Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Условные вкстремумы. Метод множителей Лагранжа Требуется найти систему фуикпий у, (х), у (х),, у„(х), реализующую максимум иви минимум определенного интеграла (3) н, кроме того, подчиняющуюся та. и достаточно гладким дополнительно!м условиям или уравнениям связи 9)!(Ув Уг " Ул' х) =0 ((=1, 2, ...; т(л). (11.6-5) Если невозможно непосредственно исключить т из и переменных ун воспользовавшись соотношениями (5), го искомую систему функпий у( (х), у. (х), ..., У„(х) получают как решение системы дифферсвцпальных уравнений (уравлгйий Эйлера) «76Ф( «Ф «х«.'/ От; подчиненное условиям (5), где Ф гшР+ ~~ )в((х) (р!.
(11.6-1) Неизвестные функпии Х((х) называются множителями Лагранжа (см. тинже п. Н.3-4). Если задача имеет решение, то л+т функций у; и л! определя- гяе с, и с — константы. Так кан — = —, то кривая должна лежать в вертикальной «у с, в «г с,' плоскости. которая, если Задать граничные условия ются из и+гп уравнений (6) и (5) и из заданных граничных условий. Лиф«всренциальпые уравнения (6) являются необходимыми, ао не досгаточными )словиями максиму!!а нли минимума.
(1етод мномвнтелей Лагргнжа ыожао применять н случае достаточно гладких все лс юлньх условий анде вр (Р„ув,.. Рл; и, У, „,, Р„; х).=О «=1, 2 (11.6..6) 11,6-3. Изопериметрические задача. В иэопсри.чгтричсгкой задаче требуется найти систему функций у, (х), у,(х), ..., У„(х), резлизующую максимум пли минимум опредсленаого интеграла (3) и подчиняющуюся условиям г Фш.р+ ~", Нара. !в =-.. 1 г иножителей Литра н)кз ра являются лостоянныл!и и их вместе с л пензы стиымн функциями у((х) находят из г+и уравнений (9) и (6) и виданных граничаых условий. (11.6-10) П р и м е р, плаща!в, плоской обла тн, ограниченное кривой х = х (!), р.=- р (!), в.о, ио найти с помощь:о Формулв 2п «р «хй) тле ! — подходящем образом выбранный параметр Чтобл найти мы сввмум нлещадн ! при дополнительном условии 2п ~ [(''у)'+(~6" =' о глс Я вЂ” отличная ох нуля постоянаая, положим Ф= — (х — — р — )+П~( —.) +( — ) ь ! аененнн эйлера (6) имеют енд «х «'и — +Ш.
—,-= — О. т (П гу «вх — — '-т2П вЂ”;=О, ш ' «' Э,данное дополнетельное условие н зги уравнения удонлетаориютсв при 1 тли х =-. Я сов —,— + хь у =- — Я а(п — -). ув, гпе П =- 2И ' ' 2П =17 2 т е искомаа кривая есть окружность радиуса Я (см. также и. 11.7-1) 3 а м е ч а н в е. чтосы найтн максимум нл» мпапв:тм негеграла (3) педнвненного т савва!!нательным условиям вб) н г условием (9), пользуютсв уравиениамн (б), г),е вн Г,-) Х !'вжа. й=! л !. ) врй(уы уг, ..., Угд у'„у',„..., у,',; х) их=се (А=1, 2, ..., г), (1!.6-9) где сй — заданные постоянные.
Есля функции йгй достаточно гладкие, то при. копим метод множителей Лагранжа: неи:впестные функции у; (х), подчиненные условиям (9), должны удовлетворя гь спет(не дифференциальных уравнений (6), где в зтоы случае ы.в-е. Н.б экстремалы кдк решения дибсьеренц. у Авншгип 351 1(.б-(, ГЛ. И. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ 11.6-4. Решение варнациоиных задач в случае, когда подынтегральная функция содерх(нт производные высших порядков. Чтобы найти максимум илп минимум определенных интегралов вида ху У = ] Р (Ут Р, " Р„) Р! Рз " т Р'„' Р(", Уз, ..., Р„"; ...; х) с[х, (11.6-11) л'о можно все производные выше первого порядка ввести в качестве новых незз- ВИСИМЫХ ПЕРЕЫЕПНЫХ, СВЯЗаВ ИХ ДРУГ С ДРУГОМ И С Р УСЛОВИЯМИ Р("=:С(рнс((Х, р(" — — ((р(!"/с(х, ...
