Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Если все элементы а, Ь группы 6 перестановочны, та опредсляющая операция называется коммутатигной, а группа 6 — коммутативной или абелевой группой. Группа 6, содержащая конечное число у элементов, называется конечной группой (группой нарядна у)! в противном случае 6 †бесконечн группа. (( этом последнем случае группа 6 может быть счетной или несчетная. (Ь) Каждая группа 6 ил!егт одиислыениую левую и единспюенную правую гдиничу, и эти гдииина равна (Е() а=а( ) Е = а).
Каждый элвиент а имеет гдиигоюгнн»гй левый и единственный правый обратный элемент, и эти элемента Равны (а"'() а=а Оа-(=Е). Отсюда из о(') а=с () Ь следует а=-Ь, у ' ) (закоиа сокращения). (12.2-1) Группа 6 содержит гдтственног решение х любога уравнения о0х=Ь иш х ) с=Ь, т. е, в группе возможны однозначно определенные правое и левое еделенпе». (с) Операцию, определяющую группу, часто называют (абстрактным) умножением (см., однако, п.
12.2-!0); тогда ее резулыат записывается как произведение аЬ, а элемент, обратныи элементу а,— как а !. Это соглашение свободно используется в следующкх пунктах. Крвтвые прои»веро»ия оо, ооо, ... »»оисывают в кипе Чел»»х от»о»чей о', о', причем 'о ' о, о ==Е, Заметим, что -)л — о о (, !) ! ж еюо",'в ", (, )"=ото, (,Ь)''-Ь ', '. Нз г 2) 12.2-2.
Подгруппы. Подмножества 6, группы 6 называется ее подгруппой, ссли 6, является группой з смысле определяющей операции группы 6. Это сира. ведлнво в том и только в том случае, если !) множества 6, содержит все произвгде»(ия»ьрииадлгъаи(их ему элементов и все элементы, обратные его элвл.гитам *), или 2) для л»абай пара элгл(энтое а, Ь из 6, икожегтао 6! содерогит и произведение аЬ !. и рвоеч»нче (и.
4.3-2, х) двух поз»орох гоэочы а есть под»од»хо гоу»юы а. Сама группо а и Н ие»ываюжя весобствевиыыи подгруппами группы 0; все остал»вые подгруппы — собствевиые. если а — группа чон»»ного оорвдка й (о. 12.2-!), юо ар»го а и .» ооггринчы а, в»ллгюсо делителем пор»два грочэы (т ео р ем а Л а г р а и ж а): х чвсзо г,г, называется ввдевсои подгруппы б, (в гРуппе О).
первого *) В случае конечной группы второе требование излишне, так как ово следует ив ГЛ. 12. СОВРЕМЕННАЯ (АБСТРАКТНАЯ) АЛГЕБРА о я ок влемента группы. Циклическая группа состоит 12.2-3. Циклические группы. Порядок влем бязательно коммутатнвна. Любая нз степеней а Е, а, '! " одно ' " группе! леллюепсл циклическими. го элемента а н о гррлна Праетага ПапэдКО и Либо РУ Ц О,клвческую подгруппу, состоя падг пиа икгической Каждый элемент а любой групны 0 порождает в я ю нэ всех его степеней Поредок втой подгруппы лазы га Е, ящую нэ всех наименьшему натуральному числу т, что а если он конече, Р н, то он авен такому ся злемеитом бескоие«лого лорлдка. в противном же случае а называется злем !2.2-4. произведения «олмножестз. Поемные «пассы.
