Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 99
Текст из файла (страница 99)
также пп. 14.1-4 и 13.4-1, Ь). (с) Матвнчная запись преобразоаання базксных векторов. Если развешнть расскатрнаагь строка н столбцы, состоящее нз векторов, то соотношеаня (1) н (6) ножка соответственно записать а анде 14.6-8. Последовательное применение операторов (см. также пп. 14.5-2 и 14.10-6). (а) Пусть даны два невырожденных линейных оператора А н В, представленвых в базисе е„ез, ..., е„матрицами А ам [а!в] и В ни[Ь)ь], Их последовательное примененйе х'=Ах, х*=Вх'=ВАх (14.6-12) Ылы!. !4лп ПрндСтДВЛПНИВ СКЛЛЯРНОГО ПРОИЗВВдииня 429 представляется соотношепинми х'=Ах, х =Вх'=ВАх, х=(ВА) хх, (14.6-13) где х и— в [ 51, 5„ ..., 5п), х' = [с', $',..., Ц,] и х = ]6', 5",..ч ьп]— столбцы из компонент соответствующих векторов относительно базиса е;.
В частности, последовательное применение операторов А и В к базисным векторам еа приводит к новым системам базисных векторов ее — — Аел= ~ а;ась 1 (Ь=-1, 2, ..., п). (14.6-14) е"„= Ве', =- ВАеь Следует обратить внимание на то, что опграпюр В, вообще говоря, отличаетгл от оператора, опргдслягл!ого преобразованием базисных векторов е,' с помощью матрицы В: так как матрица В = — [Ь!в] относительно базиса е' представляет оператор АВА 1, а нг В (см. п. 14.6.2, а). (Ь) Столбцы х = [51, $1, ..., $п], Д: — Ях, $1, ..., фп) и Х ы [$1, 51...,.
5„], представляющие один н тот же вектор и а и Х= ~д 6!Е(= ~ йааь= ~~ йвсег (=1 ь=! е=! связаны преобразованиями пассиввого типа я=А 'ВАх, х=Ад=ВАх, Еще раз отметим, что, вообще говоря, х~Вх. 14.7. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ. ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ БАЗИСЫ 14.7-1. Представление скалярного произведения (см, также пп. 14.2-6, и и !4.7-6 и 16.8-!).
Пусть векторы а= "', сне( и Ь= ~ 5;е! в конечномерном !) 1=1 г=( унитарном векторном пространстве 77 соответственно представляются матри. цами-столбцами аьп [аП и Ьы [5!] по способу п.!4.5-2(см. также п. 13 2-1, Ь). Тогда и и (а, Ь)= ~~ ~ й(аа![)в=аебЬ, (14.7-1) 1= ! а.=( ба[у)а], ум=(еи еп) (1, й=1, 2, „., и) в) Ы В.в.
В чвсткостя, если к е= Х ц.ер то (еэ, в) =о.. 1= 1 Линейный оператор А, ляется мвтряцей аАа (с) Бееяс ех, ея...„еч взоямяый другой системе безяснмх оекэорое о 1,. е) где бе1 [!Ы! Ы О, э= — ! 04,7-10) ведается формуяакк я ее= ~', 1,,-,!. 1=1 (14,7-12) Коордяяогм (чкемеотм мегряю Беекооркяявэяме (няеерьеятяме) обозно !еякя Меэркчкме вред тэочекяя а =я, ала- -А теяэорнме обозначения условные обоэяечеяяя (Н.г-ы) о ) ц о Бкея !Р) [(е( е,,)) = а (еэ е,) !а [(е', .')[= а ' Нет спецкеяьвого семерке (е, Ь) 432 гл.
и. Лнненные прфстрднствд н преонрдзовдннп ыл-в. 14,7.6. Вввнмньэе базисы. (а) Дяя каждого беьнсе е, е,, е и кооечномеряом еекторяом пространстве существует единственный язвнмнмй (дувяькмй) безяс е1, ез, .... е'1, опредсляемый с!Рч метрнчяммя соотноюеянямк О, есяя ! же,! (14.7-6Ш ,е, е, = ;В = ) тек что кеэьдый вектор е' ортогоееяек всем еь с Ь т ! к [[еэ, еь)[ = а — 1 = [(е! е )[-1, (11.7.ЬЫ к — й.„е! Рг=1, 2, ..., к). ь эв (Ь) Векторы в, Ь,, оредстеяяяемме в безнсе е! мотркцвмн-сэоябцомк о, Ь. е бевосе е' представляются мктряцемя-столбцомн ао, аЬ, „ 1) н (а, Ы = оэаЬ = о' (аЬ) = (ао)*Ь = (ао) "а ' (аЬ) !14,7" Н! Твбонцв 147! Сравнение различных обозначений скаляров, векторов и линейных операторов ') Векторы е, Ь можно эвкже оредстевнть метр!н!ечя-строкемк (ао)*, (аю", нян (ао)5 !аь)5 ..
что соогветстеуег пРедставлению ях коеврнвнтяммк ьомоойентамн (оо. 16.2-1 я !6,7!3). 14ж ООБстВенные ВектОРы лннВпных ОпеРАтОРОВ 46З задеоеемый е безясе е,. мвтркцей А, е беекге е! кредстев- ГоеоРЯг, что бвзнскые Яе~!тоР!е е! Я еа пРеобРазУютсЯ контРагРвДментно (сч также и, 16.6.2). Аяелогячко ко к = тк следует ая = т (ая). (14,7-13) Ортетрикрввквчко бееке (О. 14.7.4, в) совпадает со еэоямкмм к, боэсмом (ы.ияетья сомодуояьнмм), ток что е! =-е,.=м (1=1, 2, ..., к) н 14.7-7.
