпп некоторой группе под(!!!аиооак (рсгулярпсс представление конечной группы.
п. !4.9.!,а). Представления групп с помощью линейных пресбраэс. наний н матриц см, н пп. 14.9-1 — 14,10-2. 12 4.1, 12 4. ЛИНЕНН, ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ЛИНЕНИ АлгСБРЫ 375 12.2-1В. 374 ГЛ. 12. СОВРЕМЕННАЯ (АБСТРАКТНАЯ) АЛГЕБРА 12.2-10. Аддитнвные группы, Классы вычетов и сравинмасть. (а) На определяю»чую опера«ню в каммртати на ру «и г ппе (абелевай группе, а. 122-1, а) часто смотрят как иа (абстрактное) слажеиис. Се результат можно записывать в вндг суммы а+, а един К + Ь, . н у «элемент, обратный да«наму элементу а, соответственна как о («уз» нлн нум«ай заем«и»п) н — а; при атом пишут а+( — Ь) =а — Ь. Г у в этом случае называют адднтнвнай (группой па сложению), а вырав»синя вида руину в этом ч а,эа,— 2а,...
(Ь) Каждая лздгру»»»па»а му»паа»азиза гпр пи есть нзрмаазинй езизмзь меяспа по г ппе 6, адднтивной группы 6 называются классамн вь»чазов па Ь г ппы Г пиндлжщн аиа итон ж кшсс — Ь г 12 2-4 Ь) вживаются сам, [ = Ь 6,)1. С .вн ость есть атнои»гипс эквивааеитвастн танжс п. 12 2-4, Ы. «Ба«тор-груг»па 6(6» аддишвнай группы 6 является г уппаи классов вмчстав па модулю 6, н может быть абозначсиа символам 6 (шад 6,]. х нала»п»«п сравнимы по модулю г (т = и (шай г)], гдс г — Пслаа то»п н и п н еле«ни иа г дают числа, сели разность т — я делится иа г; ша змачит, что»п р д одинаковые астатин. 12.3. АЛГЕБРА МОДЕЛЕЙ С ДВУМЯ ОПРЕДЕЛЯЮЩИМИ ОПЕРАЦИЯ(ЧИ( КОЛЬЦА, ПОЛЯ И ОБЛАСТИ ЦЕЛОСТНОСТИ 12.3-1.
Определения и основные теоремы. (в) Класс ]( объектов (элементов) а, Ь, с, ... называется пальцам, еслн определены дв две бннврные аперацин, обычно называемые (абстрактными) сло- жением н умиажеииех», такие, что 1) ]( есть коммутативцвя группа по сложению (вдднтивпая групп, и.
ппв, и. 12.2-10), т. е. ]( замкнуто по отношению к сложению, ц а+ Ь = Ь+ а, а + (Ь+ с) = (а+ Ь) -)- а, а-»-О=а, а-1-( — а)=а — а 0; 2) произведение иЬ есть элемент Я (замкнутость по атиаивиию к умножению); з 3) а(Ьс)=(оЬ)с (ассоциагаивиый закон для умножения) ); 4) а(Ь+с)=ар+по, (Ь+с) п=йа+са (дистоибутивиые закона). Заметны, что а 0=0 а=О для любого элемента а кольца )с. Два эле- ныл и =,' 0 кольца Я, для которых ру=О, называются саответствец. з =0 ио левым н правым делителями нуля. В кольце без делителей нуля нз аЬ= следует либо а=О, либо Ь=О, либо а=Ь=О н действуют законы сокршцв- ния (12.2-!).
Пелочвслеиные «кратные элсмсвты а коль«, р р а, нап имс 2а, За, ... (п. 12.2-)а,а), ваоба(е говоря, ие являются произведением элементов калька. ](«зи . с. т в е степ«ни элементов колька апрсдсляются, как в п. 12.2-1, с. (Ь) Если кольцо ]с содержит левую единицу, т. е.
такай элем лемент Е, что Еа=-и для всех а (см. также и. 12.2-1,а), и правую единицу, т. е. такой Е', Е' = для всех а, та Е' =Е н Е обязательно являетсл как сл чве Е единственной левай, тик и единственной правой единицей. В этом случае называется кольцом с единицей. Могут быть н такие мальца, в к т а, в которых существует одаа илн несколько правых «да- нна, иа иет нн одной левой сдийипы, нли наоборот. Если а — пронзвальный элемент кольца с единицей Е, то его левым абрша- иым (мультнплнкатцвным) элементом называют такой элемент а 1, что а 'а=Е. Аналогично, и, 1 называется правим обрати м элементом, если 1 аа 1= Е.
г нмз коль а, в которых ассоинатнвнмй закан не соблюдается, Если элемент а обладает как левым, твк в правым абра — — 1 то (»цц равны между сооой: а( — — а, = а; в этом случае элемент а обладает сд(потаенным обратным элементом. ззз»с»ии, чта ие все элементы кольна обязаны имать абратныэ элементы. (с) Поле есть кольца с единицей, которо содержит; 1) па крайней мере одцц элемент, атлнчцый от нуля, ц 2) для каждого элемента а~О ы)льтип(икзгпз;,ыи обратный элемеит о '.
Ненулевые влез»виты поля р образуют сруплу па умножению. Еши а и с — ароиззальиыс длвмвиты поля р, причем сгь О, то уравпеиин сх=Ь н ха=Ь иис(шч в р рсшеиил; втт реиеиил единственны (адиазчачио оарсдвлеииые левов и присев деление, см. также в п. 12.2-1, Ь). Делителей нуля в доле иет.
