Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Транспонированная и врмитово сопряженная матрица (см. также пп. 14.4-3 и 14.4-6, а). Если А пи(ап) — произвольная матрица размера тхл над полем комплексных чисел, то Матрица, транспоннрованная по отношению к А, есть матрица А' = [аш) размера пХт. Матрица, ермитово сопряженная с А (просто сопряженная, присоединенная, ассоцнкрованная)'), есть в(атрида А*ни[до;1 размера лХт. Отметим следующие соотношениш >з,з-4. !з з. матрицы со спвиилдьиыми своиствдми симмвтрии 397 Если Т вЂ” произвольная невырожденяая матрица, то матрица Т'ЛТ будет симметрической е игом и л!олька е том случае, если симметрической будет и матрица А; поэтому для любой ортогональной матрицы Т матрица Т>АТ будет симметрической в том и только е том случае, если симметрической буг)ет и матрица А. Если А и  — симметрические матрицы, то и А+ — симметрическая матрица. Произведение АВ двух симметрических матриц А и В есть симметрическая матрица е том и только е том случае, гели ВА=АВ.
и Проовведвэое АВ двух косоенллвтроческэх лвгрцц А я В есть симметрическая лвгрлцв в тон и только о тол случэо, есля ВА АВ, э коеогемлегрнческвя, если ВА = — АВ, -Х- (Ь) Если А — эрмиглова матрица, то и Аэ (р=о, 1, 2, ...), А ' и ТвАТ— эрмилюеы матрицы) гхА — эрмитоеа*матрица, если а — действительное, и косоэрмитоеа вгаарица, если а — чисто мнимое. Если Т вЂ” произвольная лееырохсдгнная матрица, то матрица Т *АТ будет эрмитоеой е том и только в аом случае, если грмитовой будет и матрица А; поэтому для любой унитарной матрицы Т матрица Т 'АТ будет эрмитовой е том и только е том случае, если эрмитоеой будет и матрица А.
Если А и  — эрмитоеы матрицьг, ао и А+ — эрмитога матрица. Произведение АВ двух эрмитоеых матриц А и В есть грмичова матрица е том и только в аом случае, если ВА=АВ. >ч Пооявоедвляе АВ двух косоэрилгоеых ивгрнц А я В есть эрлятовв матрица э гоч к только е том случае, если ВА = АВ, к ковоэрлвтовв, если ВА = — АВ. Ы (с) Если А — орп!огональная матрица, то и Аэ(р=о, 1, 2, ...), А 1, А' и — А — ортогональиые матрицы. Если матрицы А и В ораогональны, то и маглрица АВ ортоголальла. Если А — унитарная матрица, то и Ал(р= о, 1, 2, ...), А 1, А* и >хА при (а(=1 — унитарные матрицы.
Если мптрицы А и В унитарны, то и мал!рице АВ унитарна. 13.3-4. Теоремы о разложении. Нормальные матрицы (см. также пп. 13.4.4, а н 14.4-8). (а) Для кая!дой квадратной матрицы А над полем комплексных чисел 1 1. — (А-(-А') р В! есть сокмечричгская, а — (А — А')=Ях — ко. 2 2 сосимметрическая матрица, Ар В>+Ях есть (единственное) разложение данной матрицы А в сумму сймв)гтричгской и кососиммеаричгской мал) риц. 2. — (А+А*)=Н> и —,.
(А — А')=Нэ — эрмиаоеы матрицы; ма- 1, 1 трица (Н,— коаюрмичова; А=Н,-[-(Н, есть (единствениое) разложение данной матрицы А в сумму эрмитоеой и косоэрмитовой матриц (аналогичное разложению комплексного числа на действительную и мнимую части). 3. АА* и АвА есть эрмитовы неотрицательные (см, п.13.6-3) матрицы. 4. Существу!от полярные разложения мзтрицы А А =ЯУ и А =У>(4„ где () и (11 — неотрицательные эрмитовы матрицы, однозначно определяемые условиями Яв=ААв и (3>в=АвА, а У и У> — унитарные матрицы, однозначно определяемые в том н только в том случае, если А — невырожденная матрица (полярные разложения матрицы аналогичны представлению комплексного числа в тригонометрическая форме г=г (соз (р+! з!п (р)). (Ь) Квадратная матрица Л называется нормальной матрицей, если А*А = = АА* или, эквивалентно, если Н,Н,=Н,Н,.
