Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 83
Текст из файла (страница 83)
М тематика в самом общем смысле слова имеет дела с определением и использованием символических моделей. Математичесная модель охваты ает в класс неопределяемых (абстрактных, символических) математических объектов таких, как числа нлн векторы, и отношения между этими объектами. Математическое отношение — зто гипотетическое правило, связывающее два или более символических объекта (см. также пп. Е2.1-3 н 12.8-1). Многие отношения могут быть описаны прн помощи математических операций, связывающих однц или несколько объектов (операнд, операнды) с другим объектом нли множеством объектов (результатом операции).
Абстрактная модель с ее о ъекта и р б м п визвольной природы, отношениями и операциями определяется непротиворечивым набором правил (определяющих аксиом), ваодящ х ра нх опе ации, которыми можно пользоваться, н устанавливающих общпе отношения между их результатами (аксиоматическое определение математической модели с помощью ее свойств; примеры см. в пп. 12.2-1, 12.3-1, 12.4-1, 12.5-2, 12,6-1, 12.8.! и 1.1-2). Конструктивное определение вводит новую математическую модель, пользуясь уже известными математическими поннтиями (например, определение сложения и умножения матриц в терминах сложения и умножения чисел, п.
13.2-2). Непротиворечивость аксиоматического определения должна быть доказана конст уктивным построением примера, удовлетворяющего определяющим аксиомам (доказательство сущсслмааания, см. также пп, 4.2-1 и 9.1-4). Кроме того, обычно проверяют взанмную независимость определяющих аксиом. М тематическая модель будет воспроизводить подходящим образом выбрана ные стороны физической ситуации, если можно установить правила соо ветт стана, связыва(ошне специфические физические объекты н отношения с определеиными математическими объектамн и отношениями.
Поучительным и(нлн оным мозкет также быть и построение математических моделей, для которых в физическом мире аналогов не существует. Наиболее обшеизвестныь н математическими моделями являются системы целых н действительных чисел (и.
!.1-2) н евклидова геометрия; определяющие свойства зтнх моделей представляют собой более нли менее непосредственные абстракции физических процессов (счет, упорядочение, сравнение, измерение). Объекты и операция более общих математических моделей часто ассоциируются с мно)к тва н )ксствами действительных чисел, которые могут быть соотнесены з льтатамн физических измерений. Получающиеся таким образом представления математическнх моделей с помощью числовых операций спецнальн о рассматрива(отса в гланах !4 и 16.
12 ! 2 Обзор Современная (абстрактная) алгебра' ) имеет ело тематическими моделями, определяемыми в терминах бинарных операций («алгебраических» операпий, обычно представлвощих собой различные типы «сложения» н «умножения»), которые связывают нары математических объектов (операнды нли оператор и операнд) с соответствующими резулгаатами операций. В пп. 12.2-1 — 12.4-2 вводятся некоторые из навболее общеупотребительных моделей такого рода, именно: группа, кольца, поля, есхториыс лростронстэа и лингамыг алгебра; булеза алгебры отдельно рассматриваются и пп.
12.8-1 — 12.8-6. Важныа вопрос о шэсйни» прссбразээиииэ» (лиисбиы» опера ор ) в т т а» н нх со стсенб ных ек орах н собссвенпых значениях нзлагастся в гл. 14 Ирсдст и рсдставленне векторов вах 14, 1З н (б. н о ераторов с помощ»о «ислэзн» «эллин«им и маэ1рич подробно об суждается в гла- Пункты 12.5.1 — 12.6.3 служат краткич введеннем к теории математичес- ких моделей, позволяющих определить предельные процессы и порядок, в .')— ности, в пп.
