Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 79
Текст из файла (страница 79)
-Й:;-- ~.. = !!.з-з. Иб. ЭКСГРЕМЛЛИ КЛК РЕЕ)ЕНИЯ ЛИФФЕРЕНЦ, УРЛВНЕНИИ В каждом случае угловые уславня дополняют заданные грани>ные условия для нахождения углпвых точек. В случае граничного (одностороннего) экстремума, показанного на рис. 11,6-1, д, зкстргмул> лшжет дгстигат с«лиш> на кривых, жтгхщих иэ дуг »штрема.>гй и >п>тг>1 гранины ук зап вй гьиаг вб.
а ти. лаичгм в > тка«лерг тдп зкгтремалгй ка границу вки имеют вои!ую касательную (см. также п. 11.5-5), 1р 3 а и е ч а н н е, В частном случае 1 = ) 0 («, у, х) дз, дш = ум+ ду'+д«Е угла- 1 гые условия саответству>от законам отоаження и преломления в оптике, если 0 (х, у, «) внтерпретнровать кгк величину, обратную скорости распространения света.
Рвс. 11.6.1. Экстремали с угловыми точками. а) Две бесконечяыс последовательности кусочно-линейных зкстремалей мипнмнзпру юг 2 1= > (1 — у И р ил, р (О> - О, р (2> = !. 0 Уравнение Эйлера — Лагранжа определяет семейство экстремалей Р = ах + Ь, где а и Ь находится из граничных условий я условнй Вейерштрасса — Эрдмана, откуда следует, что а равно лнбо О, либо !. Заметим, что д»у — = ! 2 ум — 12у' .(- 2 дуы д'р не может обращаться в нуль нг (О, 2) и —,> О каждой мпанмизвруюшей экстреиали, ду» Э»мстим также, что пе существует гладкой экстремали, доставляющей наименьшее зна'илие 1.
Ц Прелом«в>3>>е зкстремвлей г) Ограженне экстрснвлей от гранвчной лапин. д) Экстреиаль, частично совпадающая с граничной ливней. 1!.6-в. канонические уравнения и уравнение Гамильтона — якоби. (а) и уравнений Эйлера (4), соотеетстзующвх вариационной зддаче п, 11.6-1, Ь, энея валентин 2а уравнениям первого порядка У' —, Р' — —. 1=1,2,...
и дН . дн (Н.б-)ба> др(' ду(' !!.6-9. 354 ГЛ. Н, МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ опиюательно 2а функций д( н р! =де|эра> где Н (д,, д,, ..., д„: р,, р,, - ° р„: х) ям п 1=1 1 бс! (Е !' а) О ) (Н.6-236) д)У У(=— дР; 66 Предполагая, что минимум хр Пан! = т>П ) Е Ш, 1, ..., д; д', дм „,, д'; Х) дХ =— д (х), д (х)...,, д (х) х в "'' и е (" д ('о) дв(з» - д ('о): ( Е» д ("Е) - дл(х )) =5[х,д (х),д (х),...,дл(хв)) 5(Х, Ут, У,..., У„) определяет единственную вкстремвчь прн фиксированных хр д (хд) н псременвы.с « = Х, д (к ) = У-(1=.1, 2, ..., а), функция 5 (Х, У, У, ..., У„) удовлетворяет уравнению в честных производных первого порядка дэ, дэ дэ д5 дх ' 1' в'"'' и' дУ1' дУ,' "'' дУ„' -+Н»У, У,..., У; —, —, „., —; Х)-О (11.6-26) (дра»искал Гамильа!апа — Якоби).
Обыкковеллллые дифференциальные уравнения (26а> являются уравненнямн характеристик вля (>6> (см твкк с п. 19 2-1). 11.6-9. Варкацнонные задачи в случае нескольких независимых переменных: максимумы в минимумы кратных иитегрвлов. Часто требуется найти систему и функций у, (х„хю ..., хт), у,(х„хв, ..., хт), ..., У„(хт, хх, ..., Хт) от т независимых перемеввых х„хв, ..., х, реализующую макснмум илн минимум кратного интеграла 1 = ) ) ... ) Р дх, дх ... дх . У Е да ая функция и-1-т+тп переменных уи хз к Уцй выду(>дхз. Прк атом граница 5 области интегрирования У в грапнчпыс значения фуякцкй у! могут быть как заданы, так к ве заданы.
