Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 93
Текст из файла (страница 93)
В точности !линас жг утверждение справедливо и для грмитовых форм (закои иигрции грл(итхых форм). (с) В частности, для каждой действительной симметрической квадратичной формы (2) существует действительная ортогональная матрица Т, а для каждая эрмитовой формы (3) — унитарная матрица Т, приводящая матрицу А к диагональному виду (см. така(е п. 13.4-4). Получающееся в результате лргабразованиг к главным осям (преобразование к нормальным координатам $1, $3, ..., 5а, сч.
также п. 9.4-8) дает нормальяь(й вид давкой квадратичной или эрмитовои йюрмы а а хАхкэ хАхж ~Ч', ЛД«! илн х*Ахиж х'Ахим ~Л~ Л;($([~„(13.59) ! (=! где множество действительных чисел Л; составляет спектр собственных значений данной матрицы А (п. 13.4-2). (й) Добавочноо преобразование 5(=4у)уг) Л)! (!'=1, 2...,, л) приводит выражение (9) х канзничгскому виду и л х'Ах — д«е(Ь( или х*Ах ~Ч", ег[й([', 1=! ( ! Точно так же для каждой эрмнтовой формы (3) существует такое липейное преобразование (4), что х"Ах них*Ахи 'Я аи ~ 5! [3. 1=! 1З.В.З.
плн (13Л 88) и бд! — = 2„п!лу ° ет Л=! или где (13.6-10) (13.6-11) так что П3,6-4) чтобы получающаяся в результате свстснэ л! — -Ал, д<О>=д,, А = т 'Ат, д, = т 'д„ (!3 6-6) где плп У (3) = (37 — А) 'Уа+ (3! — А) лр (3), (1 3,6-12) (Л=1, 2,..., и> ,'„" =А «) у+1«), (13.6-!3) ГЛ. !3. МЛТРИПЫ, КВЛДРЛТНЧНЫЕ И ЭРМНТОВЫ ФОРМЬ) 1З.Е-2.
Если [ в явном виде не зависит от независвиой переменной 1, то система (1) называется автономной (стационарной). Помимо того, чта матричные абазввчепня удабны, ани, квк мы увнднм, позволяют Распрастравнть ннтунтивэые представления, вазннквющвс при изучении простыл деференцввльеых уравнений первого паряккэ, на системы уравнений первого порядка. роме того, матрнчвые апервцвн, нужные для решевня линейных систем (п. 13.6-2), легко выполняются элсктраппымн вычэслительнымн машинами, В бальшэпстве важных орнлаженнй ! обозначает время, а д) у) — фаэаэые иеремсииэы (исасиеииэы сасшаииил), апнсывающпе састаяэне некоторой механнческай системы.
В таком случае система (1) называется данвмяческай системой (сн. также и. 11.6-4) '>. 13.6-2. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. (а)Однородные системы. Нормальная форма решения. Решение однородной линейной системы У»(0)=у!е (1'=1, 2, ..., л) (13.6-2а) б(=АУ, У(0)=Уа (А Еж[и;л[) (13.6-28) с постоянными коэффвциентами о!л (см. также пп. 9.3-1 и 9А-1, б) илкег внд у «) =ед' у, « ~ О), (13.6-3) где матричная функция се! является матрицей размера л )( л, определяемой в соответствии с пп. 13.2-12 и !3.4-7. Разложение функции с по формуле А! (13.4-8) требует громоздких перемножений матриц, но если данная матрица А А! имеет л различных собственных значений, то разложение фуннции с по теореме Сильвестра (13.4-9) дает нормальную форму решения из п. 9.4-1. Часто можно упростнть решение задачи (2) путем введения и аавых фазовых переменных д с помощью такого невырождэнвага линейного преобразования: Л и д = ~» ! 91, (1=1, 2, ...,л> илн д.=тд, ! Л=( стала проще, »ем псрваэачальнав (см.
также пп. 14.6-1 и 146-2). Если, в частности, существуьт йреабрэзавэнне (4), приводящее данную матрацу системы А к диагаиа»эиалш виду (пп. !3.4-4 н 14.6-6>, та новые переменные дв называются нармаэьнымн ваардннзтвыв рассматриваемой линейной системы (см. также и. 9А.З). Он»» удовлетворяют системе уравнений с «рвзделенвыив» переменвымн ЛУЛ и! т е л, л, ° ° °, л — собственные значения матрицы А. если матрица А виеет л раэ»и»ни» собственных зваченяй, то решенне перваизчальнай системы (2) нэ основанвв (4) нмеет ввд д = д, эЛЛ' (Л=(, 2, ..., л>. РЛ= Ле (13.6-7) ») Ва миагнх технических кингах столбец д зо называют эекшарэи состояния, Правильней была бы сказать, чта элементы д,. У> матрицы д у> (перемевнме састаяиви> ааисыэа»аш вектор состояния в некоторой определенной системс каордэеат (в смысле тсизар.
