Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 88
Текст из файла (страница 88)
стзол», сслв всякое нспустав сга падл»нажэство инсат изнысньший элэмвит. 12.В-ЗХ. Упорядоченныв паля (сы, также пп. 1!.3 в 12.3.1). (в) Коммутзтсвнов поле К нззывзстся упорядоченным полем, если нскоторыв его злвнспты нзэывюстсн полажнтэльныма (>О) н если выполняются условия: 1) для всякого элсмэнтз а б К имеет нсста адно и только одно Вз трек отношснигс а>0, а = О, — а >0; (12.б-2) 2) из а>0 и Ь>0 следует а+Ь>0 и ад>0. к~то а Если — а . О, то элэмснт а нзэыозют отрицзтвльаын и пишут а»0.
Е слп пола- в и >Ь, кагдз а — Ь: О, та пале стзновится ливсдло упарядочвнным мно (и. 12 0.2). жвстэам (Ы Всяко.* усвовво Волков (и, 12.0-1, з) элорядовсннт ловв нэоморфно (ио свозсснлю и»увсложвни~о) помо двдствотелвнмх «освв. Любая улорлдоынлая обл сть целостности, мновссслао ловожотсвьных элвмввтов ко орьй вновлв улорлдочвно (и, 12.0-2), лэомо на » о юцу цввьт час "в 12.7. КОМБИНАЦИИ МОДЕЛЕЙ: ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ, ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ И ПРЯМАЯ СУММА 12.7-1. Декартово произведение. Пусть Ст, Сю ...— некоторые классы объектов.
В пп. 12,7-1 — 12.7-5 рассматривается новыл класс С, элементы которого представляют собой всевозможяые упорядоченные множества (а, а, ...) объектов а„ а,, ..., взЯтых соответственно из классов Сы Сю ... По опРе- 1 3 делению [ат, аю ...) =(Ь,, Ью ...) в том и только в том случае, если а)=Ь,, от=Ьз ...
Класс С называется декартовым произведением классов С, С, ... Этот в!стад кол1бинирооаиия мател(атичгских объгкнню в болгг слозкныг матгл1атичгскиг объгкты ассоциативгл: (аз, (аэ, аз)) = ([ат, аэ), аэ)= :(аы аз, аэ). (12.?-!) Остается связать операции в С с операциями в Ст, Сэ, ... 12.7-2. Прямое произведение групп (см. также п. 12,2-1). Прямым произведением 6= 6, Ох 62 двух групп 6, н 6, называется группа, образованная 1 Всеми упорядоченнымн парами [а,, а,), где а,— любой элемент группы 6, а ив — любой элемент группы 61 с умно)кеннем, определяемым формулой (аы ~2) [Ьт, Ьэ] = (а,Ь„а,д,). (12.7-2) Нар)сдок группы 6 равен произвгдскию порядков групп 61 и 6,.
Группа 6 плсггт единицу Е=-(Егп Е,), где Ет и Е,— единицы соответственно в 6, и в 6,. Если у групп 6, и 61 нет общих элементов, то [а,, аэ) можно записывать кэк внешнее произведение а(аю причем а,Е,==а!, Е,а,= — а, и 61 н 61 — подгруппы в 6. ЧНСЛЭ 1» П р и м в р ы.
Любая скалярная вали»ннв в фнзнке является внешним произв вдниицм иэмэрвния. Выражения вндв робота = лассе х ускорвло х лс: оизввдапвэы — тожс внешние праизввдэния. — вло лсрвв н(слов 12.7- . . -3. Прямое произведение действительных векторных пространств (см. также пп. 12,4-1, 14.2-1 и !4.2-4). Прямым произведением й=й' (х) й. в действи тельных векторных пространств йт и йз называется действительное век. ро ни = 1 г двух торное пространство, образованное всеми упорядоченными пауами (внешними элемент произведениями) (а„а,)пжа,аш где а,— любой элемент из, а а — люб " нз йэ с венторным сложением и умножением векторов на скаляры, — ой определяемыми формулами аз(а,+Ь,) та,а,+а,Ью (а,+ЬЙ аз мы агав-[-Ьзаэ, ) аа,а, =— (са,) а, ы а, (са,).