12.5» — 12.5-4 рассматриваются метрические йрострапства. В пп. 12.7-1 — 12.7-5 указаны простые схемы комбнннровання математнческнх моделей (прямые праизнгдсния и прямьм сулсма). 12.1-3. «Равенство» и отношения эквивалентности. (а) Предполагается, что ансиоматическое определение каждого класса математических обьектов, рассматриваемых в этой главе, влечет за собой существование правила, устанавливающего, являются ли два данных матема- тических объекта а и Ь «равными» (эквивалентными или неразличимыми с точки зрения модели, а=Ь) нлн нет; зто правило должно быть таким, что: !) а=а (ргфлгксиднасл)ь отношения раемитеа), 2) нз а=Ь следует Ь = а (симметрия), 3) пз а=Ь, Ь=с следует а=с (транзитиеность). В пп 1322н('' ипрсдслтмы» моде»э».
Е.З-( приводятся прныеры определення равенства в зон«три«ми«но ообщ любое отношение а Ь между двумя обьектаын а, Ь класса С пазы Ь В е » и зыввется отношсннеы вквнввлентностн в тоы н только в тоы случае, если оно р й сл оно рсйлексизио(а а), сом»э»зри«из (нз а - Ь следует Ь а) н транзитиэнэ (вз а Ь, Ь с следует а с). Мюбээ зшношсэис э«эиэил иэ эсти определяет разбиение клесс» С, т. класса С на подк.зьссы без общих элементов. Элеыенты одного и того >кс такого подкласса экю«иле«шны в смысле свойств, определяющих отношение эквнвзлснтнос»н И р н и е р ы. Равенство, тождественность фуекдна (и. 1.1-4), равенство н по обне зрсугольннков, нзомор4нзи (п (З.(-ц. 12.1-4.
Преобразования, функции, операции (см. также пп. 4.2-1, 14.1-3 и 14.3-1). Набор правил х-х', ставящих каждому объекту х класса С в соответствие неноторые объекты х' класса С', называется преобразованием (отображением) класса С в класс С", х' есть фуниция х' = х' (х) = ( (х) (1 2.1-1) аргумента х с областью определения С и множеством значений, содержащ '. К 1 С н С' могут быль разлнчпымн, но могутн совпадать.Соотношеимся нпе(1) можно рассматривать как операцию над операндом х, дающую результат х'. Если в классах С и С' даны удовлегворяющие нужным условиям определе- ния равенства (п. !2.1-3), то операция (преобразование, функция) (!) о рр ктно, если из х=у следует х'=у'.
Предполагается, что если спе- циально не будет о~озарено противное, это условие всегда будет выполнятьсн. Отображение (1) называется однозначным ()(х) -однозначная функция х), если каждому объекту х соответствует единственный объект х'. Все отобра- ') Слово алгебра имеет трн слабо связанных между собой значення; И б предмет, квк в знн д оы сзучзс (об»тра«шпал ил«сбои, элемснтирн я алгсбии); 2) теорня нэя: ) о щна ьлгебрзйческнх операций, используемая в связы со сйеннфниескоа моделью (м еизэрн илг»бпа)с Ш тнп ызтсизтнческод модели (лннсйиия алгебра, бллэ а 12.2-2. 12.2. ГРУППЫ 371 12.(-з. 31О ГЛ. 12.
СОВРЕМЕННАЯ (АБСТРАКТНАЯ) АЛГЕБРА 12.2. АЛГЕБРА МОДЕЛЕЙ С ОДНОЙ ОПРЕДЕЛЯЮЩЕЙ ОПЕРАЦИЕЙ: ГРУППЫ женин н дальнейшем всегда предполагаются однозначными, и это специально Отображение класса С иа класс С' называется взаимно ие оговаривается. о р ж !ассов С и С'), если оно о нозиачиым (взаимно однозначным соответствием классов и '), од зи отобран(ает класс н С а весь класс С' н определяет однозначное обратное отображение (с ратное пре р р (б об азование) х' х.
Многие авторы категорически настаи- вают на том, что кахгдов отображение по определению должно быть однозначно (см. также сноску к п, 4.2-2). Множество пар (х, х() называется графи,'( ). Ка ый объент х в равенстве (1) может сам быть множеством некоторых объектов хл, хз, ...; таким путем можно апред . фу ап е елить ф.нкции х'=1(хы хг, ...) двух й более аргументов.
