Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Решать нэоаериыетрнчегную задачу, рассмотренную э качестве прим.рэ э п. ! !.б-з, приближая х (!) э у (!) соотэетстаеицо аогледоээтеэьнэстэы» а, жт и (!) = — '+ гэи (а сээ и -1-ь, э(н и), «=! г а, э„(! — --+ Р (п«соти !.Р Мэ«!) (г=! 2, ), «=! тац что 2а г ! г, аэ, гиг) ! = — 1(и — — э — )ш гг «(а й — ь ц) ( =(,2, ° 2 )( г,|! г а(,) ««) '= ° — .). О «=-! Чтобы зайти максимум интеграла ! прн дополнительном услээнн г 2п 1 Й~ '-Ф1— ~( г!') + ( г!') 1 ш =" .'У', «' ('«э ф ь«э "« -1- Р«) = Я* О «=! применим метод множителей Пэгрэыжэ ээ и. |!.3-4 и найдем Р! 4-2« «и =О, а„-1-2« «Р|,— — О, — ц«+2«,«Ь«-О, — Ь«+вя «а«=О, ) ( « = |, 2, ..., г) 'Г ари г= |, 2, ...
Начиная с «(, получим« = |)2, р~ = — а, а!=ьи г э« — — Ь„ц«Р«О. В этом примере прямой метод дает точное решение а, а, — +а, со!(+ь, ын!, э — „' — ь, сот!-гага(ц (, где аэ + Ьэ яь. ! И.7-2, Метод Релез-Рнтца. В этом методе искомое решение у (х! пытаются рьэем жить э рэд ао полной снстеые функций Чг,. (х) (э (Ь 2-4) так, чтобы приблцжэюшце ф) ници н г а, (х) = ~, ц,! ~Р( (х) ! О удоалегэорэлн ээдээиыы грээншыы углаэнэы Кэк нраээлэ, функции Чг.(х) ортэгоэээьэы, и таким образом, аарэыетры а ! —— - а. не эаэисят от г (и (3.2.4), э тошастч ! тэк же, цак э примере и. ((.т-!. г! ! Метод Релея Ритць окээыээетсэ пале!цыц для численных решений цекоьэрых ээдэч о собстьеиных значения! э теории колебаний а кэаятоэой механике (сы такие и Ш(т) (!.7-3.
приближение э и) полигональиыыэ функцииын. Реэ!ение р(х) можно црцэлэшть полнгоиэльиыин функциями и (х), цэждаэ иэ которых опреаеаэегсэ, нэц»ацер, г своими эиэчецнамэ а = и (г, -1- Ьх), ц =- и (х, -1-234), ..., ц =- и (х -1. гЬх)- т г ' ' га г ' ''" гг г и, (хр — Ьх) В этом случае условия (3) дают дифференциальное ураэиеиие ш, 20.4.3), приближающее урээиение Эйлера (|!.О.2) данной эарэациоэиой задачи 11.Я.
ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ И ПРИНЦИП МАКСИМУМА 11 Я-| Постановка задачи (а) Уравнения состояния, управления н критерий. В задачах управления состояние динамической (механической, электрической, химической и т д. системы характеризуется и переменными состояния (фазовыми переменными) х|(!), хз(!), ..., х„(!), удовлетворяющими а 359 и з зАдлпи ъ«пртвлгн зя р! приппип млксимумл ! (,з-ц !!.з-!. 358 ГН.
П. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ дифференциальным уравнениям первого порядка -1=11(хт, х,, ..., хсй иы иы ..., ил) (ураэясние состояния), (11 8-1) В(- — — ! х! Лэ " л Т переменные состояния — обобщенныс координаты и скорости в мскаипичные никс, электрические токи и напряжения, ковпентрацни в . (!. и! в хкмии (и. 11,8-3); независимая переменная 1 обь)чво является временем. Задача состоит а определении г управляющих переменных (управления) и(,=ил (1) ( = (а=1, 2, ..., г) как функций от 1 а иитеркале !э: 1«.! -, мики- лтзирующих заданный критерий-функционал (критсрий качсстэа) (р х, (1 .)= ) (э(хт, хм ..., х„; и„и,, и ) (, - ) 11,8-2) (э (наприл(ер, цеву, среднеквадратическую ошибку, время достижения пелэ н т, д.) и удовлетворяющих неравенствам О!(и„и„..., иг)(0 (1=1, 2 ", Л)), (11,8-3) й <1.
одре ел д яющим замкнутую область допустимых управлений Возможные ограничения фазовых коордиват (х,,, ..., л] у ут р х,...,х б д ас- смотрены в пп. 11.8-1, д и 11.8-5. Оптимальное управление иэ (1) определяет оптимальную траекторию л;=х;(!) в л.мерном фазовом пространстве, Решение такой задачи управлез ния подходящих граничных условий для определения на- чальных и конечных значений х; (!э), х;(1р)) начальное и конечное время <э, 1, могут быть неизвестными (п. 11.8-1, с).
())) Задача о и т н м а л ь н о г о у и рц а в л е н н я и в а р и а ц и о и н о е исчисление. с. Методы пп. 11.8-2 — 11.8- могут рассматриваться как обоб- щенное вариационно ое исчисление, применяемое для решения важного клзсса задач, поставленных в п, 11.8-1. На языке предыдущих пунктов х; () и ил() является неизвестными переменныыи. Нэоромер, эсе задачи оп и П,б-! — (!.6.1, сэлэакэые с мэкскмэээцкэй элк мээкмк. аэццэй кктегрэлов хр 1 1 Р(Э, (х), Р, (х), ..., Рл («Н Р,' (х), ...Р„(хи к] ах к, лрк соогаэтстэующкк огрэзкч р зкчеэкя«к(клк грэкэ !кык у«ловлях, 4«ормулкруютск кэк э«да«к оптимэлького уорээлэккк, эслк эроиэээстк вам«ау х — (, х«=(ю хр — !Ю ах! „<)=..<О,— -= <'> =««(л) «« ' «и В этол«частном слуэээ тээрик о. к о.
П.а-х приводит к классэчэсккм какоэккэсккм урээгэ. илам л, П,з З; этот подход икогяэ мо«кет укро«тать Каэкую задачу Уравнения состояния (1) являются дифференциальными связямн, перемен- ные р;, определяемые в ые в п. 11.8.2, суть соответствующие множители Лагранжа.
е ыи в и. 11,8-2, Сопряженные ураваеиия и принцип максимуыа введенный в и. о разуют не б обходимые (но не достаточные) условия для оптимальных иа, х; и в существенном эквивалентны ураннению юйлера (11. - ), у .6-4 вместе с сло- вием В ) 0 (и. 11.6-10), когда последние применимы, П сим ма устанавливает условия оптимизации в элегантной, ринцип максиму, е иссле ова- удобной и наиболее общей форме, позволяющей непосредственное исследо йие систем с разрывными управлениями (п.
11.8-3). (с) Многообразия начальных и конечных состояний Во многих задачах управления вместо задания начального момента времени !э и начальных аначений хг(1„), хэ (1,), „., х„ (1,) указывается, что начальное состояние (х, (1,), х, (1э),, ..,хл (1эЦ пренадлежит (л — нэ)-черному л(ногоо5ри)о)о иачалэкых состояиий (гиперповерхность, линия йли точка в пространстве со- сгояиий), задаваеыому уравнениями Ву(х((!), хэ(!), ..., хэ(!))=-0 (1=1, 2, ...,паап). (11.8-4а) 1(опе шое состоиние (х! (1!), х, (!Г), ..., хл (!!)] аналогичным обРззом пРннадлс)кнт (и — пк).м 1ьоыУ мкогоозРази)о конщкых соалолний В (х,(!), хэ(!), ..., хл(1))=0 (1=1, 2,..., пр~. п) (!!.8-4(«) В дополнение могут быть даны ограниченна-неравенства, определяющие соогветству)ощие области в каждом ыаогоо>разин (4).
