Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 102
Текст из файла (страница 102)
(с) Ранг любого представления еуу есть наибольшее число чинейно независимых матриц >) в оЯ>. 14.9-2. Приведение поедставпсний. (а) Представление п>Г группы 6 называется приводимым '), если представляющее пространство 7( имеет собственное подпространство 7(„ инвариантное относительно еЯ.', т.
е. относительно каждого линейного преобразования, ') Твк квк л>етркпы кожно рессиетрнпеть кок векторы, линейная незввнспиость метана определяется точно ток же, кок в и. 14.2-8. *) Определенно н лтои пункте прниенпиы н к любому множествулинейных преобреаовкпнн в аекторнои пространстве нлк и соответствующему множеству ивтрик (но обяавтельно группе). 14.19-2. (14.9-19) (14.10-1Ь) (!4.10-1с) (!4.10-2) де! [а/») = йе! (А) =1, ((, й=(, 2, з), (>АЛО-з) 446 гл. и.
линеиные пРОстРАнстВА и пРеОБРАЭОВАЯБЯ 14л-в. Лгл хпждггг вполне прпггдпмггг лггдстагжичл Е г т(Е г (5 (лго г Е) -. гп(1( -ет(з( гуулпм О х(а> .т х('>(а>+ гх(0(а>+..., (14.9-9) пг спсДп. гв. !Х(/> (а) Х (Щ/ — 7 ' Х(/) >Ю Х (а) 7 в (14.9-9) ажп 1 кз сРсдн. аР. (х (а> х (а>) — Ул 1 х (а> Р = т[-1- (лг -1- ... т 1. пей Если 4Р непроходимо, то среди, гр. (>Х (а) Р) = 1. (ц цгждсг пз (л псгхзггглсптных нгпрхзоднмых представлений Е г конечной ш(/( гвуппы О гхгигалгитиг гггтггтгтгующгму униталигму игплиюдимгиу ллгдстаггг ию, сгдгажпч(гму матрицы [и( (а)) (см, также п. !4.9-1, ц. Зггмгиты этих уиитауимх ', /»' матриц удггггтггллю(п сггтигшгичлм среди гР (и/» (и) и/ » (а)) В „Рг «( (а! ип», (а) =и б//' бп б»» (14 9 11) аый (/,/->,з,...,т;/,»-1,2, ...,л>у» =>,х...,п;).
14.9-6. Примые произведении представлений. (а) Если еур! — п,-мерное, а еэгз — лз-мерное представления одной и той же группы 6, то матрицы размера пгпз)(пгпз, получаемые как прямые произведения (п.13.2-10) матриц из егг! на матрицы из еггг, образуют и!л,-мерное представление группы 6 — прямое (кронекеровское) произведение еэг! ® еэгг представлений еуу! и еЯ'з (см. также и. !2.7-2).
Его представля!ощее про- Х ст анство является прямым произведением представляющих пространств для ! и еЯ[ (п. 12 7 3). Характер Х(а) представления еэг =егг Дх е)Ез равен произведению характера тг (а) представления еггт и характера дг(а) представления ейуз( К(а) =ул(а)Х (а) (14,9-12) Если еЩ и еггз ограничены или уиюпариы, та это же верно и для еЯ/! ® еЯт . (й) Прямое произведение ед"(®ейЕ(з( двух ограниченных игпригодимых вредставлгиий еЯг'г' и еЯ,"з' группы 6 иепризодимо, если размгриюпь представления еЩ(1( и/или е(к(з( равна 1; в противном случае еЯ,"" ® е!Т(з( вполне приводило.
С помощью этого последнего факта можно из данного неприводимого представления группы 6 получать новые ее непринодимые представления. (с) Нглупггдппиг лпгдгтлгггипл пулмггг пугггггдгиил О, И О, дгук гпупп О( и О, (и. 12.7-2) лгллюлил лрлмммп лагигггдгиплмп я(д ПЛ(/ ) иглпиггдимих ппгдгтггггииа г Л>0 глупим О, и ДО > грулли Ою г 14.9-7.
Представления колец, полей и линейных алгебр (см. также п. 12.3.1 и 12А-2). Кольца, поля и линейные алгебры также могут быть представлены подходящими классами матриц или линейных преобразований. В частности, линейная алгебра порядка пз иад полем р, имеющая единицу, изоморфиа алгебре лютриц порядка пХл иад полем г (регулярное представление линейной алгебры, см. также пп.
14.9-1, а и 14.10-6). 14.10. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ВРАЩЕНИЙ 14.10-1. Вращения в трехмерном евклидовом векторном пространства (а) Каждое ортогональное лиигйиог преобразование х' = Ах (А'А = АА' = 1) (14.10-1а) в трехмерном егклидовом векторном прттлраистгг (п. 14.2-7, а) покроплен! 14.19. З!»ТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ВРАЩЕНИИ 447 людули векторов и углы между гектарами (пп. 14.4-5 н 14,4-6). Такое преобразование называется (собственным) вращением, если де((А)=1, т.
