Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 87

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 87)

(Ь) ПослеДовательность точек хз, х), хю ...метРического пРостРаистна С скодктся к пределу а !ы С, если Ы(хн, а) О при и- со (см. также п. !4.2.7). Если переменная тачка х(з) прастрвнствв С является функцией дейстсвтельнага пепеменнага Ь та гаварят, чта функцня г(1) сходится в пределу а -' С прн 1 и, е лн ![в(йк а) о прн $ а. Фуикс(нн к'=1(х), связывающая тачки г мелрнчеснага прассрвиствв СА! и тачки к' метрического прастранствв С)И, непрерывна з точке а с С,и если б [1 (г), 1 (а)1 О прп д (г, а) О 12.5-4см Метрические пространства со специальными сиойстиамя. Теарка точечных множеств (а) Метрическое простраистэо С называется: полнызс, если любая последонательность х,, хз, ... точек пространстна С, для которой Нгп с( (х н хн) =-О (последоиатедьность сп аэ и са Коши, фундаыеитальнач последовательность), сходится к некоторой точке из С (см. также пп.

4.9-1, а, 4.9-2, а, 4.9.8, а, 14.2-7 и 15,2-2); компактным, если любач бесконечная последоэательность точек ПРОСтРаНСтВа С СОДЕРжИт ПОДПОСЛЕДОИатЕЛЬНОСт(н СХОДЯЩУЮСЯ К ИЕКО- торой точке из С. Компактное метрическое простраистзо назынается также компактом (см. п, 12.5.1, Ь); нполие ограниченным, если для любого 6 ) О прострапстзо С есть объединение конечного числа открытык шаров радиуса 6; локальна компактным, если у каждой его точки есть окрестиостсч замыкание (п.

12.5-1, Ь) которой компактно. Мнсжсствс 5 в пслнвм метривгсвви прастранстве С ввлвгпьсв натам метрическим паднрастранствсм С (сн. также и. !2.5-1, в) в тсм и пьсльва в тсм случае, гсл«5 замените. Дгн того чпюбы м тричгснсг пасс паанствв С была всмпвктна, н вбгсдимв и дю статвннв, чтабы аиа было палным н нпалне агрвничснным, а длн того впюбм вна бы.ю гпв.знг вграниннным, нгсбхсдимв и датпаьпавнс, чтобы лкасс бсввнгвнаг гт псдмнсжсс юс садсажалс пссждсьа лгльнасспв Каши. аснввв вснгвнвмсрнсг нсрмирввсннвг првтпрансвюс ввгвгтсв сгпарабсльныль и пслнюм (см также п.

14 2 т). Любав эзмьнутый шар в нем вамнактгн, и патвму таксе прсстраиства гека н на гвлтакп|нв (ю павятия, введенные в пп. 12.5-2 — !2.5.4, в, дзют удабиую термнналагню длн мнагих эвдвч, «всаьащнхсн приблнженпя праизвальиага элемента х падхадящега лл,ссэ С последовательностью элемснтап хю хь хз,, нз С. В твнвз случзях д (хп, к) нзмеряет паграинссть приближении. !1 р н м е р ы.

Вэжпые прнлаження имеет приближение функции 1(О паследазатвлтьастью функций с, (с), г, (О, в, (О, ... (частичные суммы бесканечнага ряда). если дэна прастрввстза С сьувкций 1(О, г (1), ..., непрерывных в интервале а (1 < 1, та можно нспальзазвть метрики: д, (1, г) = |пах (1(Π— 6(О,' 0(!() (гш иимальнал пагссишаспю — ведет к определению разная, рвай схвдилюсьпи, и. 4,4.4И 1 й (1 д= () /(т) г(ъ) !здт о (срсднвв кгадравшвгсван погрешность — ведет н апределенню сгвдимасти в срвднгм с покаввтелем 2 н к приблнж*ниям па методу наимсныиих ввадратсв) н другие. С тапаласней, апределяемай метрикой д,(1, г), С есть наливе н сепзрвбельнае пространство; счетйае мнажества 5 мнагачленав с рвцнанвльиыми каэффнцнентвмп всюду платно в С н годится, таким образом, для приближений (см, также и. 4.2-3).

