Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 90
Текст из файла (страница 90)
По ацрелелвецю А' = /, Л' = А, А* = АЛ. Я' = АЛЛ... е если А — ееаырожлвецах матрица, л " = (л ')" = (ли) ' (Р = ' 2 - ) Премееамм обычные арааала дейсчеай со стспеахма (см. также ц, 14.3-б). 13.2-5. Матрицы «аа строцтельмме блоха мачематмчесхах моделей. Их оцрвделе аай це 13,2-2 л 13.2-3 (хохструхтаеаме опрвделвехх, и. 12.1-1) вытекают следующие реаультаты: !. Длц любой пары натуральных чисел т н л клесс всех меьлрчн размера тцл над лелем Р все~в тл-мврчвв векторное првстрачствв нод ь (цп, 124.1 а 14 2-4). В часпььстн, строки цлх столбцы нз л ьлемемхое ебраауют ц-мереже векторные пространства (см, также ц, Н.5-2). 394 гл.
13, мАтРицы, кБАдрдтичные и эрмитОВы ФОРмы \3.2-6. 13т-!2. !32, АЛТЕБРА ЫАТР1>Ц И МАТРИЧНОБ ИСЧИСЛЕНИЕ 395 га+г — и ~ г !В ( гп!и (г 1, гл) (неравенства си ьшстр ). След (шнур) матрицы А =(а, ) размера л х л есть сумма Тг(А) = ~ ап ее диагональных элементов *). Для двух квадратных матриц А и В одного и того же порядка Тг (А+В) =Тг (А)+Тг (В), Тг (ссА)=шТТ(А), ~ Тг (ВА) = Тг (АВ), Тг (А — ВА) =О.
де((АВ)=де( (ВА)=де((А) де! (В). (!3.2.7) (13.2-3) 13.2-8. Разбиение матриц. Матрица, имеющая более чем одну строку и столбец, прямыми, проведенными между строками и)или столбцами, может быть разбита на меньшие прямоугольные подматрицы. Дзг гоо!погтствйющпм б о азбитыс матрицы А и В размера лХп можно перемножить, пользуясь входяи(ими в мик прлмоуюльными подматрицал!и как элементам и е обычной формуле произведения матриц (и. 13,2-2); получающиеся таким путш! элемента Улроижыдгния явля>отея подмитрицими л(атрицы АВ размера лХл. Эта теорема бывает полезна прн некоторых выкладках (и. 20Д-4), з) Иногда след матрицы обозначают зр(А).
2. Класс всех кеадратимх матриц донного порядка и над полем Р с ть лпигйиая алгебра лорлдка и' иад Р; т1рождеинмг мотрицм леллютсл делителими муля (п. 12.4-2). д пид 3. Класс гсгх иеемрожде имк кгадротимх матрац данного порлдка и иа полем о р Р б аеугт мультнлли атисную группу (п. 12.2-1) и гмссте с нелгсей .иатрицей размера лил — алгебрусдел ннсмлорлдкап подпол м (...->.
Анзлогичйые теоремы спрвведливм и иля ограниченных бесконечных матриц нзд полем дейстпнтельнмх или комплексных чисел. навин. Л ть 13,2-6..к. умножение ив матрицы специального вида. Матрицы перестзновии. усть А — лрсизгогьиал кгадрстипя матраца порядка л. Тогда 1. Если  — мзтрнцз, полученизя «з единичной мзтрицы л-го порядка заменой числа 1 в 1-й строке нз комплексное число а, то матраца АВ логучагтсл нз матрацы А умножением есгх злгмсптое с-го апзлбца иа а.
Маглрнцо ВА получоегпсо иэ мтприць! А умножением ессх злемситог 1-й строки но а. . о по я кв 2. Если С вЂ” матрица, полученная из единичной мзтрвцм л.го и рядк заменой недивгоизльного элемента 6,.6 — о из 1, то матрииа А С по.и чаетсл из матрицы А заменой Ь-го стогЬца иа сумму Ь-го и 1-го стол цог. р ц б .Мат и оСА полуиаетсл иэ моп рицы А заменой 1-й ппроки ка сумму >-й и Ь.й пиров, 3.