В результате необходимые условия максимума н минимума интеграла (14) принимают вид дд, вх ( дд!') вхг !(ди!") вхг (ди;") прв этом предполагается, что подыитегральная функции является достаточно гладкой, Для того чтобы решить задачу полностью, следует еще задать граничные значения всех производных до (и†1)-го порядка включительно ка!кдой нз функций р(, входящих в Р. 11.6-6. Вариацнонные задачи с неизвестными граничными значениями и неизвестными пределамн интегрированна.
(а) Д а н ы н р е д е л ы и н т е г р и р о в а н н я, н е и з в е с т н ы г р а. нич ные значения. Чтобы найти максимум или минимум определенного интеграла (3) в случае, когда одно или несколько граничных значений р((х,) н/или р,. (х!) не заданы и не связаны какими-либо условиямн (см. п. 11.6-5с), каждое отсутствующее условие заменяется соответствующим егглесгпввнмым граничным !хловигм ду =0 (х=х и[или х=ху). (11. 6-1 3) дд, (х=ху) Общее число условий по-прежнему равно 2п н позволяет найти 2п произвольных постоянных, содержащихся в общем решении уравнений Эйлера. (Ь) Даны граничные значения, неизвестны пределы и н т е г р н р о в а н н я.
Если один из пределов интегрирования, например, хя, не дан, но граничные значения р, (хР) даны, то экстремаль р, (х) должна удовлетворять соотношению ' — '", р„— Р=О (11.6-14) ддв Е=( (с) Общее условие трансверсальности. с1зстоодиннзпределов интегрирования, например, х и/или одно илн несколько значений у((х ) не даны явно, но известно, что стачка» [х),, р (х,), р (ху), „,, у„(хР)] удовлетворяет л непрерывно диффсренцируемым соотношениям 6 [х; ут(х), ..., р„(х)]=0 ([=-1, 2, ..., л,~п]. (11.6-15) Предел интегрирования хР н неизвестные функции р (х), ..., р„(х), макснмизнрующие или ыинимизирующие интеграл (3), удовлетворяют уравнениям Эйлера (4), граничным условиям (15) н условиям трпмсвврсальмасшы. дР Ъ~ дп( —,+ б Л вЂ” =0 (х=ху) ди; 2И l ди! !' 1 для каждого значения у,.
(хг), не заданного явно, н сслп хр неизвестно. Лу суть л множителей Лагранжа, подлежащие определен(но вместе с и+1 йеизвестныын р (хР) и/илн х из и+и,+1 соотноше- Р ш:й (15) и (16). Заметим, что ураввения (13) и (14) являются частными случаями уравненш) (16а) и (16Ь). В простейшем частном случае л=! н 0(х, р)=р — !р(х)=0 условие рьвсверсальностп имеет вид Р (х, Ьт у') -[-[ср' (х) — у'] Р , (х, р, р').= 0 (х = ху).
(б) Лналогичпые методы используются в случае, когда заданы не все граничные условия, соответствующие х.=хо. Мннимн»править интеграл (О, г(0!Ш = [В(х, и, г) о1, где (х„, до, г ) н (ху, УР, гу) лехсвт пе двУх подходав!их (выпУгслых) непсРесеквющихсЯ регулярных поверхностях В„п ВР, определенных уравнениями Вб (х, У, М = б, ВР (х, д, г) О, Здесь условия трепсвсрсзльностп вне!от внд (! =( ), (1 = (Р), т. е, вкстремаль пересекает паверхиоств В н ВР артогонвльна.
Если, в яастиастн, В (х, д, г) = — 1, то 1 есть рвсстонние между павсрхностямн и ысстремвль есть прям»я. Суп(ествоввине мвннмумв вввисвт ат специальных свойств (выпукло та) денных пс верхностей. 11,б-б. Задачи польце и Мейере. Функцпонвл вида ху ,1= ) Р[у (х), и (х), ..., и (х); и)(х), из(х),,... уа (с); х] ах+ + а [и (ху), и„(х(), .„, ил (ху); ху] (!1б.!7) «оторма мвксимн»нрустсн нл некотором классе функций и. (х) (хадаыа Балы!а), удовлетваряюсцих заданным грвиячным условиям (1б), может быть»вписан в виде '= ) (Р+и.+1)'" хв (П.б-1З) Пример. !Р !.= [ В[хйь д 1, с и пс Ъ~ ду [ Ъ1 до ддь д~~б г дх —,р' — Р— ~ Л вЂ” =0 (х х ) (11.6-16Ь) Р, Л=( .