12.5.5. 125 ТОПОЛОГН41ЕСКНВ ПРОСТРАНСТВА 381 12.5.1. ч ног знг- ннс Оппелелсгис Расстояние Замечания 11 Действительные функции, определенные на ~ [о, !) Непрерывные дсйс ген тельные функции, апре деленные на [О, 1) С !О, 1) Полное: сспара- бельное (и 4 7-зн равно- мерная сходи. масть гир хн) — а(»( 0<1<! Камплск ные функ~(ни, для которых интеграл Ь 1 ! х ГО (* ю су~пес.гвугт в смысле Лсбега (и 4 6.)Л с о ~ ~ х к) — и (» л ю~ а Таблица 125.! 1." (сг, Ь) Полные (п 1г 2 г) сепг ребельные, даже кжда интервал (а, Ы нс ограничен, сходпность в среднем Комплексные функция, для которых интеграл Ь ) ~гц)(рщ сугцестнует в смысле Лебега (р = — 1, 2..) с о )!гр « И) — и (» 1 дг а Комплексные функции.

для которых суа(ествуес предел Полное, ве сепа- рабельвое с 742 — и И) и Ж 1(т — х ! Г и ю 772 х ) (х (» (*йг, — 712 причем интегралы пони. маются в смысле Лебега ') Ь) н йв являются нс сами функции, входят функции, совпадаююне почтй ГЛ. 12 СОВРЕМЕННАЯ [АБСТРАКТНАЯ) АЛГЕБРА (с) Компактное метрическое нрытраистга биса,наагтна (с.. п.. -, ), и.. !2.5-1, ЬЧ В любам гамгахтнам метрическам прастранстгг Сг 1) гжхаг бггханггнаг множество имеет ла храингй мерв адни лредгггнию амчхр; 2) гели 3 — лраизгажнж замкнутое множество и А — пргиггальиаг семейм жесте арастра стга С, абьединехие кагпарих содержит Б е (покрытие ггнажгстга Б).

ню ежг пекет раг хансена. числа мнажестг иге мейслгза А обраэ(ггг лахрмтаг мнажггтга Б Вслхог ограни ихное заг гюгтае падмнажгстго егкладага пространства компактна. Поэтому теоремы и ', чз 1 2, в частности, применимы к ограниченным замкнутым миожее вам в в х- ит ехствам действительных н комплексных чисел и к таким же множества д у - р ме вом евклидова про и странстве Они гсазываются в этом случае соотвгтственпо тео.

рамой Бгтцаиа — гйгргиг " Б В " прасса и аыаргмай Гейне — Барггя а гыдггснии ганг и г л сраипия. 12.5-5. Приыерыг простракства числовых посяедовательностей и функций. Понятия, введенные в пп. 12.5-2 — 12.5-4, обеспечивают четкую и стимулирую. щую терминологию для многих задач, касающихся приближения произвольного элемента подходящего класса С некоторой последовательностью элементов х(, хз, ...

из С. В таком случае расстояние с[(х„, х) измеряет погрмтимоепи приближения илн степень того, насколько система, характеризуемая последовательностью х,, х,, ..., отклоняется от требуемого результата х. В таблицах 12.5-1 и 12.5-2 приведено нссколы(о примеров топологических пространств. Особенно важные приложения касаются приближения некоторол (функции 1(1) последовательностью функций в, (1), я, (1), „., являющейся, например, последовательностью частичных сумм каиого-либо бесконечного Некоторые пространства числовмх последовательностей ивы ("1, ьсз ° .

) У = — (Чт Чт "") Табчнца 1252 Неиоторые простракства фуннций х (Г), у (Г) гсм также пп. !4.2-7, 15.2-2 и 10.10-9; определения легко распространяю. я на функции двух или более переменных) Метрики ие существует )апология аареде. лястсн поточсчпой сходимогпью ') ТОчками пространств С (а, Ь), Бр (а, г классы функций; в каждый такой класс З ЮДУ (сы п 4 5.14, Ьь 382 Гл. 12. сОВременнАя (АнстрдктнАЕ) АлГВБРА а.б-О.

