Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Матричное предстзвленйе линейных ал!ебр см, в п, 14.9-7. Аа= А Элемент :>: лаа А уч о ейной алгебРы аазмааетаа алемаотемтммм, если "=, а ааль. Ат ста ет такое натуральное число т> 1, что = а. Эта опре- деланна, а частаастм прамеаамм к матрицам (а. - ) м патентным, асла существует тако ур 12 2-2) м а лпнейаым операта ам р также пп 12 Ь2 а И.4-2) 1) Пале «амммчгнмх ччсзч — ааммуа а аа аад полем Лайствательнмх ~мсзл.
2) 1!зле татазааа алгебра с налезаем раага Лаа аад л ( . 12.3-1) поля комплекс- ааатарммоиаа а, иаа а, Ь, "° является ахаастаеааым расшареааем и.. - п изаую алгебру с Лзлеааам аан палач Лай- зы» чисел, которое образует наааммутатизаую стамтельамх чисел Кажный кзатзрааан а может быть представлен з зале а = аз .1- га, -1-! а, + йаа = !аз -1- >аз) + (а, -,'-! аа 1, (12.4-2) а й — спакаальаыа ааатарааоаы подчаазюжаесз сленующам враз>тач где а„ам е а„аь аз, а, — Лзйстамтельмые числа, а (вместе с с 1 анй являются злементама базиса), У маожеаиз: и = р = й* = — ! >а= — й>=1, йг= — ы=д 112.4.2) 11 = —;4 = й.
4) Неаотарма авторы тра у тр б ют, чтобы д содержало ае тольао сумму любых двух ао и всяк ю бесаонечаую сумму а, 4- а, + - °, саалащуюсз а некотором таайм образом векторные аростраастаа не атаасятса к алгебре в собствеьмам смысле слова (см, также п.
14.2.1), н азываются векторами, если определены две бинарн р ные опе ации — вектооное то' сложение и умножение вектора на скаляр таиие, ч ) 1) 74 егть коммутативная группа по векторному сложению: для каждой пары элементов а, Ь ~ 74' пространство 74' содержит их векторную сумму а +Ь и а+Ь=Ь-)-а, Вала поломать а = аз — >а, — )а, — йаз, то ! а,з = аа = аа = а„'" -1- а> .1- а> -!. а>, а =-ад а А аюо !12.1.4) 412.4 б) (см, также и. 14.10-4).
12.5. МОДЕЛИ, ДОПУСКАЮЩИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ПРО((ЕССОВ> ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 12.5-1. Топологнческие пространства (элемеатарные свойства точечных множеств см, в п. 4.3-2). (а) Класс С объектов (точек) х называется топологическим пространством, если он мож"т быть представлен как объединение некоторого семейства 7 своих подмножес.в, которое содержит: 1) пересечение любой пары своих мвожеств, 2) объединение любого множества своих множеств. Элементы семейства 7 и пустое множество называются открытыми миожестваыи пространства С, а семейство открытых множеств — топологией пространства С Некоторое семейство ау открытых множеств называется базой пространства С, если каждое множество нз 1' есть объединение каких-либо множеств из,аа, 7)ергсгчгиия любого лодмиожеслма С, талалогическага пространства с отирьилыми миажестаими этага лростраис>лза задают антологию в С> (относительная топология надпространства Сг).
ОДно н то же множество может ДопУскать несколько тоаологай гн пРа атом поЛу. чзются разлачаме таиалогачаааие пространства); всамое множество С попускает трнзмальнУю тбполагаю, пРа котоРой отаРмтыма маажастаама считаютсЯ только С а аУстаа множество, а дискретную топологию, когда открыто любое панмаожастао аростраастза 4, (Ь) Прн данной топологии окрестностью точки х ~ С называют любое мно. х1ество в С, которое содержит открытое множество, содержащее х. Часто под окрестностью точки х понимают только открытое множество, содержащее х. Коль скоро определены окрестности, точно так же как в п.
4.3-5, а, можно определить лредельиыг точки, аиутреиииг точки, граничные тачки и изолира. ааииые тачки множеств; топоаогические пространства очевидным образом обоб. щают и абстрагируют некоторые свойства системы действительных чисел. В любом топологическом пространстве С множество леляетсл алтрытым в том и только в том слУчае, если аио содеРжит только внУтРенние тамги> множество 5 замкнуто; 1) если 5 есть дополнение в С некоторого открытого множества нли 2) если 5 содер>кит все свои предельные точки (равносильные определения). Множество 5 всюду плотно в С, если в ка:кдом открытом мио.
жестве пространства С содержится хотя бы одна точка из 5. Топологическое пространство называется сепарабельным, если оно содержит счетное всюду плотное множество. Если в лрастраислюе С существует счетная база, то С ггларабельиа. Топологическое пространство С называется компантным, ести всикгя бес. конечная последовательносгь его точек имеет в нем хотя бы одну прелельну1о точку; зто имеет место в там и только в том случае, гали каждое счетно семейство а>лхрьилых множеств, покрывающее С (т. г.
оббедиигиие хатарога равно С), содержит конечное подсемейство, накрывающее С (см. также п. 12.5-4) Множество точек 5 топологического пространства С вазывается относительно компактным (компактным в С), если всякан бесконечная последовз. тельность тачек множества 5 имеет предельную точку в С. Множество 5 компактно (компактно в себе), если каждая бесконечная последовательность его точек имеет предечьную точку в 5 Топологическое пространство С называется биномпактным, если кажа„е семейство открытых множеств, покрывающес С, содержит конечное подов.