Предполагается, что функции у! выбираются среди множества всех функций, имеющпх в )У непрерывные вто. рые частные производные (см. также п. 11,5-2). Если подынтегральпая фупкцня р является достаточно гладкой, то каждая система функций уз, ую ..., у„, реалиэуюи(ая максимум или минимум (контактные преобразования, см. также п 10.2.6 в 10.2-1). Система (П.6.23 а) нсзывзетсч хакана«еской системой дра»ксний Эйлера нлн кратко каноническими Л»раси«на»и»с!. Заметим, что доловив транш»реальности (13) (Ы), (!6) и дглалмс дало»»»»» !23), Ю1) зна«итсмно дпрощаютсл введением Фдикпий р,. н й. В класснческой дкнвл(нке канонически сопряженные вла прнсоедкнекные переменные р,.
интерпретируются как обобщенные момеаты, а гамнльтоновв функция Н имеет размерность ввергни. В пп. 11,6-1 — П.в-б, в связи с теорней упрввлення, звдвчн вариационно«о исчисления перефориулнроввны в терминах канонических уравнений. Иногда можно упростить реюеяне задачи введением 2л+ 1 новых перемеонысс У(,Р1 !! 91 Уз " Ул Рт Рт " ра х) посредством лаками иски« арсабразаланий (и. !6.2-6), нз которых следуют новые канонические уравнения Р!( —— — — — (1 = 1, 2, ..., а). дк ду! 11.6-!О. П.6. ЭКСТРЕМАЛИ КАК РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНП, УРАВНЕНИИ 355 иктсгрола (18), должки удовлетворять систсл!е уравнений с частными произвад..ы!>и »к Чп д ! ОЕ) др — — — — =0 (1=1, 2, ..., и) (11.6-28> Л 1 и кодл >сап(им граничным условиям.
Для ре>пения вариационпых задач с урав- нениями связи примет(и ме!од множителей Лагранжа, опнса!шый в пп. 11.6-2 п !1.6-3. Рл з»~ граничные значения одной ялн нескольких нснзвестных фуакцай д не заданы, то слс. >ст с помодью условия Ш = О получить естеств«акис «рана«ныл дело»ах, анвло. и!~сые уравнтлням (13). Пусть, нвпрнмер, в случае лвух независимых переменных х, », границ» 5 есть регулярная замкнутая кривая, задаваемая урввневнями х = х (л), 1 1 л =х„(з>, где з — длннв дугн.
Тогда естественныс граничные условия амеют ви д дЕ йх, дд' йх, д— — ' — — й*--О (1=1, 2,..., л). ( П .6-29) и р н м е р. мвлмс сно»!ения струны кланы с могут быть описаны Функцией д (х, !> воороп!вты х, измеряемой вдоль струны, н врелленн !. Кннетнческвя к потенцвальнвя знергнн есе,'! струпы соответственно рвань» ь !. т Г л и г,« т = — Г)длдх. и---) ' дх, 2)лх О О где т — масса единицы длины, в 0 — натан!ение струны.
чтобы анте вд !Е !Е 1. ~ (т — и> он -1- ~ ~ (тд' « — ид' ) й т !л !л О имел минимум (принцип Гамильтона), должно выполнятьсв соотноюевве (Н дхх и явля!ощееся уравнением колебаний струны к11.6-10. Достаточные условия для максимума н мпвнмума в простейшей задаче. Пусть функция у=у(х) ф = р) (11.6.30) яздяется зкстремалью интеграла ! = ) Е(х, у, у') дх .«« (11.6-31) црп зздаявых хе, ХЕ к у (х )=у, у (х ) — у Дифференциальное ураввепие второго порядка — (Рд,д,з)+(- — Г „, — Едд) 2=0, где вместо у в у' подставлены вх выражения из (30), называется уравнением Якоби.