Заметки, что зэжлоэ эерэээкстэо б [.«(!), х <О..., хл Щ) щ О, П! 6-6) содержащее, кэкркэ«эр, «оээ тыэ состоккик эчутээ данной л-меркой области о « о, о ласти оро«трак- «т«э сэстоэкэй, э су!цэстээккои экэээалектко «оотээтстэу!ощэму ограничениюравенству, тэк кэк кэждэк траектория, ээодэк(эк э область «оээчкык со«толкай,, олжээ эе грэккцу, (д) Непрерывность, дифференцируемость и условия не з а в и си мости (см.
также п, 11.5.2). Если не оговорено противное, то относительно хи иэ и 1 предполагается: 1. Даввые функции 1э, 1(, ..., (л непрерывно дифференцируемы по переменным состояния х! и непрерывны относительно переменвых >правлсвия иа. 2. Ф>'акции <)! непрерывно дифференцируемы и имеют ненулевые градиенть(. 3, лэ функцив В,. и лр функций В определяющее многообразия начальных и конечных состоявнй, йепрерывно диффзренцируемы; их функциональная независимость выражается в том, что ранги ' (и. 13.2-7) матриц (дВ.(дх! (! )] и (дб./дх! (!!)] соответственно раппы "о" пу Все допустимые упраэления и(, (!) ирииадлежат классу функций с ограниченной эариацигй иа интероалг (1, 1р) (односторонние цргдслы сущестзую)и почти всюду; п. 4,4-8) и кусочно-кглргрыако диффгренцирусмы там, гдг они кгиргрэ(эны.
Соответствующие х, (1) кусочно.непрерывно дифференцирусмы. Возможны менее ограничительные предположения, однако результирующие теоремы становятся более громоздкими. (е) Обо бще в н я (см тзкжс пп. 11.8 4 и 11.8 5). Оптимизационном методы, езгд«киме э пп, 11.8-1 — 11.8-5, л(огул! быть применены к более общлл! зад!чали Ь чэстэостэ, !. Еслк одкэ клк ээсколько данных фуэкцкй 1! О, о, Ч" явно ээээскт от ээээакскэю( й пер«меккой! («кэээтокомэыс» «к«темы), то мэжэо свести задачу к более эрос«ой 1' Р 1 лэсрэл«твом введения новой ээрэмэээой состояния ! = х , длк которой лет ихл )! а! =:(лл!' «лэл(э) =(э хлл! ((р) =(р.
И! 6-6) Этот эщ соособ оримеэии к э саул«як, когда кекотэрые В. клк а э«лисят како соотаэтстэ«кко от ! к ! и 1 л З. Гскэ зэдэкы кэпрэрызцо лкафэрекцвруемыэ огракк«екал-равенства, сояержэ!цкэ пэремэккые со«толком о«(х, к, „., х„) = о (П.в.у) (! 1,3,„, т) 1!.8-2. П 8 ЗАДАЧИ УПРАВЛГИИЯ И ПРИПЦИП МАКСИМУМА 361 п.а-т. 860 ГЛ П.
МАКСИМУМЫ И МИПИМУМЫ (И.8.8] приводится к простейшей 4юрие (2), если ввести и, и,..., и ) =рфй у) — й(!,), /э( г лт' ''" хл' и1' т' ''" г гдэ л Кч ай 8 88 — й (х и), к У), .. хл(б) ~ (П.я.ы) (см. также п. П.6-6) переменные и янно вани«ят от неремеи- 4. Если огр аниченпп (4) пэ упраьляющие пер !=л ), то эту ээнисиыость обычно можно ныл сос таяния х (включа», возможно, !=лп,), то эту ! . яюц их по сменных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