Если Π— матрица лерестантки, получзющзяс» нз едиигчной матрицы пере тз с вовкой каких-либо ее двух столбцов (нли, что го же самое, двух ее и А ле встр с ок с теми же номерами), то мапгрица ЛО получается из матрин р . станоекой соотеегпстсуготих столбцов, а матрица ОА лергстаиое кой соолггеоь стгупп(их апрок. 13.2-7. Ранг, след н определитель матрицы (см, так)ке п.14.3-2). Ранг данной ь!атрицы А есть такое число г = гкр что по крайней мере один опреде. литель г.го порядка (л.
1.5.1), получаемый из этой матрицы при удалении некоторых строк и/или столбцов, отличен от нуля, а все определители (г+ !)-го порядка равны нулю. Ранг матрацы равен наибольшему числу линейно независимых строк (или столбцов), Квадратная матрица А порядка и является неиырождгиной е том и только в том случае, если гг ранг г=л, т, е. де! (А) чн 0 (п. 13.2-3). к. Ранг суммы двух матриц не больше суммы нх рангов: ТА В~ гл+гз. Если матрица А имеет размеры тх л, а матрица  — размеры их д, то для ранга матрицы АВ имеют место неравенства А,:: (О) (13.2-9) А = (0):.
Аз Клеточную матрицу часто рассматривают как прямую сумму А = А> Я Ах (х> ... квадратных матриц, идущих вдоль ее диагонзли (см. также л. 12.7-5). Отметим, что Ар=Ар я Ар(4Э... при р=О, 1, 2, ... (а если А — невырожденная матрица, то и при р= — 1, — 2, ...) и Тг (А) =Тг (А!)+Тг(Аз)+,.„~ де! (А) = (>е( (А,) (>е( (Аз) ... (!3.2-10) 13.2-16. Прямое (внешнее) произведение мзтрнц (см, также п. 12.7-3). Примое (внешнее) произведение АЗ В матрицы А = — (аы) размера ткл и матрицы В= (Ь> Ь ! размера пг'хп' есть матрица АЗВ (с)1,) (ср,=а,.г,дгь) (13 2-Н) гззмерз тт'хпп', гпе индекс 7 озн вчзег порядковый номер пары (1, г) в последовательности (1, 1), (1, 2), „, (1, т'), (2, 1), (2, 2>,, (т, т'), з индекс й — порядковый номер пары Ы, Ь') в визлогичйой последовательности.
Отметим, что 03.2-!2! (13,2-13) (А З В) (С З О> = А С З В О, Тг (А З В) = Тг (А> Тг (В>. ,'( Б (12) предполагается, что число строк мвтриг(ы С равно числу столбаов матрицы А и число строк мзтрицы О равно числу столбцов мзтрнцы В, з в 03) — что А и  — ква'ратные мзтрпиы. Ы 13.2-11. Сходиьюсть и дифференцирование. (а) Последовательность матрлц Яе, Вг, Вэ, ..., имеющих одко и то же шсло строк и одно н то же число столбцов, называется сходащейся к такой же матрице Я, если прп п — со каждый элемент матрицы Яп сходится к соот. гетстиующему элементу матрицы В, т.
е. если !Нп )!  — Яп ()=О. Подобным же образом определяется предел матричной функции А=А (!) скалярного аргумента Г (см. также л. 12.5.3). (5) Если элементы матрицы А ==(апА являются дифференцлруемымя функциями а;ь(г) скалярного аргумента >, то пишут ~ —,'"1 = — „, (а(л (г)) вы — А (1). (!3.2-14) Циспшыв производные и интегралы от матриц определяются аналогично, 13.2-12. Функции матриц. А(атричмыг миогочлеиы н алгебраические функции матриц определяются с помощью элементарных матричных операций. Теорема Кэли — Гамильтона (и. 13.4-7) каждый сходящийся ряд ~ аьА" Л-..-о по степеням квадратной матрицы А порядка л (аналитичгскую футсцию матрицы А) сводит к некоторому многочлену л-й степени от А.
