Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 89
Текст из файла (страница 89)
еде границы ииредетютгя етиешгиигя включения, Каждая ботва агыбра ягяегтгя (с) Егги А — ииеизгеяьиий зммгит булевой алгебры 8, ти вммеитмХЯ ~ А игыбрм 8 обригоюгя биггго алгебру, г цетеиед А играет циль /. 12.8-4. Алгебра классов. Подмножества (подклассы) А, В, ... любого ножества (класса) 7 образуют булеву алгебру [алгебру классов) по отношению к операциям логического сложения (объединения), логического умно жения (пересечения) и взятия дополнения, определенного в и.
4.3-2, а. Пустое множество (или любое множество, не содержащее ни одного элемента из /) обозначают символом О. Отношение ( (п. 12.8.3) превращается в логическое отношение включения ~. 12.8-5. Изоморфизм булевых алгебр. Диаграммы Ве>/на.
Две бугевы алгебры с конечным числом элементов изоморфны (ло отношению к сложению, ул/ношению и взятию доно»пения, п. 12.1-6) в том и толька в том случае. ггяи они имеют одно и та жв число влгментав. Всякая булат алгебра изоморфна некоторой алгебре классов (п. 12.8-4), Диаграммы Венна (диаграмлие Эйлера), подобные диаграмме, изображенной на рис. 12.8-1, наглядно илл!острпруют свойства булевых алгебр с помощью алгебры классов. 12.8-6.
Алгебры событий н символическая логика. Алгебры событий слу- >кат моделями для комбинирования событий (должным образом определенных псходоз идеализированных экспериментов; см. п. 18.2-1). Если Е>, Ею ...— такие события, то Е,[) Ез †событ (предложение) Е, или Е, (или и то, и другое, мп исключающее или), Е,[)Е,— событие (предложение) Е, н Е, й — событие (предложение) не Е, 7 — достоверное событие (объединение всех возможных исходов, п. 18.2-1), 0 — невозможное событие.
В двузначной (арнстотелевой) логике алгебра гипотетических событие (логических высказываний, утверждений) Е связана с более простой булевой алгеброй значений истинности Т[Е), равных или 1 (Е истинно) или 0 (Е ложно), гомоморфизмом (п. !2.1.6): Т [/) = 1, Т [0) =О, Т [Е,П Ее[ = Т(Е/)+ Т(Ег) Т [Е>П Ея)= Т [Е>[ Т [Ег), Т[Е = Т)Е). (12,8-10) Па основавии этих предложений высказывание Е либо истинно, либо ложно (гакон игкгюегнного третьего), и значение истинности любого высказывания Е, Х Е г) о) 1' 'Яе.
12.8.2. Кзоты КаРпо и) — Ш еаитзететзеина Нла двУх, тРех, четыРех Я пЯти бтлееыз иеременных н е) нзртг двя функции яз табл. 12.8.( ит трах неремеяяыя, представимого как булеза функция Р(Е>, Ем .,.) от множества событий Е„ Е, ... (логически связанного с этим множеством), дается формулой Т[Е)=Т [Р (Е,, Е,... П=Р(Т[Е), Т [Ее[... ), )гл-б. 12. 8-8. 12.8.
БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ Л Л с П) с с с с я Л с с с) с в в г А) СС Хег звг+аФы.- ссьлбс- (и+с)Я+б с) ГЛ. 12. СОВРЕМЕННАЯ (АБСТРАКТНАЯ) АЛГЕБРА Рнс. 12.8-3. Логическое упрощение с помощью карты Кариа. 12.8-7. Представление булевых функций истнннастнымн таблицамн. Карты Карно. Если задана система булевых переменных Х, Х, ..., Х, каждан из но р првяимать звачення 0 или ! (п. 12,8-6), то всякая из 2(2 ) булевых функций Р-Р~ХР Х, ..., Х,) однози а|но определяется соответсгвуювгей нстнинастной татлнией (таб 128П, р у ' иачения данией функции для всех возможных аРгумгитов.
