Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 94
Текст из файла (страница 94)
3 писце н не. В приведенных выше епрецеленнях норма ,')бд)! леегрлгцьл рез. леере н Х 1 (столбце) бд — = !бд, бд ... „Бд ) епреденяетен з сеетеетстенн с ргееп. елеем (!3.2-2) формулой йбд))=епр'3 бр +з,бд +".Ч-б бд (13.6-27е) (б',;~а+" -б'= ). Если етп удобна, ее мелнво зеценнть олина не норм (теблнце 13.2-1) ), бд )! = ((бд )зф (бд)з+" ° .!. (Бд )3)'/' (ееклигеее перме) ннн ), 6,1), = ~ бд, ~+ ) бд, (+ .. + ) бдц 1. (13.6-27И (13 Б-27е) — ег=!(д) ад (Ь Ьб-28) (13.6-29) ««О) определяется условием 7 (д,л,) = о. Лостаточпо рассматривать точки покоя у «) =у„, =О, так как другие точки покоя у =у,„ в фазовом пространстве можно перевестн в начало координат с помощью простого преобразования координат.
Функцией Ляпунова для решения у «) =0 данной системы (28) называется любая такая действительная функция 1/(у) — = 1/(ул, де, ..., уп), что в некоторой окрестности Р точки у=о в фазовом пространстве, состоящем нз точек у = (у,, уе...,, д„), функция 1/(у) непрерывно дифферепцируема и У(у)«0 при учао, 1/(0)=0, (13.6-30) ,,! а! А! гд! в г~г дв А=! А =-1 = е! -- У(у) = — - У (у «)) — производная функции Ул вычисленная в силу системы (28), т, е, вдоль интегральных кривых.
Заметим, что в этих определениях речь идет об устойчивости решений, а не сис!пем (см. также,пп, 9А-4 и 13.6-7). Если решение устойчиво в смысле Ляпунова, то достаточно малые изменения начальных зазчений не могут привести к большим изменениям решения за какой угодно промежуток времени. Для асшцптотически усвюйчивоео решения эффект от кокецкою изменения начальных значений и указанных границах станет сколь угодно малым после того, кзк пройдет достаточна большой пронек(уток времени.
Если решение асимяпютиеески устойчиво в целом, то даже сколь угодно богыиое изменение начальных значений в конце концов вызовет превебрежимый эффект. Асимптотическая устойчивость является требованием для практических контрольных систем. 13.6-6. Фуницни Ляпунова и устойчивость. (а) Устойчивость равновесия автономных систем (см. така(е п. 9.5-4, Ь). Точка покоя у«)=у,л, ««О) автономной системы Ргиюние (таиса полая) у «) = 0 успюйчиво в смысле Ляпунова в тоц (и !полы!о в том) случае, если существует соотегтствутощая фукьция Ляпунова (теорена Ляпунова об устойчивости, Решение у «) = 0 асимятотически устойчиво в окрестности Р, есги сущесгледгт функция гуяпукова У(у), ддовгс!пворяющая в 0 строгому кераеекстеу йу/й! ( 0 для всех у Ф 0 (теорема Ляпунова об асимптотичеснои усяюйчивости).
Решение у «) — = — 0 осииптотически устойчиво в целом, если функцию /7япукога 1/ (у) можно определить для всего фазового пространства так, )тоеылолкя!отея условия теоремы об асимппютической устойчивости и )/ (у) — со лри )) д",, -л со (теорема Лассаля). Решение у «) =0 уравнения (28) неустойчиво, если сущесямует область 0„ содерлсащаяся в кено!порой окрестности 0 точки у=о, и действительная функция и (у) такие, шпо 1, Функция и (у) непрерывно дифферекцируема в О, и и(д) «О, ~ Я вЂ” ')А«О А=! для всех у М 0 в Рб 2. и(у)=0 во всех граничных точках области Рл, лежащих внутри Р; 3. д=о есть граниекач темка области 0 (теорема Четаева о неустойчивости).
В частности, решение неустойчиво, если условие 1) выполняется во всей окрестности 0 тоти у=о (теорема Ляпунова о кеуспюйчивости). (Ь) Н е а в т он о и п ы е с и стем ы. Каждое решение д «)=у л, «) системы ад 97=7«, д) ««0) при помощи замены х «)=у«) — усн «) можно преобразовать в решение х «) = — 0 новой системы в !х=)«, -(-д„,) — !«, д„,) =Р«, х) ««О). (13.С.ЗЦ При этом Р«0)=0 дтя всех ! О Функция 1/«, х) = — У «, хл, хз, ..., л;,) называется функцией Ляпунова для системы (31), если 1.
д «, х) непрерывно дифференцнруема в неко~арой окрестности (г точки х=о в фазовом пространстве (х„х„..., х„) при всех ! «О. 2. )/ «, 0)=0 цри всех ! «О. 3. )л (7, х) «67 (х) для всех точек х, принадлежащих П, и при всех !--.О, где функция )у (х) такова, что (у/(х) > 0 для всех х Ф 0 и уу (0) = О. еч гу 1 гд 4. — =--)- ~» — -Гь(0 для всех хщ Я и ! О.
г!,42 гд,, А=) Прн таком определении функции Ляпунова теорема и. (а) об устойчивости переносится на неавтономные системы без всяких изменений. В теореке об асимптотической устойчивости нужно дополнительно потребовать выполнения неравенства — ( — 1Т/1(х) для всех х щ (2 и ! «О, где функция ву г1! 371(х) «О при х Ф 0 и 1Т/1(0) =О. 13.6-7. Приложения и примеры (см. также п. 9.5-4). (а) Приложения такие, как проектирование контрольных систем, мотивируют поиск функций Ляпунова, позволяющих установить асимптотическую 11олагая у =у» д = уе, получаем вели. йуу» й) э й)- = - ад - „— Ьуэ Дуффннгз Рис. 13.6-1. ИЗ.О-З2) А'Р+ РА = — 4) 412 гл. 13.
