Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 97
Текст из файла (страница 97)
в нормированном векторном лространсл«ве 77 составляют линейную алгебру (п. 12НР2), операции в которой определены в пп. 14.3.3 и 14.3-4, причем нулем служит нулевой, а единицей тождествгннь«й оператор. Вырожденные операторы являюлюя в злюй алгебре делителями нуля (п.
12.3-1, а), а невырождеяные образуют мультилликативную группу и вместе с нулевым оператором — алгебру с делением (п. 12.4-2). Если 77 †пространст конечной размерности л, то алгебра линейаых операторов имеет рзнг лз. Алгебра операторов, вообще говоря, яе коммутативна (см. также п. 12.4-2). Оператор А — ВА называется коммутатором операторов А и В. (Ь) Ограниченные линейные операторы в гильбертовом пространстве (п. 14.2-7, Ь) позволяют, как в пп. 13.2-11 и 13.2.12, определить с помощью метрики ((А — В(( сходящиеся последовательности и аналитические функции операторов (п. 12.5-3). 14.4-3.
Сопряженнын оператор. Кзждый ограниченный линейный оператор А в гильбертовом пространстве 77 имеет единственный сопряженный оператор А', определяемый условием (х«Ау)=(А* х, у) для всех х н у нз 77, (14ан4) 14.4-1. Ограниченные линейные преобразования (см. также п. 13,2-1, а). Линейное преобразование А нормйрованного векторного пространства (п. 14.2-5) 77 в нормированное векторное пространство 77' называется ограниченным, если А имев~ конечную норму 422 тл. !4. лпненные НРООтрйнствд и преОВ АзОВАния !4.4-4, При этом (А+В)*=Я*+В', (аЯ)е="Я ° (АВ) =В*А", (Я т)*=(Я') '.
(А*)'=А ,)Я*!)=((Я((, (А Я((=!)Я(Р, О =О, 1*=1; (14.1-8) (11.4-6) (Ах, Ву) =(х, А*Ву) — (В* Ах, У). (см, также пп. 14.2-6, а, 14.2-7, Ь и 14А-О). 14.4-4. Эрмнтовы операторы. Линейный оператор А в гильбертоном простравстве 77 йазывается эрмитовым (самосопрнжениым), если А"=А, т. е. (х, Ау)=(Ах, у) для всех х и у из Ю. (14.4 7) Если 7( — комплексное гильбграчово лространслмо, то олералюр А млягтся зрмитавым в том и только в том случае, если скалярное произведение (х, Ах) для всех х действительно, или (х, Ах)=(Ах, х) =(Ах, х) для всех х ~ 7('. (14.4-8) Всякий эрмитов оператор в комплексном гильбертовом лростраистм явяягаля ограниченным.
Оператор А, удовлетворяющий условию А'= — А, называется косозрмитовыы. Зрчнтоеы оперзторы играют важную роль в тех прнлеькеннях, где требуется, чтобы скалярное прозззедеяяе (х, Ах) было действительным 1яслоч (тьоряя холебхянй, «явячо. ). В) таз оператор А нззыьзется соответственно пеложятельяо определенря етельнь определенным, яьотрнцвтельяыы, неположятельныы, поло жятельно пелуаяредьлееяыы, отрицательно полуопредчленныы, йеопределеняыы у. нлн я .чьвыьч, если ьто же верно для скалярного пронзведеляя (ьрыятовой формы) (х, Ах) (см.
также яа. 12.5-5 н 14.7-1). 14А-Б. Унитарные операторы. Линейный оператор А в гильбертоном пространстве Е называется унитарным, если А* А=АЯ'=1, т. е. А'=А '. (14.4лй) Каждый унитарный оператор является невырождениым и ограниченным и () А )(=1, Каждое унитарное преобразование х'=Ах, где А — унитарный оператор, сохраняет скалярное произведение( (х', у') =(Ах, Ау) =(х, у) для всех х и у нз Е, ~ ()х'((=()Ах!)=((х)( для всех х ~ Е.
Если пространство Е канечиомгрно, то каждое из соотношеаий (1О) влечет за собой унитарность оператора А. Унитарные ояерзторы сехрвхячот ькзлярное прояззедеяяь векторов, е твхже сложение еехтороя я произведение векторов яв скяляры: твкяы абрлзоы, пря унятвряых прьебчоро, рвсстояняя, углы, ортогоявльяость я орчояорыироявяяоччь (пп.
14.2-7, ь я 14.7-2) яньзрялнтяы (а. 12.1-5), 14.4-6. Симметрические, кососнмметрнческие н ортогоннльиые операторы в действительных унитарных векторных пространствах. (а) Оператор А*, сопряженный (п. 14.4-3) с линейным оператором А д йствительиам гильбертовом пространстве Е, часто называется транспонированным оператором (преобразованием) и обозначается символом ', уд летворяет соотношениям А ) (А х) — (Аьх, у)=(у, А'х) для всех х и у из Е. (14 4.11) Если рассматриваемое мкторное пространство действительно, то ва 'всея соотношениях из и, 14.4-3 вмеапо А" можно писать А'.