(д) Кольцо нлн поле коымутвтивны, если аЬ= ба дтя всех а н Ь. Коммутативное поле иногда назывшат проста палом, в отлцчце от тела или неиоммутатнвного поли. Полем Галуа называют конечное коммута- тивиае поле. Область целостностн — эта коммутатнвнае кольца с единицей н без делителя нуля. Любая качечиал область целостности является полам Галуа. »»дзн збхас»зи ч«ласти«сии ес«н«иулгзь« эа«менты аддати««ай грулли им«»ат да„и»пз«» ж«азуадах (п 12.2-3). Его называют каРактеРистнкой атой области «злост- ности.
е) Краткие сведения аб упзрядз«гпяих пазах см. а и. 12.б-з, р и м с р м п о л е й: рак«опальные числа, действнтельиыа числа, «омплсксиые числа. Првмеры областей целостности: целые числа, «амплексныс числа с калай действительной н минмай частью, миагочлеиы с действительными нлн с комп. лексны ш ьаэффнпиентами примеры коммутатнвнмх колею четные целые числа (кольна беа эдиничы), непрерывные функ«ни иа каясчнам иитарвале (коль«а икает делители вуля). 12,3.2, цодкалька н подпола. идеааы, (а) Подмножество Я, «алька Я назыаастся его под«олькам, если Я, является коль- иам в смисас определяющих операций кольца Я.
Эта имеет места в там и талька в том случае, если Я, для любой пары сваях элементов а и Ь содержит а — Ь н аб Аналогична подмножество Г, паля у называется ега подполам, если у, есть пад. кольца калька Р, нмеющес па крайней мере алии иеиулсвой элсмсит, и если для каж- дой паРы элементов а и Ь МО множества Р, она саДсРжит н ау . Не«Улевые элв. -з з»ситы подпала Р, образуют п«щгрчппу мультйпл»»катив«ой группы поля Р, (Ь) Иод«вашество 1, кольца Я вазывается идсалам в я, если ») 1, есть подгруппа Я па сложению, 2) г, содержит все произведения аь (левый идеал), или все пронзвадения Ьа (правый идеал), илв все пранзвздения аб и Ьа (двусторонний идеал), где а — любой элемент на 1», а ь — любав элемент из я.
П р и ч с р В кольце всех аслых чисел числа, кратные ненотараму числу р, состав»тат двусторонний »деал 1»,з.з. Расшврсмия Каммутатианае кольцо ила поле часто оказывается зазмаж. зым вкл»а»ить в качестве падкааьпа нли подпала в «более п»ирокае» поле (палс атно. п,зии»1, алгсбраическаг рз»жирен«с и т. дл см. также пример в п. 12.4-2). Теория палы), ззл»ачающая так аззывасыую теорию Галуа, заниызатся запросам а су»пест. а«шанин таких расширений (Прнлаз»синя «сслсдоазнис вазможности пастроси«я с»юьющью ииркуля и ззигикн, илн решения алгебраических уравнений с помощью радикалов, нли построения латинских «вадратав.) 12,4. МОДЕЛИ, ВКЛ]ОЧАЮЩИЕ В СЕБЯ БОЛЕЕ ОДНОГО КЛАССА МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ: ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ЛИНЕЙНЫЕ АЛГЕБРЫ 12,4.1.
Линейные векторные пространства. Пусть ]( — кольцо (с мультнцлнкативной) единицей 1 (и. 12.3-1); элементы а, (1, „. кольца ]7 будем называть скалярвмн. Класс П объектов (элементов) в, Ь, с, ... называется (линейным) векторным пространством над кольцом ]7, в элементы класса 377 Гиз топологические прострлнстпй Юж-т. 12.2-1. 37б ГЛ, 12. СОВРЕМЕННАЯ !АБСТРАКТНАЯ) АЛГЕБРА а-1-(Ь+с) =(а-1- Ь) + с а-1-[ — а) =а — а=б, а+О=а, где Π— аддитивный пулевой элемеьп (нулгвой вектор) пространства У, 2.2-10); а— — а — элемент, аддитивный обратный элементу а (п. 12.2-1 ); 2) если а — любой вектор из 74 н а-л>ооой скаляр нз )г, то 47 содержит вектор аа, произведение вектора а на скаляр и (замкнутость ло атно>иеиию к умножению на схиьчр); 3) (а))) а =и фа) (ассаитчливиыа залом длч умножения ии скал чу); 4) 44 (а+ Ь) = па+ 44Ь, (са+ р) а = па+ йа (дистрибутивные захаиы); 5) 1 а=а.
Заметим, что ( — 1) а= — а, ( — а) а= — (сса). (12,4-1) О а=б, Линейные векторные пространства исключительно важны для прикладной математики; они будут детально рассмотрены в гл. 14 (см, также главы 5, О, 12,4-2. Линейные алгебры. Пусть )т — кольцо скаляров с единице'. Класс й.
К ,у! называется линейной алгеброй (линейной ассоциативной алгеброй, смета- ной гиперкомплексных чн н д сных чисел) над кольцом )7, если определены три бинарные операции (сложение н ( е ие н умножение в б и умножение элементов из Е* нв ска- ляры) такие, что 1) Ж есть колыю, 2) у~ есть линейное векторное пространство над кольцом скаРангом линейной алгебры называется ее размерность как векторного про- странства (п. . - ). . и ( . 14.2-4). Если линейная алгебра есть поле, то она называется алгеброй с делением ебр й е ием (п, 12.3-1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