) (12.7.3) 384 ГЛ. !2. СОВРЕМЕННАЯ !АБСТРАКТНАЯ) АЛГЕБРА Линейная размгрнгюгнь векторного пространства 71 ровна прои.ведению линейных Размерностей пРогтРансгпв Вг и Ыз. П р им е р. Построение теииирои иии внешним прои ведений векторов прииедеио В ии 16,6.6, 1алъ 1 и 16.9-1 12.7-4. Топологическое произведение (см, также п. 12,5-1). Топологнчесиое произведение двух топологических пространств С, и Сз есть их декартово произведение с топологией (семейством о~крытых ягножеств), определяемой следующим образом; открытое множество есть декартово произведение любых двух множеств 5, и 5я, где 5,— открытое множество в С» а 5,— открытое яножество в С,. 12.7-6.
Прямая сумма. (а) Прямой суммой 71'= 711 Щ Ггя двух векторных пространств 711 и Рм взятых над одним и тем же кольцом скаляров Й, называется векторгое пространство, образованное всеми парами ]а» а,], где а, †люб элемент из 711, а ад †люб элемент из 712, с векторным сложением н умножением векторов на скаляры а из )7, определяемыми формулами [а„ае]+[Ьг, Ьз]=[а,+Ь» ае+Ьв], и[а» а,) =[аз„ааг]. (12.7-4) Раэмгрносиш пространства В' равна сумме размерностей пространств Вг и йм Если 711 и Вз не имеют общих злементов, то можно писать [а» аг] ==- а,+ а,, и п ост анства В и Вв являются тогда подпросгранствами В'.
Каждое лиигиное век!парное пространство размерности большей, чем единица, о л,, м жет Сьииь представлено в виде прямой суммы его непересекающихся лодпростраиспм. (Ь) П ямой суммой й'=)71 (э )7з двух колец )71 и Аге называется кольцо, образованное всеми упорядочеинымй параии (часто называемыми прямыми суммами) [а» ав] со сложением и учногкением, опредсляемыми формулами [а» а,]+[Ь» Ь,] =: [а,+Ь„иг+Ья], [а» аг] [Ь„Ьг[=-.= [игр„иУгг] (12.7.5) (с) Прямая сумма двух линейных алгебр (п. 12.4-2) есть линейная алгебра из упорядоченных пар со сложениелг, умножением и умножением на скаляр, определяемыми формуламн (4) и (5).
12.8. БУЛЕВЪ| АЛГЕБРЪ| !2.8-1. Булевы алгебры. Булевой алгеброй называется класс $ объектов А, В, С, ..., в котором определены две бинарные операции, обозначаемые как (логические) сложение и умножение, со следующими свойствами: (а) Для всех А, В, С из $ 1) $ содержит А+В и АВ (замкнупгость); 2)А+В=В+А, ~ (комзутатигныг законы); АВ= ВА ' ) ( со иагпивные законы). А (ВС) =-~А В) С (дистрибутивные законы); А+ВС=(Л+В)(А+С), 1 5) А+Л =-АА =А (свойства идемпотентности); 6) А+В =-В в том и только в том случае, если А В = Л (свойство совместимости). (Ь) Кроме того, 7) $ содержит элементы 1 н 0 тзкис, что для всякого элемента А из $ А-г-О=А, А1=А, АО=О, А+1=1; 12ж-з.
12.6. БУЛЕВЫ АЛГЕБРЩ 385 8) для каждого элемента Л класс $ содержит элемент А (дополнение элемента А, часто обозначаемое символами А или 1 — А) такой, что А+А=1, АА=О. В каждой булевой алгебре (12.8-!) А (А+В): — А+АВ=А (законы поглощения), (А+В) =АВ, (двойсгнаенность, законы де Моргана), (АВ) с— н А+В ) (12.8.2) (12.8-3) (12.8-4) А=А, 1=0 0=1 Л+АВыА+В, АВ+АС+ВСьщАС+ВС. 12.8-2. Булевы функции.
Приведение к каноническому виду. Если даны и булевых переменных Хг, Хг, ...,Х„, кагкдое из которых может быть равно любому элементу данной булевой алгебры, то булевой функцией У=Р(Х» Х» ..., Х„) называется выражение, получаемое нз Х» Х, ..., Х„путем сложещ)я, умножения и взятия дополнения. В каждой булевой алгебре существует ровно 2'2 ~ разлигных булевых функций и переменных.