(а) ран за п оизвеленнй а,а, элементов а, 1!з состоящее из всех (раэлнчйых) пр П введение ') С,С, двух подмножеств С, и Се ру 0 л еагтсл подгруппой е О е том и С, П едеиие С,С, деух подгрупп группм л еагтсл только е том сгуеае, если 6, е (Ь) Левым смежным классом «О, в группе по, о. ка, анного элемента х нз н лю ы зкество всех рогтвццынй, д Аналогично правый смежный кла сс С,х есть множе хб = О = Дт гымк смюхпык пласт О, сам ягея тел по групоои д б г зеемепта то,"ее самое спраагди атом славин хб, = „х= по о О, либо соепадоют, либо эе име ют эи одпого о и!е о к классов. Ко:и 'ая по ~Руина о д руина О групп» 6 определлепг е б печное чис ю мгм» сжжпм» 0 иа конечное иеп еско е к меж имх к,га соэ с !а Π— группа калечного па- ке о сое и разбиение 6 ио п, праемк смежпмк к,юс Рядка й, то п, раенлгтся индексу йы, пм О прииадеежат одному и том же левому смюеиомч у см згпому к,!асср по Се, если б, содер- гсла О, со ержи С д т а 'В одному и тому же праеомусмезгло жио! Ва-е, Ый ГРУППЫ 23 12.2-8.
Группы преобразований нлн операторов (см. танже пп. 12.1-4, 14.9-1 — 14.10-7 н !6.1-2). Миожсспма 6 всех взаимно однозначных преобразований х'= 7(х) любого класса С иа ссбп образует группу, определяющей операцией в которой является последовательное применение двух преобразований (умножение преабрпзаеаиий или ог)сратарав). фектор О )С.— простая группа (п. !2.2.5) Между .юбпми деумл еочпозичионны 1-.1 ! Рядами одной и той же группы б ср !естеуе и такое еэаамло одптлаечое соотеетстеие, ~то гоотоетстеуютие ик гэемептм яе.тютгл изоморфимм группами (теор ма Жерди. иа — Гемдеро).
Группа О называется разрешимой, если все ее композиционные факторы являются цнкличе«кнмп труппами (и !2 2.3). !2.2-7. Центр. Нормалнзаторы. (а) Миожг тео есгх эеемеппше группы О, пересталточпык с любым э.гемеитом эгпой еруппы, яеэлетсл норма гонь! ч делителем груши О; оп ноэитетсл центром группы б. (Ь) Мэожесоыо осек э.пмептоо группы 6, перестало гочнмк с данпмм э,!емепгло. а из О, лоеягл!ся подгруппой группы Г (нормализатором элемента а), коепорал содержит и кгическую лодеруппу, порожденную элемоптом а (о. !2.2.3), е ко«есггеее етого пормогы пого делителя. Множесгп о элементое еруппы О, гмрестапоеоглик с каждым эгемгптом дапэои подгруппьг С, гррлпм О, аекттся подгруппой группы О (нормалиэатором подгруппы 6,), которал содержит О, о каеестее пормамного делите ел Часов роэзичних эгементое иеи нодгрспп груп и б, сопрялгеппьгх (п, 12.25) с некоторым ее элементом иэи подгруппой, рае о оиделсу (п.
!22-2) иормализатора этое элемента (или соотэгтстегээо гнои подгруп и) е группе 6. 12.2-8, Сопряженные элементы н подгру . р г ппы. Но мвльные делители. Фактор-группы. 6 называются сопряженнымн, если они (а) Двв элемента х и х' группы нвзынв связаны преобразованием (и. 12.1-4) х'=а 'хп (нлн х=ах'а ), — 1 (!2.2-3) лемент г пы 6.
Тогда говорят, что х' является где а — некоторый элемент группы е !том а. Сопряженность гпи (п. 12.1.3) и определяет разбиение ми овання элемента х элсмен являепюя отпатепигл! экаивалснтнасгпи (п. группы 6 нв классы соп кжепиых элементов. (Ь) реобразовапне (3) переводи к ж 6 пм и талька ~ж ы ~~ "'" -" 7"'=" " "' "' """Т ' 6Р";Ы. -.::„;.-,.„,,. и, По г ппв, отличающаяся этими свойствами, называется иьы с гс элементами.