898 гл, |з. Мйтр!(иы. кВАдРАтичные и эРмитоиы ФОРмы !з,ч-п !2.4. экиивйлентные мйтрины, ООВОтиенные энйчения 309 |3А, ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ МАТРИЦЫ, СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ, ПРИВЕДЕНИЕ К ДИАГОНАЛЬНОМУ ВИДУ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ 13.4-1. Эквивалентные и подобные матрицы (см. также нп. 12.2-5, . -, 13.5.4, 13.5-5 и !4.6-2). (а) )(ве прямоугольные матрицы А и В эквивалентны, если существуют такие лое квадратные невырожденные матрицы Б и Т, что А и В связаны преобразованием (13.4.1) В =БАТ Каждая матрица В, екеиеалентная дат!ой матрице А, имеет спюлько же с р т ок и столька же столбцов, сколько и л1ол(рица А, и можпл быть получена иэ А с помощью последоеательного применения снес(пи опеоаций, определеннь (Х е н. 13.2-6, Эквивалентные матрицы имеют один и тот же ранг; дее матрицы размера (пХп, имеющие один и тот же ранг, гкеиеаленп|ны.
Если В=ОА ил( В=АО, где () — неаырожденная матрица, то А и В эквивалентны. (Ь) В частности, две квадратные матрицы А и А подобны (иногда нх называют просто эквивалентными), если существует такая певырожйенная матрица Т [преобразующая матрица), что А н А связаны преобразованием подобия А=Т(АТ или А=ТА (13.4-2) (с) Двч кээдрэтныс нэтрнцн А н А сэяэаннис прссбраэсээннсн А=ГАГ, (13.4-31 где à — нсвырождсннэя натрнцэ, называются кснгвхэнтнынн. Две нээдрэтныс нэтрнцы А н А, связанные прссбрээсээннсн А =тчлт, (!З 4-4) гдэ Т вЂ” пеэырьждснная матрица, нээыээютсн сьсдннэннынн. В каждом нэ эгнх сэтчссэ А, А н Г нссбхслннс являются нээдрэтнынн нэтрнцэня сднсгс н того же осрялкэ.
(б) Эхсчвалечтчэсть, подобие, яснел((эьтнссяь и сссдиненнэсяь л~атрнц лээяюшся этнэчнннхмн эхенваленэсчсслси( кэждас нэ энх определяет рээбнсннс класса рэсснэтрнвэсннх матриц я. ( . 12.!.3, ЬК В бсльшннстве прнлсжсннй Хэс нлн нсскслькс псдсбных и эссб азов ння линейыэтрнц дают раэннчннс прсдстэелсння нскстэрэгс лннэйнагэ посс р ( ного оператора) д (и. 14.6.2). В этой сняэн представляет интерес: 1) нэхэждсннс прссбэ. вэння нснсбня, дающего особенно простое прсдстаэнсннс оператора д (ппнээлсннс данной матрицы к лнэгснэлыюну нлн каксну.небо ьноыу«кээсннчсскэну и'), ) хьждсннэ свойств нэтрнц, нньэрнэнтных ьтньснтсльнс прссбрээоээннй подобна н, таким сб аэсн, общих длн каждого «лэссэ подобных нэтрнц (к чнслу тэкнх свсйстэ, нэпрннср, о относятся ранг, след, ьпрсдслнтсль, собствснныс значения). 13А-2.
Собствемиые значения н спектры квадратных матриц (см. также и. 14.8-3). (а) Собственными значеиинми (собственными числами, харантеристическимн числ и) ам ) квадратной матрицы А = (ам) называются те значения скалярного Спект раьетра Х, для которых матрица А — Х! является вырожденной. С р (сйектр собственных значений) матрицы А есть множество всех ее собств н е ных значений. Собственные значения квадратной матрицы А можно определить и непосредственно как собственные значения линейного оператора, представляемого матрнцей А (и, 14,8-3); подобные матрицы имеют один и тот жг спектр. Л, г! и Т необходимо являются квадратными матрицами одного и того же порядка. При 1(аасдом преобразовании подобия (2) сохраняется результат сложения л1атриц, умножения матриц и умножения магприцы на скаляр (см. также н.
12.1-6). 2(ее подобные матрицы имеют один и тот зсе ранг, ооин и тот же след и один и тот же определитель (см. такжз и, 13.4-2, а). (Ь) Если нормальная матрица А (А*А =АА', п. !3.3-4, Ь) имеет собственное зла юние )с, то матрица А* имгет собстеенное значение )ь матрица 1 1 Н( =- — (А+А*) имеет собственное значение Де Л и матрица Вз — (А — А*) 2 2( имеет собственное значение !щ )с (см, также, п. 13.3.4, а). Все собстеенныг значения данной нормальной матрицы являются действительными е яом и (полька е том случае, если мла матрица подобна некоторой эрмитоеой матрице (см.