Числовая (действительная или коьшлексная) функция, определенная на иекотороы множестве функций, называется фуииционалом (например, кнтеграл 1 (р (х) йх, наибольшее значение функции (р(х) на (а, Ь) и т. д.). С т и реобра»оввиия (фувкиии, ооерепвв) можно р .. р ассиат иввть как новые катеиввг -! тические объекты (см., например, й. 1 .3- ) 12.1-б. Иивариаитиость (см. также пп.
12.2-8, 1, 13,14-1, 14.4.5, !б,!-4 н 1б.4-1). Если дано преобразование (1) класса (пространства) С в себя, С, любое соотношение (х, у, ...)=А такое, что О Й (х) !» (у), ...)=А для всех х, у, .„ ля всех х, у, ... из С, называются ииварнаитными отно- сительно преобразовании (1). 12Л-Б. Представление одной модели другой: гомоморфизмы и изоморфизмы. Пусть М вЂ” математическая модель (и. 12.1-1), состоящая из объектов а, Ь, ...
и включающая операции Р(а, Ь, ...), ... являются элемеитамн модели М ), и М' — р д М' — вто ая модель р О'( ', Ь', ...), Р'(а', Ь', ...), ... Отоб ажение а а' множества с операциямн О'(а', ', ..., ' а', элемейтов модели в мно М, жество элементов модели )рр называется гомоморфиз- М' (относительно указанных операций), если при Гомоморфизм сохраняет все отношения, основанные н ра .
р . кан(цое такое отвошение между элементами а, Ь, ... модели М порождает соответствующее отношение между элементамн ', Ь'„... д рф, б ажающий модель М в себя, называется эидоморфизмом. то М' назы- Если гомоморфизм отображает модель М на всю модель М', т — Е Изоморфнзм — это взаимно однозначный гомоморфизм. сли изомо )изм модели на модель М дель М', то модели М н М' называются изоморфе ассмат иваемых операций; в этом случае как отображени ными атносительяо рассматрив омоморфизмами.
Изо- А4 М',, обратное отображение М М являются гомонами, ', .так и мо ели М. морфизм, ото р рф, б ажающий М на себя, называется автоморфизмом д мо изма и авто- П амоморфизма и радствгниыг с ним панлтия ивом Рфи они лозволлют мо физии имеют огромное практическое значение, так как он п вдставлять ну л! гль Ру од од ль другой моделью. Можно, в частности, представлять математические о ъекты неко а б екотарыми множествами действительных чисел ( н- литнческая геометрия, атри я, матричное н тензорное представления).
Земства, что изомо физм есть отношение эквивале!Пности (п. 12-1-3, Ь) между мод елями: свойства целого класса ивам иза орфных моделей можно выводить из (или рассматривать н р 1 а примере) свойств любой модели этого класса. а о ы т еб ют, чтобы каждый гомоморфи»и М М' отображав ах М о л '.. ф вм определяет и»оморфизм е ду модыькь состоящей ив иевересекающвхси классов хе сост с классов вхеиеитов модели М. в моделью Мы к все метемвти !) Элементы а, ,,.
ие быть векторами и скалярами, я. 12.4.!). ческих объектов (ивйрнмер, ови могут ыть 12.2-1. Определение и основные свойства группы. (а) Класс 6 объектов (элементов) о, Ь, с, ... называется группой, сслн определена бинарная операция, которая каждой паре элементов о, Ь класса 6 ставит в соответствие некоторый объект (ре»ультат операции) о (') Ь так, что. 1) а 0 Ь является элементом класса 6 (занкнутогтно по отношению к определяющей опера)ши); 2) а ( г (Ь 8 с) =(в () Ь) () е (ассойиативиый закон); 3) 6 содержит (левую) единицу Е такую, что для каждого эле. ыента а из 6, Е (г о = о; 4) для каждого элемента а из 6 в 6 существует (левый) обратный элемент о ' такой, что а ! С) а=Е. Дза элемента а, Ь некоторой группы перестаноиочны, если а 0 Ь=Ь С) а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