Если су!цсствувт рви»скис уравкекия Якоби, равное кулю при х=хе и не одра!ца!ащсссяв нулв при хою.х- хел то говорят, что вкстремаль (30) удоалеглворяст условию Якоби. Геометрически зто означает, что существует одиопараметрпческое семейство зкстремалей, включающее данную зкстремалзч выходящих из точкп 12" (!.т !. 356 ГЛ Н, .МАКСИМУМЫ И М)(Н(4МУМЪ| ! (. ч- (, И З ЗАДАЧИ УПРАВЧСН |Я И ПРИНЦИП МАКСИМУМА (хэ Уэ) и не пеРесекающикси пРи хэ ц.х(хр,— поле зкстРемалей с центРом в точке (хэ, у ).
Если для экстрсмали (30) услоаиг Якоби аыполнястсл и фуюсция Е(х, У, У', Р) Е(х, У, У') — Р(х, У, Р) — (У' — Р)РР,(х, У, Р) (11.6-33) (функция Всйсрштрасса) неположительна зо есгх точках (х, у), близких к тачким экстремизм у=у(х), и при значениях у', близких к р=ду)йх на той же экгтргмали, то эта экстргмаль реализует слабый максимум интеграла (31).
Это, в частности, выполняется, если вдоль выбранной чкстремали р„,„, (О (усиленное условие Лежандра) (11.6-34) Если экстремаль удоглетзоряет дслазию Якоби и функция Е неположитгльн~ при всех (х, у], близких к точкам экстргмали, и при всех у', то элю зкстргмаль реализует сильный максимум. Достаточное условие мивнмума получается при выполнении неравенства Е == 0 (соответственно р„,„, ) 0).
Достаточные условии экстреыума в многомерном случае приведены в (11.12), (!1.!3).44 11.7. РЕШЕНИЕ ВАРИАПИОННЫХ ЗАДАЧ ПРЯМЫМИ МЕТОДАМИ 11.7-1. Прямые методы. В каждом из так называемых прямых методов нахождения максимума или минимума данного определенного интеграла хр 1= ) р (у(х), у' (х), х) дх (!1,7-1) хь искомую функцию у функцию у (х) пытаются приблизить последовательностью функций ), (х), ..., вйбираемык так, чтобы все они удовлетворяли граничн а чым и! (х), иэ(х), ..., в жна быть иффе- услови м, н, йаложенвым на у(х), Каждая функция иг(х) должна ) д,фф, а, ..., а .
Последние ренцируемой фуницией от х и г параметров аги а „ ..., опреде п деляются так, чтобы они давали максимум нли минимум функции «р 1,(а,„а„,, а„)=: ) р!и,(х), и,'(х), х)дх, (11.7-2) х, т, е. уяовлетворялн уравнениям — г = 0 (! = 1, 2, ..., г; г =- 1, 2, ...) за,.
(см. п. 11.3-3, а). эг а едела Для кахсдой функции у(х), нохучгнной таким путем з качгстэг арг ела последовательности приближающих функций и,(х), из(х), ..., требуется еще доказать, чта оаа дгйспыилюльна реализует миксия(ум или минимум т|редг. Аналогичными методами можно решать вариационные задачи и в случае нескольких неизвестных ункц " естных функций (и, 11.6.1, Ь) и(илн нескольких независимых переменных (и. 11.6-9). Если заданы уравнении связи (пп.
!1.6-2 н 1!.6-3), то им подчиняют каждую приближающу(ося функцию; максимумы и минимумы при ближающих интегралов можно тогда находить с помощью метода множителей Лагравжа нз п. 11.3-4 (см. пример). Прямые методы могут давать числовые приближения и(или точные решения. Так как при условиях, перечисленных в и, 11.5-2, решения варнацвон- задач долг(ны удовлетворять дифференциальным уравнени „ щвм условие 61=0, то каждый прямой метод решения зариационной зада!и яяляслиш также приближгнлым методом рааения дифдггргнциальных уразы* ьий. и р ц и е р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