также и. 14.8-4). В частности, все собственные значения эрмияоеых и дейсяеияельных симметрических матриц действительны. Все собственные значения уни)парной л!аярицы ло модул(о разны 1; в частности, дейстешлельные собсп(генные значения действительных ортогональных матриц разны .+ 1 или — 1, а их комплексные собственные значения лояеляются пароля ех(в. Кеадрал|ная л1атрица нееырождена е том и только в 1пом случае, ееш есе се собшпеснные значения отличны от нуля. О вычислении собственных значеняй см. пп, 13.4.5, а, !4.8-5, 14.8.9 и 20.3-5.
13.4-3. Приведение квадратной матрицы к треугольному виду. Алгебраическая кратность собственного значения (см. также и. !4,8-3, е). (а) Для любой квадратной матрицы А сущее(нерея такое преобразование подобия Л=Т 1АТ, чяо А есть треугольная мал!раца (и. 13.2-1, с). Диагональные элелыняы*каждой треугольной матрицы, подобной матрице А, являются собственными значениями матрицы А, и каждое собственное значение )у матрицы А естречается е качеспгег диагонального элемента ео всякой такой треугольной матрице одно и то же число т' тм! раз; число т| называется 1 алгебраической кратностью данного собственного значения 1(. 3 э и с ч а н н с.
Алгебраическая крэтаасть т сабстээнньгс эначэння Х- может нс сьэпэдэть с его гесмсярнчссчей кратностью я, определяемой в и. 14.В-З, Ь. 1' (Ь) След Тг(А) равен сумме всех собственных значений матрицы А, причем каждое собственное значение считается столько раз, какова его алгебраическая кра)п ность. Определитель де| (А) (и, 13.2-7) равен точно гпаким же образом подсчи(панному лроизееденшо собственных значений (см. также и.
13.4.5). !3.4-4. Приведение матриц к диагональному виду (см, также и. !4.8-5). (а) Квадратная матрица А монет бы(пь преобразованием подобия при ведена к диагональному виду (т. е, существует такая нееыроэссденная*преоброзуюшря матрица Т, ело матрица А=Т 1АТ диагональна, и. 13.2-1, с) е том и только е том случае, если А подобна некоторой нормальной матрице (п.
13,3-4, Ь). Более конкретно, данная матрица А может бы(пь преобразованием подобия с унитарной преобразующей матрицей Т (или, если матрица А действительна,— с действительной ортогональной преобразующей лсатрицей) приеедена к диагональному виду в том и только е том случае, если А — нормальная матрица (АэА =ААэ, и. 13,3-4, Ь). В любом случае диагональные элементы матрицы А являются собствеаными заачениями матрицы А; каждое собственное значение матрицы А встречается в качестве диагонального элемента матрицы А ровно столько раз, какова его алгебраическая кратность.
Метод, дающий преобразующую матрицу Т с нужными свойствами, описан в п. 14.8-6. Частные слтчэч нэтрнц, прэводнных к дньганапьнсну э н д у. Эрэшюсгы н гчншсрнне натрнчн (э нстану дс|ствнтельнне н снннетрн«ссхэс нлн сятсгсчсльннс маярнчн) прсдставлэ~ст собой частныс случан нсрнэльннх нэтрнц. Каждая матрица, имеющая ссбсявенннс значения только асссбяанческсй кратности 1, подобна нэкстсрсй нормальной нэтрацс. (Ь) Дге эрмитозы матрицы А и В могут быть приведены к диагональ. ному виду одним и тгм же преобразованием подобия (и, в частности, одним и !лем же лреобразоеанием подобия с унитарной преобразующей матрицей Т) е тол( и только е том случае, если ВА = АВ (см. также пп.
13.5-5 и 14.8-6, е). 401 13Л-2. 13.5. КВАДРАТИЧНЫЕ И ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ 400 ГЛ. 13. МАТРИИЫ, КВАДРАТИЧНЫЕ И ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ !3.4.5. (с) Для любой зрмитовой матрицы А существует такая нсвырождснная матрица Т, что матрица А =Т'АТ диагональна; диагональные элементы матрицы А в этом случае действительны. В частности, существует такая невырожденная матрица Т, что диагональные элементы мал!рицы А принимают только значения +1, — 1 и)или О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