е. если это преобрааование, кроме того, сохраняет птисги(лглгиую ориентацию любь(к трек базисиь(х вгкторпз (и потому прааую и левую системы координат, векторное произведение догух згктораг и сммиаииог произведение трех векторов), Преобразование (1а) с йе! (А) = — 1 называется несобственным вращением или вращением с отражением. (Ь) Пусть пг, пз, иг — любой ортонормнрованный базис (и. 14.7-4), и пусть х = 5>п! -1- йгпг->-йзпз, х' = 5;н, + 5;пз +5[из Каждое преобразование (1а) задается формулами й(=а(гйг+аггьз+а!з„з, э[=а,гс(+аггез+агзхз, ) Ы = аз(6! + аз.ег+ азз[з н ти в матрн (но"! форме х'=Ак где для собственных вращений Так как рассматриваемая система координат является ортоиормирогаииой, действительная матрица А = [а!»[, описывающан каждое вращение, ортого.
нальна (А'А =АА'=А см. также и. 14.7-5), т. е. О, если (Фй, 3 ~П~ а!/а»/гт ~П ~а/!а/»=~ ' „') / 1 !=1 и каждый коэффициент а/» равен алгебраическому дополнению элемента а„( а определителе де! [а!»[, Любые три из коэффициентов аг» определяют все 9. Геометрически коэффициент а,» есть косинус угла между базисным век- 3 тором и! и повернутым базисным вектором и' =Ан = ~ХП~ а/»и/ (см. также /=1 п.
14.5-1): а,. =и,. ° и',=и (Ап ) (г', 5=1, 2, 3), (14.10-4) 14.10-2. Угол поворота. Ось вращения. (а) Вращение (1) поворачивает радиус-вектор х каждой точки трехмер. ного евклидова пространства на угол поворота 6 вокруг направленной оси вращения, точки которой инвариантны. Угол поворота 6 и направляющие косинусы сг, сз, сз положительной оси вращения определяются формулами 1 Г ! 1 ! 1 соз 6= 2 ~ТГ (А) — 11 2 )Тг (А) — 11= 2 (а !+а~з+азз 1) (14,10-5) а„— аы г„— и,( аг — а(г 2юпб ' З зг!пб ' З 2г>пб так что 6) 0 аюл!вггпгтзуг(п вращению правого винта. ггорачизагмого в направлении положительной оси вращения.
Либо знак угла 6, либо направление оси вращения могут выбираться произвольно. Нгпргзлснпг полсжнтгльпой осх зргщгплх — гтс игпргглгхнс собствсхногс вектора с,п( + с,нг + г,пю соответствующего собственному гнгчгнпю -!. 1 опгргторг А и находимого путем прзгедгпзг мгтрпчы А к дпггопглыюму виду (и.
14.в-б) Остальными соб. ствелвымв знгчевпгмл опгргторг Д являютсв сог б (- ! Йп б = г— Сй/б 14 !О, МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ВРАЩЕНИИ !4.(е-б. 448 ГЛ, 14. ЛИНЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ !4.!0-2. (Ь) Матрица преобразования А, соответствующая данному вращени'о описываемому числами б, с„сз, сз, есть (га!! аы а!2(( А ~а„азт атз~= аз, азз а,з 7! оо( (сза гзсз ггса(( ! О 0 ! 0 +(! — соз б) сзс! гзз сзгз +мп б гв 001 СС г Сз Ст — Сз — с. ~А 0 — сз), (14.10-6) с, 0 14.!0-8. Параметры Эйлера и вектор Гиббса. (а) Четыре симметричных параметра Эйлера Л=с, з(п —, !1=с, з!п —,, у=газ(п —, р=соз— (14.10-7) 2' (Лз+ р2+ та + рз — 1) однозначно определяют вращение, так как из равенства (6) следует.
сЛ2 — рз — '+р' 2(Л вЂ” р) 2( Л+рр)(, А = 2 (ЛИ+ тр) рз уз Лз+ра 2 (рч Лр) (14 1О 8) 2 (чЛ вЂ” рр) 2 (ру+Лр) тз — Лз — уз+уз,] параметры Л, р, т, р и — Л,— р,— ж — р представляют одно и то же вра- щение. (Ь) Вектор Гиббса С = 6,и, + 62из-(- 6зиз, где б А б и, 6 =с 16--=-, ~з=сз~й — = — ' 1 ! 2 р' 2 Р б т, 6,=с.(й;-— р таки(е однозначно определяет вращение. Повернутый вектор сать в виде х'=Ах=с(н' — [(! — ] 6 [2)х+2(6 ° х) 6+26 Х х].
(14,!0-9) х' можно запи- (14.10-10) 14.10-4. Представление векторов и вращений спиновыми матрицами н кватернионами. Параметры Кэпи — Клейна. (а) Если задан ортонормнрованный базис и,, и„и,, то каждый действительный вектор х=5!из+бааз+баяв может быть представлен (вообще говоря, комплексной) эрмитовой матрицей размера 2 у( 2 Н вЂ” [ьз Б! сэз) — $ $ Н О Ц (Ь +!Сз -ЬЗ где эрмитовые спиновые матрицы Паули $ =( ) $2=( ) $ =-( ) (14,10-12! соответствует базисным векторам и„из, ив. Соответствие (11) является изоморфизмом, сохраняющим результат сложения векторов и умножения векторов на (действительные) скаляры. Для каждого вращения (1) вектор вращения х' = Ах = 6 !из-[- сь„'из -(- й;ив представляется матрицей О ы$1+ в2$2+ и $2 (7Н( где (7 — (вообще говоря, комплексная) унитарная матраца равным ! (уннмодулярная матрица); (14.10-13) с определителем, (б -Ь), ( Ь( где а=р-(-(о, Ь=р-(-(Л, ) а,"-1-(Ь)2=Л2+((з+тз+Р2=1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