/.=1 - ~ в (х (О, и(0, г рй]/ [;"-";)'+ [-,"-)~'+ [--;-)' ш (с дВ,, дн,, дВ, Вх, Ви. сй [ дх ' дд ' д: в( ву в! [ дВР днд , длг дх ' дд ' дг 1(ш-т, гл, и, млксимумы и минимумы ЗВЗ 352 к-т дй ° дй ил+1= ~и В„У)*+де й=! (11.6-13) (кз х «р) г) (О (Г, .(г'г) где посгознвав Л вЂ” л>пожнтель Лагранжа. 1'д Г Керн и у, Кори где Ул ( ! — дополнительиаа ФУнкциЯ, УдовлетвоРЯюп!э д фф Р я яффе енциальиочу уравне- нию-связи в граничным условиям Уя+1 («е) = о Ул+ ! ("Р) = й !рз («Р), Уз («Р) " Р ( )! Р)! х к , (11.6-20) у авлетворяют уравпенпям Эйлера для интеграла ( ), 18, составленным с учетом налаженных связей (см. п !1.6.2>.
диалог«чная процедура используется, еслп д слп ополян- тельио даны условия, связывающие граничные зиачеияя на ноице х = х». Если у.(х) удовлетворяет заданным дифбереицавльиын связям, но апичная ф. кцвя й, та такая задача иазы- мииимизнруется или максимнзнруется толька гр ф., ж- ваетсп задачей Майера, которая будет рассмотрена в пп. 11 1 — ., п емали. От «жение, преломление и ояностаронние экстремуэгы. ,6-1.
Ломаные эистремали. Отражение, прело ф акции р(г) или у. (к), максимизиру>ащяе нан минимизирующие класс ' иеп е ывиы«функций, рвл л (3) в и (3), могут предполагаться приявдлежащимн у р р . 11.5-2 . обладающпх кусочно-венрермвиой произнадной (и. 1 .
- ). , таких, что — „=0 пли матрица Они могут иметь Рглавие тачки для значений х, та д»р — — полуопределеняая для некоторых у, Р плп ут, Рв. -. Ря ап, ....,у:у.у,-,уп ду( ду(, ~ илн же когда р имеет разрывы (п. Н.6-1 н 13 5-2). Угловые точни, в частности, могут встречаться: как это наказано иа 1.
Лля некоторых х на интервале эпачеипй к, как это ао рпс. !!.6-1, а. 2. Нв ириной, поверхности, гиперповерхиостп 5(к, у)=0 илн 5(х; у„, у...,, у„) О, (11.6-21) пересекаемых зкстремалямн (»ареломлеяпе» Ре. энст малей, Рис. 11.6-1, Ь). 3. Н г грзявце некоторой области, из которой экстремали нск средством ограничений-неравенств 5(х,р) 0 пли 5(х;Р,Р,...,Р) 0 (11,6-22) В каждой твабад»ой» угловой точке [х, у («И или [х; р (рис. 11.6-1, с и д). или [х; (х), Р (х)...,, р (х )] (см.
Рнс, 11.6-1, а, но не, с. ) зкс в Ь, . д> тр Лали до«жкы удовлетворять ваап>ношениям 0> = Ру' («1+ 0> [Рру У)х «> — 0 = ( ру >!«= «г+ У 1 У '(« — 0>=Р ° (х +0), 1=1, 2,..., л, Р( 1 у1 1 (1!.6.23> у — р (условия Векерштаигса — Эрдмана>, ) Разбор прямеров, соответствующ р пх ис. 11.6-1, а — д, см. [9.3). В случае отражения (рвс !1.6-1, Ь) и преломлшшв рж. поверхность плв гвперповерхиасть, опред ур пр амежуточиымн грвнпцани, в тачках пересечения с котармын зхстре. летварять угловым условиям (дб ( д5 1,х.—:.--1...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