Сравнение обозначений. Для того чтобы облегчить ссылки на стандартные учебники, з гл. 12-14 ноординаты векторов помеча!отея только нилсними индексами. В усовершенствованной системе обозначений, применяемой з тензорном анализе н описываемой и и. 16,1-3, употреблюотся не только нижние, но и верхние индексы.
В табл. 14.7-1 дается обзор различных обозначений, применяемых для описания нектороп и линейных операторов; ею можно пользоваться для перевода одних обозначений з другие (см. также и. !6.2-1). 14.8. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЪ|Е ЗНАЧЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ 11.8-1. Вводные замечания. Изучение собственных векторов и собственных значений представляет исключительный практический интерес вниду того, что 1) многие соотношения, в которые входит некоторый линейный оператор, радикально упрощаются, если н качестве координатных базисных векторов взять его собственные векторы (приведение матриц к диагональному виду, квадратичным форм к сумме кзадратон, Решение операторных уравнений и спектральной форме; см, также и.
(гк1-1); 2) собственные значения линейного оператора выражают важные свойства этого оператора без ссылки на какую бы то ни было конкретную сне!ему координат. Во многих прнложснсях собстаенные векторы и собственные значения линейных операторов нме!от прямой геометрический или физический смысл; обычно они могут быть интерпретированы на языке задачи о максимуме иминимуме (п. !4.8-8).
Наиболее важные прило!кения относятся к зрмнтоиым операторам, нмеюшии действительные собственные значения (пп. 14.8-4 и 14.8-10). 14.8-2. Инвариантные многообразия. Разложнмые линейные преобразования (линейные операторы) н матрицы. Многообразие 77! з линейном Векторном пространстве 77 называется инвариантным относительйо данного линейного оператора А з пространсгзе 74', если А переводит каждый вектор хе 771 и некого. рый вектор Ах~ 771. Если 77 конечномерно и ев, ез, ... е , е , ... е т тем "1 ек— 434 ГЛ.
14. ЛИНЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 14.З-З. 14.З-4. Ы.а. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ ЛИНЕИНЫХ ОПЕРАТОРОВ л ~,,!..), (1 4.8-1) лй ) й ') Сы. сяесяу к л. 14.9-З, Ь, координатный базис в гг', обладающий тем свойством, что векторы е,, еэ, ..., ет порождают гг'„то оператор Я представляется матрицей А, которую можно подразделить следующим образом: где А,— матрица размера т Хт, представляющая оператор Ат в пространстве 7(я, «индуцнрованный» оператором А. Может случиться, что оператор А( можно подвергнуть дальнейшему приведению. Линейное преобразование (линейный оператор) А в вектораом пространстве 7«г вазывается разложимым (приводимым, вполне приводимым я)), если простРанстно гг' есть пРЯмаЯ сУмма 7(= ьгя Е Удз Я) ...
(п. 12.7-5, а) двУх или более надпространств 7»гя, 774, ..., каждое из которых инвариачтно относительно А. В этом случае ойератор А записывают как прямую сумму А=А, 04- Аа (г) ... линейных операторов Аы А„..., индуцированвых оператором А соответствевно в гг'я, 7(а, ... Кеадратная мтлрица А представляет разложимый оператор А е том и только е том случае, если матрица А подобна клеточной матрице (прямой сумме матриц А„АЗ, ..., соответствующих операторам А„А, ..., см. также п. 13.2-9). Матрица А, обладающая этим свойством также, называется разложнмой (приводимой, вполне приводимой). 14.8-3. Собственные векторы, собственные значения и спектр (см. так)ке п.
13.4-2). (а) Собственный вектор (характеристический вектор) линейного оператора (линейного преобразования) А в линейном векторном пространстве У есть такой вектор у Сдд, что Яу=Лу (у ~ о), (!4.8-2) где Л вЂ” некоторый скаляр, называемый собственным значением (характеристическим значением) оператора А, соответствующим собственному вектору у. (Ь) Если у — сабстеенный егклюр оператора А, гаотеетппвующий собстеенному значению Л, то гто же верно для любого гектора ау ~ О. Если у, у, ..., у,— собстденные векторы оператора А, соответствующие собственному значению Л, то зто же ееРно и длл каждого еектаРа а«У(+азУЗ+...+игра Ф 07 зти гекторы порождают линейное многообразие, инвариантное относительно А (л. 14.8-2; см.
также п. 14.8-4, с). Эта теорема также справедлива для сходящихся бесконечных рядов собственных векторов в гильбертовых пространствах. Если собственному значению Л соответствует ровно тта 1 линейно независимых собственных векторов, то т называется геометрической кратностью собственвого значения Л. Собстленные векторы, соотеетстеующие различным собственным значениям одного и того же линейного оператора, линейно незаеисимы. Линейный оператор в и-мервом векторном пространстве имеет не более л различных собственных значений. Каждое собственвое значение невырождепного оператора отлично от нуля. (с) Если ограниченный линейный оператор А имеет собстеенное значение Л, то оператор ыА имеет собственное значение аЛ, а оператор Ау имеет соб. стееннае значение ЛУ(р=0, 1, 2, ..., а если А — неаырождгнный оператор, то Р=О, -«- 1, -г- 2, ...).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