мейство, покрывающее С. Бикомлактиае пространство комлаюлио. 12.6-2. 378 12.5. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 12.6-4. ГЛ. 12. СОВРЕМЕННАЯ (АБСТРАКТНАЯ) АЛГЕВРА Бикампэктиасть н канпзктнасть являются абабщеннем паннтня агрвннчеппаств н замкнутости мнажества (и. 4,3-6) в канечначерных прастрзнстваз, где нимат места теа- ремы Бальцзна — Вейерштрассв и Гейне — Бааеля (п, 12.5-4). (с) П сдельные н граничные тачки мнажестзв 5 саатвстстзенна абраэу!ат ега пранз. ьаднае мнажества 5' и ега границу. Замкнутое мнажества 5 ' 3 р мнажествв 5. Двв мнаысествз атденены, если никакое нз ннз нэ пересекается с зьмькз- ""' другжэ Мне>кеевна 1"юыввется сввзпь'м если ана не и"в" М" прттб'л'"' в зиле абъедпнсння двух а-деленных собственных ега падмнан,еств (п р и и е р: а пасть в евклндавам пространстве, п 4 3-6, б), (б) Нспрерыяность.
Гомеоморфизмы. Отображение (прсосра- зонание, соо)нетстине, функция, операция) х х' = 7 (х) топологического прост- ранстяа С н топологическое пространстио С' назыяается иепрерыииым я тачке аееС, если для каждой окрестности [7' точки 1 (и) н С' существует такса окрестность [7 тачки а 6 С, образ которой содержится и [7'. Отображение 1 (х) ре ынно 6 С, если оно непрерывно н каждой точке цространстиа С; для этого необходимо н достаточно, чтобы ьцюжестно всех точек, отображ ю(п с о любое открытое множество Ьн прострзпстна С' (полный прообраз ыпоже- стна [7'), было открыто и С.
Непрерывное взаимно однозначное отображение, имеющее кепрерынное б ат отображение, называется гомеоморфизмом илн топологическим отоб- ражением; соотэетстиуюшие топологические пространства называю ом тся г . со- морфиыми нли топологпческн экянаадентными. (е) Тапалагн» вЂ” нв .. — в ..а а свойствах и величинах, ниварнзнтвых атиасительна топовкже п, !2,1-5 . Весьма логических атабрзжеиий (тапанагнческив ннвврвввты: см, твк .. - ). с щественна, чта па кв д днщиг твпалвгивгсвиг прсстрантпва служат мвдглвми, дс уснаю.
У дв и днщи„„предельных први„,сс с немощью панвт,',в вврс '(нсс„и в г сьп (см, также пп, 4,3-5, 4.4.1 н 12.в-з) ') В «аннратных случаях топология часто зав- ами впрв глен в сха днтся и яма путем апределення акрестиастей нли схаднмасти. Примеры. пре . О. деление окрестностей, даинае в и. 4 3.5 устанавливает в т!стеме ьных ьисел «абычиую* тапалагню н пазваляет ввестн пределы, д ффер ц р!! вана- действительных ч ел в евине, интегрирование, бесканечные ряды н т.д, Падабвым р.... ° с и же аб взаы в и. 6.3.1 двстс» ап еделение тапалагии для прастранствв евклилавых векторов (см.
также пп. 12.5. н [4.2-т). 12.5-2. Метрические пространства. Класс С объектов (точек) х, д, г, ... называется метрическим пространством, если для каждой упорядоченной пары точек х, д из С определено дейстиительиое число с((х, д] (расстояние между х и д, метрика) такое, что 1) !((х, д) =О и том и только и том случае, если х= д, 2) !( (х, д) = с((х, г) + (1(д, г) (неравенства треугольника) для любых х, д, г из С. 713 стаса аарсдсленил вьипскаст !((х, д) ~ О, (( (д, х) = с[(х, д) (12.5-1) для всех х и д из С. два метрических пра р ст впства явзывзьатся нзаметрнчнымн, если между нные существует взэнчна адназ ~ эна ! з ае саатветстзнэ, сазрвннющее ргсстаяние (нзанетрнн], Свайствз, а щне для вс, тр. б,.
ез ме. нческнх прассрвйств, нзаметрнчных дэннаььу, называются ьгетричесгн инвврявнтныин, д й вптельгые и камплек ные числа абрззуют мстрическве пра- ст ввствв с мгтргкай д (х, у) ь—м . ! к — у , 'Вааб це л:абае нарььнразвннае вентер~ее пра. странстза (и. 14.2-6) дапусквст метрику й (г, у) .= — — „г — у, (см. тэкые пп. 14.2-6, 14,2-7 12.5-3. Топология, окрестности и сходимость 6 метрическом пространстве.
(а) Если а — любая точка метрического пространстза С, то ыножестио точек х ~ С, для которых !( [а, х) (6, иазыиается открытым шаром радиуса 6 с центром а. Открытыс шары хана(ных радиусов составляют базу в пра- С (, 12,5-1). Открытые миожсстна н С вЂ” объединения любых мно- жестя от!срытйх шаров. Окрестностью точки а н С назынзется любое и жес ио тио, содержащге ткрыт 3 отк ытый шар с центром а. Л1но)кестно точек х се С, для которых в) целиком зв пределзма эгага спрввачннка остается а.гггбраичгскзя тапа.!сгинь !((а, х) ='6, пазыяаетси ммкнутым шаром радиуса 6 с центром а. Мно)кестио а пространстне С иазынается ограниченным, если оно содержится з некотором замкнутом шаре этого пространства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