мдтрииы, квддтйтичиык и эрмитовы йормы )з.в-т. устойчивость в рассматриваемых областях фазового пространства илп же в возможно бодьших его областях 1«прямой метод» исследования устойчивости по Ляпунову). Функции Ляпунова для частных решений ие являются единственными, и практические методы поиска являются скорее искусством, чем наукой. Область асимптотической устойчивости для уравнения — +а — +у+Оде=о при а 1, Ь = -004.
аиу й)э и! )Ь) Кзк мы отметили з п. 9.6-4, а, решение у )О = О линейной однородной сисоцмы с настоенными коэффициентами Ад й) 1о. 13.6-2, а) асилттотически устойчиво е целом 1«полне устойчиво) е том и тошно е тол» случае, если эти пцтема устойчиеа е смысле л. 9.4-«, т. е. тли есе шбстэеннце значение лсатрицы А имеют отрицательное дейстэительны части, Это еыполнлется тс ьк е том случае, если длл произ«этной положительно определенной симметричессои матрицн О суще«терем такал лоложитетно определеннал с ме р е им т ические матрица Р, что 113.6.33) 13.6-).
)з.б. возмушкиия и ткорий Устоичивости лппуиокя 413 Го оа 1)у) у Ру еслш функция тенино«а длл реигснил д О )у эрансиоеироеанлзл матрица для д). )с) Уравнение Дуффнига амр ау —:„-+а .уч-у+ од =о опнсылзет иелннейные колебания пружины. исйиую систему первого порядка йдк — = уь теория п. !3.6.6 покзэыиеег, что и )д, у,) = — !Ьд! + 2рэ зуэ) 1 ссгь функция Ляпунова для решении д, р)=р,Го=о при а ио и 62 О ! сильная пружине»); это решение аснмпгогнчески устойчизо э целом.
ПРи а) О и Ь(О ! слабаЯ пРУжана ) Решение Уэ Вй =У» Р) =О аснмптогнчески устойчиво, но не а целом (рис. !3.6-1). 14.2-1. 142, ЛПНЕППЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛАВА 14 ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ЛИНЕЙНЪ|Е ПРЕОБРАЗОВАНИЯ (ЛИНЕЙНЪ|Е ОПЕРАТОРЫ), ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ МАТРИЦАМИ 14.!. ВВЕДЕНИЕ. СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ ПЬ1-1. Вводные замечания. В этой главе дается обзор теории линейны« векторных ар«ктраягтз (см.
также п. 12,4-1) и линейных преобразований (ли- нейных олзратороз). Векторы и линейные операторы представля(от физи- ческие объекты н операции во многих важных приложениях. Большинство практических задач требует описания (представления) мате- матических моделей (п. 12, 1-1) с помощью упорядоченных наборов действитель- ных или комплексных чисел. В частности, понятия гомолюрфизма и изомор- физма (п. 12.1-6) позволяют многие математические модели «предсгавлягь» соответствующими классами мтнриц (п. 13.2-1; см. также и. 13.2-5), так что абстрактным математическим операциям гоотсмтстауют числовые операции над элементами матриц.
(П р и м е р ы: матричные почедставления оперзтороо квантовой механики и электрических преобразователеи.) В пп. 14.5.1 — 14.! 0-7 описывается применение матриц для представления векторов, линейных опе- раторов и элементов групп, 14,1-2. Числовое описание математических моделей: системы отсчета (см. также пп. 2.1-2, 3.1-2, 5.2-2, 6.2.1, 12.1-1 и 16,!.2). Система отсчета (система координат) есть схема правил, описывающих (представля(ощих) каждый объект (точку) неиоторого класса (пространства, области некоторого пространства) С соответствующим упорядоченным набором (действительных или комплексных) чисел (компонент, координат) х(, хз, ...
Число координат, требуемых для определения каждой точки (х(, хз, ...), называется размерностью прост- ранства С (см. также п. !4.2-4). Во многих приложениях значения координат связаны с системами физичесхих мер. 14.1-3. Преобразования координат (см. также пп. 2.1-5 — 2.1-8, 3.1-12, 6.2.1 и 16.1-2). Преобразование координат х,, х„... есть множество правил или соотношений, ставящих каждой точке (х,, хз, ...) в соответствие новый набор координат.
Преобразование координат допускает дне интерпретация: 1. «Активнан» точка зрения, или точка зрения «а1(ЬНП преобразование координат ха=ха(х(, хз, ...), ха=х, (хз, хз, ° ° .), ° .. (1 4.1-1) описывает олзрацшо (функцию, оа(ображение, п. 12.1-4), относящую каждому данному математическол(у объекту (точке) (х(, хз, ...) некоторую новую точку (х,', х,', ...). 2. «Пассивная» точка зрения, или точки зрения «а!!аз»: преоб. разоваиие координат х,=х( (х,, хз, ...), «з=хэ(х„хз, ...), ... (14.1-2) вводит новое описание (побое ирздгтазлгниз) каждой точки (х„хз, ...) посредствол( новых координат х,, хз... Прззбраэозазаа зззрхззат позволяют абстракт«ма мат«мат«час«э* зтнзщезнз ярех- зтаззать число»мин «затязшеззаин («акга»на»» тачка зрзззз) н а»и«зять системы зт«ч.та ( азссзаааа точка эрез»а(.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