Из соотношений и. 12.8-1 следует Р(Х У "я+я')=Р(Х Уя '''я' +)г Р (Х, Х, У, ...) = Х Р(1, О, У, ...)+Х Р(О, 1, У„...) = = [х+Р(о, 1, У, ".)] [х+Р(1, о, У, ...)1, х Р(х, х, у, ...) =хР(1, о, у, ...), Х+Р(Х, Х, У,...)=Х+Р(0, 1, У, ...). ) (!2.8-7) (Ь) Всякая булеза функция либо тождественно равна О, либо может быть единственным образом предсгнаапеиа В виде суммы одночленов 212 ... 2„, гдг 3! равно или Х» или Х! (канонический вид булевой функции, геометричес- кую иллюстрацию см.
Ба рис. 12.8-1). Булеву функцию У=у (Хя, Хг, „., Х„) могкно привести к каноническому виду следующим образом: 1) пользуясь равенством (2), разложить дополнения к суммам и произведениям; 2) с помощью первого дистрибутивного закона свести функцию Р (Хг, Лв, ..., Хи) к сумме произведений; 3) с помощью тождеств Х!Х!ВжХ) н Х;Х;: — 0 и равенств (4) упростить полученное выражение; 4) если какой-либо член 1 не содергкит одной из переменных, например Х» то переписать ] в виде [Л!+)ХЬ 13 Г. Кори и Т. Кори (12.8-5) (12. 8-6) Если А Р В = В, те внеего АВ люжио писать  — А !Рииглиение А до В) Элменты А,, ь, „. булевой алгебры называются яивъюиитиыми, если иоигрвые произ. , В, — левеяеиии любых зленеитаи итоги ниажестви равны О.
Символы Ц и Д, используемые в пп. Л 6-2, и, 12.6-6, Ь и 16.2-1 Пля обозначении объединения и пересечения множеств и событий, часта употребляются и для обозначения логического слежении и умножения в любой булевой алгебре, причем вместо А+ В иишут А 0 В, а виегта АВ пиигут А Д В. ! 2.З.В. )2.8.
БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ 387 Ш,в-в Х Я 00 О/ П Ю Со Л А д' О/ л л 00 О/ и /О Х 0 0 0 0 0 Ь) йз Х Я ОО О/ // /О С О О / / О С / / / 0 / 0 0 0 (12,8-11) где 0+0=0, 0 0=0, 0+1=1, 1+1=1, 0 ° 1=0, 1 ° 1=1, 1 =О. (12.8-12) 0=1> 13* ГЛ. !2. СОБРеменндя (АБСТРАктнйя) АлГеБРА Во многих приложениях может оказаться полезным опустить шаг 4) н, продолжив шаг 3), нак можно больше упростить ка»(дый член разложения. Ввиду законов де Морга//а (2) каждую булгву функцию, нв равну/о тождеснмгнио нулю, можно также единственным одра юм представить в виде Ряс. )2.8-1.
Диаграмме Венца (дяегремма Эйлера). дяегреммы этого типа яляюетрн. РУ ют отношения з алгебре яяессав (ц, 12.8-5), евн орямоуговьанк, круг; кеадрет я тэеУгильннц обозначить соответственна чеРез /, Х„Хь Хз, ти Д Р ити ееанза ОУвева фУннцнЯ ет Хю Хь Х, мажет быть пРедставлена каК объединение мниимельеых мнигичленив ет Хы Хм Х, (н. 12.8-2), Заметим, чти Ямеетеа 2' = 8 Резинчных онноцлеяов, произведения сумм 21+ 22+...+ Хи, где 2/ равно либо Х/, либо Х!. Всего имеется '2" таких сумм. Примеры: (АВ+С())= (А+В) (С+)г)=АС+А)7+ВС+В0/ (А+В)(С+()) =АВ+Сб (А+ С) (А+)О) (В+ С) (В+Е/). ! 12.8-3. Отношение включения (см.
также п. 12.6.1). (а) Равенство А+В=В, или АВ=А, эквивалентно рефлгнгивному отношению частичного упорядоигнил А(В [или В)А) (логическое) отношение включения). (Ы Ве всякой бигеггй а»гебня ив А ~ В и В ~(А ггедугги А В н А+ Вин знр(А, В), ЯВ )а1(А, В).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
