Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Для любой дейспшительной симметрической матрицы А сугцествуе)п такая действительная невырожденная матрица Т, что матрица А =Т'АТ диагональна. В частности, существует такая действительная нееырожденная матрица Т, что диагональные элементы матрицы А принизеают только значения +1, — 1 и)или О.
Матов ы Т с искомыми сзойстзами получают из соотношения Т = ДЦ, где Ц— уиитариая (или действительная аотогозальяая) матрица, для котовой матриц ц диагональна, а ц — действительная диагональная матрица: матрицу у находят оо методу п. 14.5.5 (см. также п. 13.5.4, О). !3.4-5. Собственные энэчении и характеристическое уравнение матрицы. (в) Спектр собственных значений квадратной матрицы А = (арй] порядки л совпадает с множествам корней алгебраического уравнения и-й степени РА (Л) = — бе1 (А — Л)) Рм йе1 (а(й — Лбтл) =— аи — Л а!з аы аз,— Л а,л !1»л =0 (1ЗЛ-5) (характеристическое уравнение или вековое уриенениа матрицы А), Кратность (порядок, п. 1.6-2) каждого корня Л( этого уриенения равна его алгебраической кратности т, 'как собственного значения, так шпо т)+ + т.'+...
= л. ))сдобные матрицы размера лХл имеют одни и те же характеристические уравнения; коэффициенты уравнения (5) являются симметрическими уикциями л корней Л,, Л, ..., )н (п, 1.6-4). В частности, коэффициент при " " и свободный член уравнения (5) соответственно равны ( — 1)" 1(Л,+Лз+ ..+Л„)=( — 1)" )Тг(А), ~ (134-6) Л)Л«" Лл=йщ(А) (л) Коэффициент при Л" ' равен взятой с множителем ( — 1)е сумме всех ! ! глэвных миноров г-го порядка (п. 1.5-4) определителя йе1(А). (Ь) (См. также п, 14.8-3).
Для любой квадратной матрицы А с собственными значениями Л матрица аА имеет собственные эначенол аЛР а матрица l АР— собственные значения ЛР (р=О, 1, 2, ..., а если А — невырожденная мат- 1 рица, то р=О, .е. 1, -е- 2, ...). Каждый много«лен или аналитическая функция ) (А) (п. 13.2-12) имеет собственные значения 1 (Л!).
Матричный стеленной ряд ~~ а»А" сходится (и. 13.2-1, а) е том ».=о и только в том случае, если степенной ряд ~р~ а Л,". сходится для каждого й=о собственного значения Л! матрицы А. Если дее квадратные матрицы А и В илееют соопыетстеснно собственные значения Л) и Р», )по спектром собстееяею)х значений прямого произведения А(3 В (п. !3.2.10) является множество всевозможных произведении Л)Р». л »=1 (13А-5) где А — опоеделитель Ваидеомонда (п. \.5-51 бе11»1 1, а А! — определитель, получае- 1» — 11 мый, села з А вместо А), Х), ..., Л! подставить 1(51, ! (А ), ..., ! (А ) Если зсе собственные значения А, Ав, ..., А матрицы А опали«ны, то равенство (3) л можно переписать з аиде л И (А — А!) ! (А) Ц с( (А,) (ЮА-9) »=1 (гзй (теорема Сель«сешеа) 13.5.
КВАДРАТИЧНЫЕ И ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ 13.5-1. Билинейные формы. Билинейная форма от 2л действительных или комплексных пеРеменных 54, 5з, ..., Ея, т!м т!м ..., Гы есть одноРодиый многочлен второй степени (п. 1.4-3) л л х'Ау ни ~р ~~р~ ацДей»1 1=1»=1 х'=(5») — матрица-строка, уж(ц») — матрица-столбец (п, 13.2-1, Ь), !3.5-2. Квадратичные формы. Квадратичная (однородная) форма от л действительных или комплексных пеРеменных 51, йю ..., Вл есть многочлен л л х'Лх = ~р ~~', ацДДЬ ю х'А)х, е=1й 1 г!' где А,=(Э вЂ” ) (Л+Л') — «симметрическая часть» (п. !3.3 4) матрицы А т(аы).
Выражение (2) тождественно равно нулю в том и только в том случае, если А — кососимметрическая матрица (а»;= — а;ь, п. 13.3-2). Квадратичная форма (2) называется симметрической, если А — симметрическая матрица (а»;= =а;», и. 13.3-2), и действительной, если А — действительная матрица (н таким образом, каждый элемент а,» — действительное число, п.
13.2-1) *). ") Каждой кзадпатиззой форме можно поставить з соответствие бе«коне«за многа Различных матриц А, для которых зта фоома равна х'Ах. среди иих одна матрица (матРица Аа о котовой ~ела Резь выше) ЯалЯетса симметРнческой. Обмзиа аззДРатичигю форму записывают имеззо с помощью этой матоицы и, таким обрааои, всяка» «еаглатизиал Фэлме является соля«тли««слое. Квадратичная фоома называется *дештзятельнай, если действительной залает«я эта еамлетоиеескол матрица, напоимео, форма 1« +!1А« — ИД» + 1„" действительна, так как ее самметоическаа запись имеет ззд 1«~+Мах 13.4-6. Собственные значения клеточных матриц (прямых сумм, и.
13.2-9). Спектр клеточной матрицы (прямой сулемы), А=А! (В А Е, ... есть обвединение спектров матриц Ам Аз, ..., алгебраические кратности складываются. Вклад в спектр каждой подмвтрицы А» может быть найден с помощью ее характеристического урэвнсиия. 13.4.7, Теорвмэ Кэпи †Гамильто и смежные вопросы. (в) Каждая квадратная матрица А удовлетворяет своему собственному характеристическому уравнению (и. 13.4-5, в), т, е.