ваго апалнза, тл. 16), 13.6. ВОЗМУЩЕНИЯ И ТЕОРИЯ УОТОНЧНВООТИ ЛЯПУНОВА 407 Каьш»ексна сапряженныз члены в решенав (7), а также саппздающне н в>ле. вые сабе»вшшые знэ»еэпя »южна рассмотреть подобно тому, как эта сделано в и. 9.4-!. В общем случае с помощью преобразования (4) важна получить швед»а»ы иию па!рацу А (и. 13.1-3), тэк чта функцва д. (О можно паследозэтельпа вычислить ! сдпу зз др>тай. (Ь) Неоднородные уравнен на. Матрица Грина. Линейная ш;стеыа л !д; ч» —;,'= 7, аоу!+(!«) У»(0)=у»е «=1 2 .„, л) (13.6-8п) Л=-! -У=АУ+! (Г), У (0) =Уэ (А == [иы[), где !" «) — матрица размера л >( 1 (столбец), описывает реакцию линейной системы иа внешние нагрузки 4! «). Как н в пп.
9,3-1 и 9А-2, решение у «) получается в результате сложения решения (3) соответствующей однородной системы и некоторого частного решения (нормальной реакции) ул,«); у(О= "'у,+ул«) с ! « — О ) (13.6-9) УЛ (т) = $ "+ « — ) [( ) ут =~ )!+ (р 7 « — 8) К.. о й>атрнцв Грина Л, « — т) з— ж [(Ль « — т));л[ размера л >( л для задачи Коши (8) является обобщением одномерной функции Грина в п. 9А-3 в удовлетворяет уравнению '„' =Ал,«) «>о), л,(о)=Л Л, «)=ед! «~0). Матрица Л+ у) не»несся реакцией нэ набор (эсвмнетрнчвых) единичных пмпульссв (! (О =--б. О) (1=1, 2... и; см. также и.
9А.З, б). Заме!вин чта решевпе (9> полностью авэлагнчно решснвю адеаь»ернай задачи бд)и! =ад-'г) У), д (0) =да. (с) Оп ср а торное р е ш ем не (сы. также и. 9.4-5). Применяя преобразованке Лапласа к элементам матрицы данной спстеиы уравнений (8) с гостоянными коэффицзсвтамн, получаем ЗУ(з) — уз=А У(з)+Г(з) где У (3) и т" (3) соответственно обознача>от изображения функций у «) и 7«). Члены равенства (12) яачяюгся изображениями членов равенства (9). Обратное преобразование лапласа каждого элемента У>(з) матрицы У(з) дает У>«). 13.6-3, Линейные системы с перел!еннымм коэффициентами (см. также пп. 9.2-4, 9.3-3), (а) Самая общая липенная система (1) имеет вид где А «) =— [а>л«)] — матрица размера л >( л, а [(2) — матрица размера л х 1 (столбец) (система линейных дифференциальных уравнений с переменнымн (13.6.
Рб) бя (о> = У <9> — У,ю <о> = бр,. (13.6-24) (13.6-20) бд((е) =-д((е)-у1 ((е) 408 гл. >з. Матрицы, квйдрдтичиые и зрмитовы формы !3.6-4. коэффициентами и внешнияш нагрузками), Решение снова можно записать в виде У(!)=ве((, 0)де+~ве(7, Л)/(Л)с(Л (!)0) (136.14) где ве((, Л) — матрица Грина размера л х л, определяемая при (тп Л как решенйе задачи ",",, М =л(!)ве(7, л) (7>л), в (Л, Л) =!' или как реакция на набор (асимметрических) единичных импульсов )1(!) = = 64(! — Л), где (=1, 2, ..., л; см.
также п. 9.4-3, д. Для скстеиы с постояниымй коэффициентами в„(1, Л) =54(! — Л). (Ш для любой действительной нлн комплексной матрацы я (!> с непрерывнымв елеменгамн решение однородной линейной системы - — =А (!)р (13.6-16) д! имеет внд у <Оп (9), где у= у (!) — мвгрнцв размера в х л, являющаяся еднпственным решеннел! матрасного днфференцнвльного уравпення ив >'= я <(> !', )' <о> =7. (!3.6-17) гл Матраце У (!) является невырожденной; ее столбцы образуют л линейно неэввнсемых решенвй снстемы (16) (фундаментальная матрица решенна, см.
также и. 9.3-2). Матраце О (л — [у ' (!)1' служит едннсгвеннмм решеннем уравнения — д — - я* <!> и, 0 <о> = 7, Уравнення (!7) н (18) называются сапряженнымн лннейнымн урввненнямн '). Матрена Грвз*а зач. ((, Х) нэ и. 13.6-3, э равна Е <Д Л> ем ) <!) ) - <М = У <(> (Г* <Ь> д > М, (13.6-!9) так что реше»не (14) соответствует магрнчной форме решения нэ и. 9.3-3 методом вэрнацнн посгоннных. 13.6-4. Методы возмущений и уравнения в вариациях. (а) Пусть задана система дифференциальных уравнений дв,=)(1, у; сс), у(0)=дш ЗаВИСящая От Набсра (СтОЛбца) (СС(, и, ..., Сг ) т ПарЗМЕтраз Сей, И ПуСтЬ угы (!) — известное ее решение для значений параметров (с=и, — = (ияз, иы, ...