!3.2-9. Кле!очные матрицы. Прямые суммы (см. также пп. 13.4.5, !4,8-2 п 14.9-2). Клеточная матрица есть квадратная матрица А, которую можно разбить так, чтобы получилась диагональная матрица (л. 13.2-1, с), вдоль диагонали ко!арой идут квадратные подматрицы Ад, Аш ...: 306 гл. !з, матрицы, квздрлтичиыв и врмитовы юормы вз.з-!.
1З.З. МАТРИЦЫ СО СПЩИАЛЬНЫМИ СВОЙСТВАМИ СИММЕТРИИ (А -1- В)' = А' -1- В', (иА)' = гхА'в (АВ)' = В'А', (А !)'=(А') 1, (А')'=А [[А' [(=[[А 1(, ) (13.3-1) [0]' = [0[, 1' =1; (Л+В) =А*+Во, (ОА)о=ВАо, (АВ) В А (А-4)* (Ао)-1 (А*)о А, (( А* [[= [( А ([, (133-2) [О(в - (О(, Тэ =1. Матрицы А, А' и Л* необходимо имею!я один и тот же ранг, 1[ля каждой квадратной матрицы А Тг (А') =Тг (А), бе( (А') =бе1 (А); Тг(А*)=Тг(А), бе((А*)=бе1(А). (13.3-3) (13.3-4) 13.3-2. Матрицы со специальными свойствами симметрии (см, также пп.
14.4-4 — 14.4-6). Квадратная матрица Аы(авл) называется симметрической, если А'=Л, т. е, если ап,=аль кососммметричесной (антнсимметрической), если А'= — А, т. е. если аи,= — ат врмитовой (самосопряженной), если А о=А, т. е. если а)ь=йт, косоврмитовой (альтерннрующей), если А в = — А, т. е. если ат= — йьг, ортогональной, если А'А =АА'= 1, т. е. если А' =А х, унитарной, если А*А =АА*=1, т. е. если Ао =А Э втрлцв является симметрической, когоэрллгоьэ — когосоллегрлчевкое к уялгвревя — оргогокэльэоя ь тол л только ь гол случае, если ьсв кх вл м р рлогоэв м в влты еесгвя- твльоы, дявгойвльэыв элементы эрлитовоп, ковоээлитовое ккогогкллвтрячвскоа лвтроцы соогэетсгввлэо деасгьвгвльэы, чегго мнимы я овалы кулю.
Оловвввлтгвв врмлчовой лочрчявв дгйвлывглгввл. Олрвбгвшлввь когоэрмитовог л агл лпы Эоэлвро л Х л твлвлкл двзылвлавввлым, если л ввчнв, и ввгчо мнимым, вгвв л лвчвчло. Олэвдввитгвв вогоголмвчэв ° ггквй мотоичи лвчгалого лоэвбко ро д Олэгдгвоглввв эличлэлой мол>рицы ло модулю равен 1, а оловдввюлгвь оэчоголоввноб ыочовчл ранен 4- 1 иви — !.
1З.З-З. Правила комбинирования (см. также п. 14Л-7). а) Если А — симметрическая матрица, тоиАэ(р=о, 1,2, ...), А ', ТАТ и а — симметрические матрицы. Ц Термины голрлжгннлв, лолвовдичвнлол л овгочиоооволлол упогрвбляютгя в рвэлячяых смыслах (сл. также пл. 12.2-б, 14,4-3, )б 7-1 и 1б.7-2); нгкотоэыв авторы лввыввют лрлсоедолвлкоа к А матрицу А — в бв! (А) (состоящую лв влгебрэичвекях дополэецле с лервсгввэвкеылл индексами). Солволы А', А' и А — [а)ь] = (А')*, обовээчэющов соогв с веяло матрицу трвлслоолровввэую, вольтово солряжеоэую я комплексно солряжвкл ю с двллоа лэтроцве А, также эврькруютея; явкогорыв авторы лэтроцу, р ег г у солряжвялую с А, обовэвчэют сялоолоц А.г. 13,3-1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