В таблице ой казаны з Т абл нца 12,8-1 Истиииостиая таблица для булевой функции Г = ХУХ~-ХУЕ+ХУХ+ХЛ+Хтб = (Х+ У+к) (Х+У+А) (А+У'+Е) 12,8-1 указано также обычное расположение соответствующих одночлеи 1 . 12.8-2; у д у т ится в соответствие двоичное ~исло, определяемое порядком нулей н единиц относительна Х, У, 2. Функция Р равна булевой сумме тех о нвочклг. пов, для которых в этой таблице указано значение функции 1.
Карта Карно — это диаграмма Пенна (п. 12.8-5), состоящая нз правильно расколе. >кенных квадратов, каждый из котормх соответствует одному нз дп одночленав, порохс- лицы вносят в н жные денных л переиеииммн (рис, 12.8-2). Значения данной функции Р нз нстинностиой таб. у квадраты; тогда функция Р раина сумме всех одночленов, ля переменных ка та а но которых в соответствую~пня квадратах стоит едини а. Для фу й, ц, л икки, ножалуй, до шести а о ъединения и пе есеч б рт Карно позволяет удобным образом перегруппировать эти одночл саы сложений, множений и н р ения так, чтобы мивимиаировать, скажем, число логическ х ° у ли взятия дополнений. Эта паяезно для экономного «онстр ив рования схем электронных вычиглнтельных маюин (рнс.
12.8.3). онструинк 8-8. и олн а алгебры классов и л б -8. Полная адднтивность. Алгебры меры (см. также пп. 18.2-1 18.2-2). М в. ге рм событий требуют распрастраненн» определнющня постулан .- . мотне тов на объединения н пересечении бесконечного множества членов (т. е., ст га говоря, выхода за пределы собственно алгебры, ц. 12.1-2). Булеза алгебра и называетс» вполне адднтнвной, если каидая бесконечная суима А,+Аз+... единственным образом определена как элемент, Вполне а и лне аддитивная улева алге ра и называется алгеброй меры, если существует действительная функция (мера) М (А), определеняая для всех элементов А щ а н такая, что 1) М(А))0, 2) М (0) = 0 3) М (А, + А, + ...) = М (А,) + М (А,) + ... для любого конечного или А,.А =0 при (~Д, счетного мвогкества элементов Аз, Ам,.., удовлетворяюще о у ! (г го условию; Н р и м е р ы ы е р; Мощность конечного множества (п.
4.2-3), длнва. площадь, объем, (п.(8.2-2). меры дебета и Стнлтьеса (пп. 4.6.14, 4.6-17), значение истиввости (п. 12,8-6), вероятное 3сЛ Таблица 132-1 с ~~ [1,. Р = ~ [и„!2=1 1 З=) т л П А П .= — *цр ~~ ~ о!Ач)чь »=1/»=1 13.1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ »и к П Л П» =. ~Л ~ [ о),[ а,з ...
ато азз " аяо — [а.а[ атз .. авт аы А=— атя (13.2.1) и 1! х П, =— 'и х',1, == ~ [ Еа) Е=) П х!!»ю=)[к,,'»»им»с!» 112[ Плед»(ПА:)*')хп» ГЛАВА 13 МАТРИЦЫ, КВАДРАТИЧНЫЕ И ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ Аппарат матриц позволяет более просто предстоелтль разливные мотгматические и физические операции с полюгцыо числовых операций над клементами матриц. Для большей легкости ссылок в пп. 13.2-1 — 13.4-7 алгебра мэтрнц и матричное исчисление вводятся как независимый объект, а в гл. 14 оппсывается применение матриц для представления векторов, линейных преобразований (линейных операторов) и скалярного произведения. В пп.