..., и(т), ВОЗМущЕННОЕ РЕШЕНИЕ уго (!)-1-бу(!), СООтВЕтСтВуЮщЕЕ ВОЗМущЕН- иону столбцу параметров и=и,+би, может оказаться легче найти путем решения систеиы — бу=)((, д„,+бу; и!+би)-)((, у„я и!), бу(0)=0 (13621) ') 7 -- — я и) н — 7 — — А' р) являются галряженнмли алератарали в прост. д! д! ранстве матричных функцкй и (!) размера л х 1, длв ноторых интеграл [ и' (!) и (!) ш о существует н и (6) = О, если скалярное пронзвеленне двух таких функций и е о апреаелнть формулой (и, и) ) и' (!) и (!) лт (и.
14.43; см. также и. 13.4-3). о !Зж.з. >э.з. ВОЗМУЩЕНИЯ И ТЕОРИЯ УСГОПЧИВОСГИ ЛЯПУИОВД для возмущения (вариации, п. 11.5-1) бу, чем с помощью непосредственного решения системы (20). Система (21) является точной. Однако для должным образом дифференцируемой матричной функции >((, у; и) можно, пренебрегая всеми членаии разложения правой части (21) в ряд Тейлора, кроя!е членов первого порядка, найти пркближение для бу (возмущение первого порядка), решая линейную систему дрбд=$бд+ ! би, бд(О)=О, (13.6-22) где элементы матрицы д)>дд = [д)ь>ддй[ „размера л >( л и иатрицы "= — ж!), д))ди = [д(((див)в „„размера л х т, вообще говоря, зависят от выбранного решения у<„(!), а потому и от !.
Если возмущения бу; малы по сраввению с [д; [, то можно пренебречь ошибками, возникающими от замены точной системы приближенной. (ы завнснность решения у (!) от параметров ай часто опнсывают коэффнцнен- твмн чувствительности, т. е. производными решенйя по параметрам э! = ду 7да „ обрээующнмн матрицу л =— ду(дп = [ду;>да [ .
размера и х т. для каждого Э Е='Уы, ДаННОГО РЕШЕННЯ Угы (!) КазффяЦНЕНтЫ ЧУВСтВИтЕЛЬНОСтИ ЯВЛЯЮТСЯ фУНКЦНЯМН От ! н удовлетваряюг тл линейным анффереецнальным уравненням (уравменням в вариа- циях па параметрам нлн уравненням чуветвнтельнастн) дл д! д! —,= — л ь —, к<о>=о, Ш ду да <(э,б-гэ> (с) прн нэученнн завнснмостн решения от начальных значеннй р((о) у! этн значения можно рассматривать как параметры. В этом случае начальные условна бу (6) 6 в снстемах (21> н (22) можно зэыеннгь условиями Для уравнения (23) в варнацнях по начальным значениям е. =ду.>дя начэльныс ш= ! ае условия следует взять в виде ди,.(9> < (О <! 96 Э>, хм 6>)= ' ~ =< ' <(, й=), 2, ..., л> <<ЗЯ-Ш> д"ао >у=и,ы (1 ((=й) 13.6-5.
Устойчивость решений: определения (ся!. также п. 9.5-4). Различные виды устойчивости решения у=д,я, (!) систеиы ив=~(7, У) (7=!) (13.6-26) можно определить с помощью того эффекта, который вызывают возмущения параметров (п. 13,6-4). Нижеследующая теория относится к устой!иаосглп в смысл Ляпунова, которая определяется эффектам от малого изменения начального значения иа получающееся в результате возмущение бд (!) ив м д (!) — у„, (!) при (>йш Решение у=усы (!) системы (26) называется: Устойчивым в смысле Ляпунова, если для каждого б > 0 существует такое () (3, (о) >О, что из [' бу((„) Ц <б (е, (,) слелует, что [[бд(!) [[~е при всех (- ге.
В противном случае решение называется неустойчивым. Асимптотически устойчивым в области [>з((е) фазового пространствз, состоящего из точек ум (д„ уэ, ..., ул), если решение 4!О Гя 13 мАтРицы кВАдРАтичные и эрмитовы формы юм-о, )з.в-т. !з.з, возмшцения и теория ьстоичивости ляпдновя 411 усо «) устойчиво и если из того, что у((,) принадлежит области 0,«,), следует, что 11п) бд«)=0 (т. е. (1бу«)))-ьо при 7- со, се п. 13 2-11). Асимптотическн устойчивым в целом (вполне устойчивым, глобально асимптотически устойчивым), если областью асимптотическое устойчивости является все фазовое пространство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