Подгруппа, отличаю ., т я нормальной подгруппой (нормальным делйтелем, п. !22чй леелется эормпг лым де. ате гем группа б, елзтел"й нроче ебя са ой Е Простая группа не содержит никаких нормальных делит иые классы (п. 12.2-4, Ь) по нормальному делителю савпаи м т ыми клас ами и образуют груп!ц дают ссаггн)Фиспмукги((!э(() правыми смежными к пс и ии миожеиия, определенной в и. ''Рц У 6 ' 6 « ''- 6 называется фактор- ру -г ппой 67 1 группы и д, с ядск фактор-групйы 6,'61 розен Если 6 — группа капсчиаго порядка, та поря к индексу й!21 подгруппы 6! (п. !2.2-2).
й я . Композицяонный ряд. Длз любой группы О нормальным !2.2-Е. Нормальнмй ряд. ом называется такая (конечная) последова тельность подгрупп О == О, О, б, е рядом назыаае с ляется нормальным делителем подгруппы С ! ..., 6 = Е, что ка!кдая подгруппа сц является и! называется «омпозиционным рядом ру ппы О, если 6 прн любом 1 ! Нормальный ряд наз елнтель подгруппы н б если между О. н С! нельая есть собствеивый нормальный д 1-1 й омпозицнонный 1-.1 вставить никакого другого нормального д елнтеля, т.
е. если кажды к в х подмножеств ие гледу ет смешивать с нх тресемпием .2-2Ь (гогическем пРоизеедепнем, п. (.3-2) С, ~ з, а такж Ог — пргтзвольнаа подгруппа группы брз х, к', связанные каким-либо преобразованием х' =7(х) нз подгруппы Оп называются оквивапентвымн относительно подгруппл! (, Это отношение есть отношение вквнва. левтностн (п, !2.1-3), так что каждая подгруппа 6, определяет разбиение (классификацию) множества С. Каждое сеойстео, инеаравнтное (п. !2.1.5) по опгиошеиию к 6, \со есем преоброэооиналм оэ С,), присуще есем обьектам к, экоиоалептпь м отпо ип!гее,- но О,. Мноягество (обычно числовых) функций Р, (х), Рэ (х), ..., инварнантных по отво(пению к б„нззызагтся полной системой имвариантов груйпы би если множество знаеннй этих функций олвозпачно определяет класс эквнвалентностй любого данного объекта х нз С.
Примеры групп преобразований: все п)подстановокизп элементов (симметрическая группа степени я)! все и!72 четных подстановок, соответстаующи» четным чпслам транспозиций нз и элементов (знакоперемеиная группа степени и). Любая подстановка счетно~о множества объектов 5 может бмть выражена как проиазеденпе циклических подстановок некоторых подмножеств множества 5 так, что никакие Лва таких цикла не действуют на одни в те же элементы нз 5. 12.2-9. Гомоморфизмы и нзоморфнзмы групп. Представление групп (см. также пп. 12.2-4, 12.2-5 н 14.9.1 — 14.10-7).
(в) Гомсморфнзм нлн нзбмсрфнзм (по Отношению к определяющей операции, п. 12.1-6) псрснодит элементы а, Ь, ... данной группы 6 н элементы и', В', ... некоторой группы 6' твк, что (ад)' а'В', Единица группы 6 переходит н однницу группы 6', обратные элементы переходят н обратные. При каждом гомоморфиэме гру лы 6 ни группу О' миожеслгео эгемеитое группы б, отоброжп тиксл е единицу груп ьг О', гспю пормаеепии делите,ю ОС группа б, а мпоэе"стео эеемелтое, отобража о!никол е праизюмпий эгемепеге группы 6', есть пекотооии сме гний ке сс по бпе фактор-груп а О)СЕ аэоморфна группе 6'.
Нормальный делитель СЕ называетсл ядром гомоиорфнзма. Казсдмй норма опий делатель О, грулпь 0 леглгтсл ядром ео гоморфиэма, пергеодящего 0 о фактор-группу 070,. Класс сек иетоморфоэмое егобой группы 0 образует группу; клас осел преобраэоеа. эий года (3) гру пм с (внутренних автоморфнзмов группы с) еспгь подгруппа группм оюпоморфиэ мое.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