13.3-1 — 13.3-6 подобным же образом квадратичные и зрмитты формы вводятся с точки зрения алгебры; их значение для представления скалярного произведения выясняется в пп. 14,7-1 и 14.7-2. 13.2. АЛГЕБРА МАТРИЦ И МАТРИЧНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 13,2-1. Прямоугольные матрицы. (а) Если собираются воспользоваться какой-либо нз «матричных операций», определяемых в п. 13.2-2, то таблицу «скаляровз а)а, взятых из коммутативного поля р (п. 12.3-1), называют (прямоугольной) матрицей размера т Х л над полем р. Элементы а!а называются элементами матрицы; элемент а!а расположен в !ъй строке н в А-и столбце матрицы (1); т есть число строк, а и — число столбцов. Матрица конечна, если она имеет конечное число строк и конечное число столбцов; в противном случае она бесноиечна. Матрица (1) над полем комплексных чисел ограничена, если опа имеет конечную норму.
Вот типичное определение нормы матрицы т л )»»н и [[А[[ зпр ~,' ~ а)ай!«)а~ ! ~ч~Р (й)[з= ~ [т)а,'=1 (13.2-2) [1= ! а= ! '!!=1 Ь=) (см. также табл. 13.2-1 и и. 14.4-1). Конечная митр!Гца над полем комплексных чисел всегда ограничена. В етом справочнике все матркцы предполага!отса конечиымн матрнцая!и иад полем комплексных чисел '). Матрица А = [а»а[ называется действительной, если все ее элементы ат — действительные числа. *) Бссконсчвые матрицы рзссмзтрнзаютсз, взпрнмср, в 1!5.11, !5.2-1, !3.2. АЛГЕБРА Я)АТРИЦ И МАТРИЧНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Некоторые нормы матриц !и и/икн т могут быть и бсскоисчиммв; см, также пп.
12.5-5 и 11.4-1) !з) Прямоугольные чзтрнцы размера т и и А [о а[ (т, и) 1) »и о ПАП!аи цр ~» ! ! [, ПА П!!и— и з р ~ )е! А /т и )1/р П А Пр= — ~ ~~ Р~хл» 1 и, )р~ !р = 1, 2...,) 1=1Ь=! /»и и П Л П» = — [ ~я~~ ~Р~ ! а,.з ! з~ !сзккндазз парма), '»=-1 Ь=1 1» !5) столбцы к зли строке х (1, 1,..., ч ) «к и ) 1/р !,'х)'! ==,'х),!р=~ ~ )$2)! ~ !р=1, 2,...) »»)»=1 ч Пк!'» =-!1к !» == ~~ 132 !з !сзклпдсвз парма) !с) Соотношение. Дх» к«ждав пармы выполиюатся соотпашсинк ПА-)ВП(ПАП+)В), )!ол,')=)а!Плб, ПАВП<ПАП'„'ВП. В чзсгвсстз, 392 ГЛ, 13, МАТРИЦЫ, КВАДРАТИЧНЫЕ И ЭРЫИТПВЫ ФОРМЫ 13,2-2.
13.2-5, 13.2. АЛГЕБРА МАТРИЦ И МАТРИЧНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 393 Матрица размера лХ1 называется столбцом, а матрица РазмеРа 1 Ха — строкой. Будут применяться следующие обозначения: с Ц) — (13.2-3) — (~,, Цж .... Ц.) — = И=- *, ил где $» — комплексное число, сопряженное с Ц» (см. также пп. 13.3-1, 14.5-1 и 14.5-5). (с) матрица размера аха называется квадратной матрнцей порядка л. Квадратная матрица А = [а/») называется: треугольной (наддиагональной), если из (~А следует ац,=О, строго треугольной, если из 1)А следует а;»=О, диагональной, если из (~А следует от=О, мономиальиой, если в каждой ее строке н в каждом столбце имеется лишь один элемент, отличный от нуля.