14.4-5. 14.4. линенпые ОпеРАтОРы В нОРмиРОВАннОм прбстРАнстве 423 (Ь) Линейный оператор (преобразование) А в действительном гнльбертовом пространстве й называется симметрическим, если А'=А, т. е. (х, Ау)=(у, Ах) для всех х и у из Е, (14.4-12) кососимметрическим (антнсимметрнческим), если А'= — А, т. е. (х, Ау)= — (у, Ах) для всех х и у из Е, (14.4-13) ортогональным, если А'А = АА'=1, т. е.
А'=А-т, (14. 4-14) В честности, ссяя рьсгматриьчемье ги,чьбертьчь пространство дейстьитьмяь а А — симметриччсмуй оператор, тч такими жг будут и ьлчратьрм АР (и.= й, 1, 2, ...1, АьЕ Т'АТ и аА. Ечял Т вЂ” хабча и чмрьхедеияый ьлератьр, ть ьлгратьр Т'АТ является симлчетаичесяям в тьм и только ч тьм случае, если аммьтрачесхчм является и А; дт любогь ьртьььнаяьиьгь чяератчрь Т ьлчрптьр Т чАТ является счлчмьтричесхлм в чльм и тьльхь в тьм случае, чсяи ять же херив и для А, (Ь) Если А и  — зрмитоеи (или симметрические) оператора, то зто же верно и для суммы А+В.
Произведение АВ двух эрмитовых (или симметри!сских) операторов А и В является зрмитовым (или симметрическим) алгол!сарач в том и только в том случае, если ВА=АВ (см. также и. 13.4-4, Ь). (с) Если А — уиитариьш оператор, то это же верно и для Ау (р=О(, 2, ...). А ', А*, а если / а( — -1, то а для аА. Если А и  — уишпариые операторы, то и А — уииглариий оператор. Если А — ортогоиальиый оператор, то зто же верно и для АР (р=О, 1, 2, ...), А (=А' и — А. Если А и  — ортогоиальиые омраторы, то А — ар!по. вокальный оператор.
14.4-8. Теоремы о разложении. Нормальные операторы (см. также пп. 13.3-4 и 14.8-4). (а) Для каждого ограниченного линейного оператора А в гильбертовом про транстве Е операторы - - (А+А )=Н, и †. (А — А*) =Н являются эрми2ь товыми. Представление А=Н,+(Нз есть (единственное) разложение данного оператора А на зрмитму и косозрмитову части (ср. с разложением комплексього числа на действительную и мнимую части). Если пространство Е действительно, то это разложение превращается в (единственное) разложение оператора А иа симметрическую часть — (А+А') ! 2 1 ь ко огиммтрическуча часть —,— (А — А').
2 Для каждого ограниченного линейного оператора А в гильбертовом пространстве операторы АА* и АчА являются зрмитовими н неотрица)палеными. Существует разгожеиие А=О0 оператора А в произведение неотрицательсого эрмитова оператора 0 и унитарного оператора (). Оператор О однозначно определяется условием Ов=АА*, а оператор 0 определяется однозначно в том и только в тои случае, если А — невырожденный оператор. Аналогично А=- О(О(, где О,'=А*А (ср, с и. 13.3-4, а).
Ортогоиальиые огграторы в д иствитегьиом гильбертавом лростра !саже явля отея уиип!арныгяи, тач( что для них вернь! утверждения из п. 14.4-,). 14А-7. Праоила комбинирования (см. также и. 1З.З-З), (а) Если А — зр.китов оператор, то зто же верно и для операторов Ар(р.=О, 1, 2, ...), Я ', Т'АТ и, сели а — дейгтвитеяьиое число, для операл(ора аА. Если а — чисто мнимое, (ло оператор аА — косозрмиа(ов.
Если Т вЂ” любой игвь(рожденный оператор, то оператор Т*АТ мляегпся зрмитмым в том и только в том случае, если зрмитмым мляетгя оператор А; лззтал(у для любого унитарного оператора Т оператор Т 'АТ лвляется эрмитозым в том и только в глом случае, если зто же верно для оператора А. 14Э. МАТРИЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЕКТОРОВ 425 14.Э-). ГЛ. 14. ЛИНЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 14.4-2. (Ь) Оператор А в гильбертовом пространстве 77 называется нормальным оператором, если А'А =АА" или, что эквивалентно, если Н,Н,=Н,Н,.
Ограниченный линейный оператор А нормален е том и только в том случае, если (! Ах (,'=!! А (! (! х (! для всех х щ уг. Эрмитовы и унитарные операторы нормальны. 14,4-9. Сопряженные векторные пространства. Более общее определение сопряженных операторов. (а) Ограниченные линейные преобразования А нормированного векторного пространства 77 в произвольное полное нормированное векторное пространство (банахово пространство, п. !4.2-7) образуют полное нормированное векторное пространство, сложение и умножение в которомопределяютсяформулами(! 4.3-4), а нормой служит !(А)!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