12.5-0. Теорема Банаха о сжатых отображениях и последовательные приближения. Пусть х'=[(х) — любог отображсниг замкнутого множгства о полного меупричгского прост раиспша С з сгбя, удоэлгпшоряющгг для ссгх х, у из услаги)о у[[(к). 1(у))»ай(х, у), (12.52) гдг а — искал»орое л ое положительное число, пеньи гг, чгм единица (солса)пог ото- Т гда мкожгслыо Е содержит гдикствгииую неподвижную точку бражгкиг»). ' ог а мк, в х) отображения У', для которой [ (х)) = ху. (12.5-3) Кроме пюго, р К . г, си!скис х уравнения (3) является пределом осиной послсдоватсльт' ности точек хльт=?(хл) [и=, 1, л»1= л =О,, 2...,) (12.5-4) для произвольной начальной точки х, из Е. Скорость скодимостн приближаю. щей последовательности оценивается по формуле й(х„, х))» — й(хт, хо) (п=О, 1, 2, ...). (12.5-5) Теорема Банаха (принцип сжатых отображений) служит ьощным методом установления сходииости в обширной области применения аппарата прнблнжейпй (пп.

20.2-1, 20.2-6 и 20.3-5). 12.6. ПОРЯДОК 12.6-1. Частично упорядоченные множества. (а)м П о р я до к. Класс 5 объектов (элементов) а, Ь, с, ... называется чз. е иым множеством, если мен(ду некоторыми парами его элемена -'Ь тов а, Ь определено отношение порядка (правило предшествовання) а -' такое, что 1) из а» Ь и Ь»с следует а»с (транзшпивлость), ~ 2) а» а [рсфлгксивноппь). Если а» Ь и а ть Ь, то пишут а» Ь. Часто, кроме того, предполагается, что 3) из а»Ь н Ь»о следует а=Ь1) (аюписиммггпри~сность). (12.6-1а) Для любага падмнож сствз частично упорядочсннага множгствэ, тзк жв кзк в йн сй , 4.3-3, мозлно апрвдвлнть панятн па ятня всрхмвй грзннцы, иимиой «рзницы, точно ивн й рани ы, наибольшего и мвимсньшвго элементов, Е и ча.св сгрзннц й, точно верхне гр ниц тнчно уаоллдо»винт мнозввстсо у овлв ор д влство явт ус.»овию 3), то тотал всрхлля (точнал нижняя) граница лю ог б о вго подмножества, ыво ола сутссомувт, вдннствснна, я синае миажвство иззывзотсн полным (полной структур ), л .

ой, если Мзстична упор доч в «ом выполястся услОвие 3) н вс спи кзж-ов напустоэ сго подмножсство имеет точна ззы. н ю вэ хпюю н точную ии жнюю грзницы. Чэстична упарядочснноо мпажвст н нам зыполнявтся условие 3) и сслн каждое нвпустов Ввотся услОВнО НОлным, сслн В нам п свв ху), вмсст н точвго подмножвство, нь»эютвс верхнюю грэвицу (агрвннчснноо сверху), в ную верхнюю р у. з г винцу.

Паслсднсв услочнс выполннстся в том и талька в том случзв, сслн каждое непустов ага падмиазкества, имеющее нижню р цу р ю г знн (ог знн~еннов снизу), имввт и точную пвжнюю границу. в ся ст нт ой, эслп (Ы Ст ктуры. Частична упорядачвнноь мвожсство называется структура, эслц в нвм выаолняотся условие и 3) и. 12.б-1, з и если у кзждай пэры а, Ь сга злсмситав н а, и нвабхо нма имостсв (нсвбхаднмо вднвствсннзя) точная вврзняв граница знр 1а, Ы ( д» с инствоннвя) точная нижняя грзннцз (п1(о, Ю Б квждай структуре можно апредв- Ь вЂ” (а, Ь) н»пааиэввдсаиэ оЬ =(п((а, Й любых двух элсмон. тов.

'ак опрв вввлнмв у Г д .в нмв сумма о прооэвсдснив об»»ада»от своаствамо 1, 2, 3, 3, у влгобр, перечисленными в и. 12.3-1. 12.6-2. Линейно упорядоченные множества. Класс Е элементов а, Ь, с, ... называется лн ается линейно (просто, совершенно) упорядоченным множеством (цепью), если в нем определено отношение порядка, удовлетворяющее услов „) 0 Некоторые ввтары эта условие формулируют в виде: «а ю ь исключает Ь Са», 12Л-З. !27 КОМБИНАЦИИ МОДЕЧБН З8З н 3) п 12.6-1, н, кроме того, условию, что для любой пары а, Ь разлнчных ьзеыентоп множества о либо а ( Ь, либо Ь < а. Линейно упорядоченное мнажэства б нззывзстсн вполне упорндачэнным мнажэ.

Характеристики

Список файлов книги