ЕА (А) = 0 (теорема Кала — Гамильтона), (13.4-7) (Ь) Теорема Кали †Гаиильто позволяет каждую целочисленную степень, анатому и каждую аналитическую функцию квадратной матрицы А порядка л представлять з виде линейной функции от л различзых положительных цело«и«ленина степеней матрицы А (см.
также п, 13.2!2). Точнее, 403 33.3. КВАДРАТИЧНЫЕ И ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ 13.3-«. 402 ГЛ. !3. МАТРИЦЫ, КВАДРАТИЧНЫЕ И ЭРМНТОВЫ ФОРМЫ !3.3-3, Действительная симметрическая квадратичная форма (2) (а также соответству)ощая действительная симметрическая матрица А) называется положительно определенной, отрицательно определенмой, неотрицательной илн иеположмтельной, есин соответственно х'Ах» О, х'Ах ( О, х'Ах» 0 или х'Ах ~ 0 длЯ каждого набоРа действительных чисел 51, фа, ..., $а, не все из котоРых равны нулю, Все остальные квадратичные формй являются неопределгиными (т.
е. знак х'Ах зависит от выбора чисел 51, 5„..., 5а) или тои(дсственпо равными иул)о. Действительная симметрическая кзааратичааа форма (3) (а также соьтаатстзуюа!аа Лей«таит«кьеза гамм«тра«еаза» матраца Л) ааамааетса положительно «аауьарадькснаьй али отрицательно аьлуьарьаьлеииьй, если соответственно ьиа аеьтрацатьльаа иаи иепсльжитсььиа и если к'як = ь ал» иакьторьгь забора 4, 4, ..., 4„ а«йстаительнык чисел. ие асе иа которых равны нулю. 13.5-3, Эрмитовы формы.
Эрмитова форма от и действительных илн комплексных переменных 5„53, ..., 4а есть многочлен а а х'Ахим ~Л~ д,' а;)ДДМ ~= ! а=-! (13.5-3) где А = [а)А] — эрмитова матрица (аы=аы), а матрица ха нц[51, $ь " ° $а! Форма (3) принимает дгйствитгльныг значения для каждого набора комплексных чисел 51, йт, ..., 5а в том и люлько в том случае, если А — грмитова ма!арика (см.
также п. 14А-4). Эрмитова форма (3), а также соответствующая эрмитова матрица А В— н [аы[« называется положительно определенной, отрицательно определенной, неотрицательной или неположительной, если соответственно х Ах»0, х«Ах~О, х«Ах» 0 или х'Ах ~ 0 для каждого набора комплексных чисел 5„$„..., [а, не все из которых равны нулю. Все остальные эрмитовы формы (или эрмитовы матрицы) явлюотся неопределениымн (т. е.
знак х*Ах зависит от выбора чисел 53, 5„..., 5л) или тождественно равными нулю. эрматааа форма (3) (а таиже соответствующая эрмитьаа матрица л) иазмааьтса пьаажатеаьиь аьауьпрааьаеаиьй иаи атрацатааьиь пьлуааргаел«аной, если соответственно ьиа иььтрицательиа ала иепьльжательаа и есаа х'як=о лла аеаоторагь набора иьмааеа«има чисел йь В..... 4л, ие асе аа которых равны нулю х'Ахнж Д,' Д,' ацД(са — — х'Ах, (=! где (!3.5-5) аы= д' д,' а)йг)(гйй .! и=! А=Т'АТ.
(!ьй 1 2,...„п) или 13.5-4. Преобразование квадратичных н эрмитовых форм. Приведение к сумме квадратов. (а) Линейная подстановка (де1[ПА) ф О) (!3.5-4) =Тх (невырожденное однородное линейное преобразование координат векторз, «пассивнаяь точка зрения, п. 14.6-!) переводит каждую квадратичную форму (2) в квадРатичнУю фоРмУ от новых пеРеменных 81, 53, ..., 5я! а л Если А — симметрическая матрица, то и А — симмстричгская матрица, гели А и Т вЂ” дгйгтвитгльяыг матрицы, то и А — дгйствитгльная мшприца, Линейная подстановка (4) переводит каждую эрмитову форну (3) в новую зрмитову форму: и и х*Ахи— ц Д,' Д,' а(ай(йь, л=! А=! л а где (13.5-6) а(а=д,' ~Л ~а)а()г(зь (=! ь=.! А =Т*АТ.
(!', А=!, 2, ..., п), плп (Ь) Для каждой данной действительной симметрической квадратичной формы (2) существует такое линейное преобразовзние (4) с действительнымн коэффициентами Гы, что новая матрица А в (5) является диагональной (см. также п. 13.4-4, с), так что л х'Ах:х'Ах: — ~ ', а 8! л=! (13.5-7) (13.5-8) Число г отличных от нуля коэффицигнтов в равенствах (7) или (8) нг зависит от выбора преобразования.
приводящего матрицу А к диагона«ьнолц( виду, и равно раягу матрицы А; число г называется рангом данной квадрзтичиоз пли эрмптовой формы. к[ля любой данной действительной симл«стра«вской квадратичной формы (2) разность между числом положили)льньи и числом отрица)лгльных коэффициентов аи в разгневав (7) нг зависит от выбора пргобразвваття, приводящего малприцу А к диагональному виду (закан инерции квадратичньт форм); это число называется сигиатурой данной квадратичной формы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