13.2-2. Осиовиые операции. Операции над матрицами определяются с по- мощью операций над их элементами. 1. Две матрицы А = [ащ] и В = [Ь/»] размера тХл равны друг другу (А =В) в том н только в том случае, если ам =Ь;» для всех 1 н Й (см. также п, 12.1-3). 2. сумма двух матриц А =— [а;»] и В = [ь;»] размера тха есть матрица размера тХи А+В == [аы]+ [Ьц) ~ [а!»+Ь!») 3. Произведение матрицы А ]а/»] размера тХл на скаляр и есть матрица размера тХл иА = и [а;»] = — [иа;»], 4. Произведение матрицы А = [ац[ размера тхл на матрицу В [Ь/„) размера ахг есть матрица С =[сц) размера тхг С=АВ= [а/] [Ь/») — = [сг,], где ем= ~~Р а!/Ь/». / 1 А-[-В=В+А, А+(В+С)=(А+В)+С. и([)А)=(ий)А, и(АВ) =(иА)В=А(иВ), А (ВС) = (А В) С, и (А -[- В) = иА+ иВ, (и+ [1) А = иА+ ЦА, А (В-1-С)=АВ+АС, (В+С) А =ВА+СА, (13.2-4) Ц А -[-В Ц ~ Ц А Ц -]- Ц В Ц, Ц аА Ц = ] и ] Ц А Ц, Ц АВ Ц ( Ц А Ц Ц В Ц.
(13 2 5) Таким образом, элемент с;» матрицы С=-АВ есть сумма произведений элементов 1-й строки матрицы А на соответствующие элементы А-го столбца матрицы В. В каждом произведении матриц АВ число л столбцов матрицы А должно равняться числу строк матрицы В (форма матриц А и В должна быть согласованной), Из существования произведения АВ вовсе ме следует сущест. вование произведения ВА.
Если существуют оба произведения АВ и ВА (это, в частности, будет всегда, если А и  — квадратные матрицы одного и того же порядка), то, вообще говоря, ВА чь АВ (см, также п. 13,4.4). Отметим, что 13.2-3. Нулевая и единичная матрицы; обратные матрицы. Отметим следующие определения: 1. Нулевая матрица [О] размера тхи есть матрица этого размера, все элементы которой равны нулю, Тогда А+[0)=А, ОА=[0], [0]В=С[0]=[0), где А — произвольная матрица разлмра тХл,  — лроизволькия матрица, имеющая л строк, и С вЂ” произвольная 4)атрица, имеющая га столбцов.
2. Аддитивно обратная (противоположная) матрица — А для мат. рицы А Рц [ам1 размера тХа есть матрица размера тхл — А ив ц ( — 1) А ы [ — аг,]; тогда А+( — А) ==А — А=[0). 3. Единичная матрица 1 порядка а есть диагональная матрица размера пХ л с единичными диагональными элементами: 1== [6т[ где 6М=]1 если (=А Тогда 1В=В, С1=С, где  — произвольная матраца, Вмеющая а строк, а С вЂ” произвольная матрица, имеющая и столбцов; для любой же квадратной матрицы А порядка а 1А =А1=А.
4. Квадратная матрица А называется неособенной (нева)рожденной), если она имеет (необходимо единственную) мультиплнкатнвно обратную или просто обратную матрицу А ь,определнемую условнямн АА )=А 1А =1. В противном случае А †особенн (вырожденная) матрица. /(вадритная льатрица А аж [а!»] порядка л явллеакя невмрохсдекиой в том и только в том случае, если йе! (А) = де( [а/а) Ф 0; в жлом случае А ' есть квадритная матрица того жс порядка п.' А '= — [а!»] )м— м ~д !»' )1, где А/» — алееброическое дополнение влемемта а/» в олределиеиелв йе( [аь»] (см. также пп. 1.9-2 и !4.5-3). Квадро!амоя митрица не вырождеиа в тол) и толю(о в том случае, если ее строки (столбцы) линейно независимы Произведение двух невырождснньи матриц и митрица, обратная невырожденной маьлрице, не вырождены; если А и В не вырождены и и ~0, то (АВ) )=В )А 1, (иА) )=йтА ', (А ') )=А, (13,2-5) 13л-4, Целочисленные стецвцн «ха»ратных матрац.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
