Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 101
Текст из файла (страница 101)
Важная задача нахождения собственных векторов у ф ц!! н +02 и +...+ц!! ал (1! ((! О) (!1 и соответствующих собственных значений Л! оператора А в точности эквива. лентна каждой из следующих задач: 1. Найти каждый вектор уф О (т. е. его координаты ц!), для ко~оро~о принимает стационарное значение. Эти стационарные значения у=у'!' (у(!1, ду(7!) определяют Л! как отношеаие (у((Л у((! 2. Найти каждый вектор у, для ноторого форма и л (у АУ) — = у'Лужи ~" ~Л ~ашэйтб, !=! а=-1 принимает стационарное значение прн условии, что л (у у) = у у= л.л [ц! Р=1 (=! Эти стационарные значения у=у'1' определяют Л! — — (у((), Ау(!!).
3. Найти казкдый вектор уф О, для которого скалярное произведение (у, у) принимает стационарное значение при условии, что (у, Ау) 1. Эти стационарные значения у'!' дают Л)= (у(П у(П) ' Пусть собственные значения оператора А занумерованы в порядке возрастания, причем собственное значение кратности т повторяется т раз: Лгп ~ Ц = ... ~ Ллг Наименьшее собственное значение Л, равно минимальному значению «нотного Релея (15) для процчзолького вектора у ш 77. г-е собственное значение Л в этой последовательности подобвьш же образом меньше или г равно частному Релея для всех ненулевых векторов, ортогональкых ко всем собственным векторам, соответствующим собственным значениям Л,, Ле, ..., Л Число Л есть максимум минимума и!и (у, Ау)((у, у) для произвольных Усе Нг (г — !)-мернь!х надпространств Лг пространства 77 (принцип минилшкса Куранта).
последние теорелгы можно высказать н для эвдач 2 н 3, к длн мы!самумов вместо минимумов, заметим, что минимум в задачах 1 н 2 соответствует максимуму в задаче 3, н наоборот. Зрмнтава фарид (у, Ау) обычно имеет прямой фнзнческнй смысл. Задача 3 собственным значениям оператора А ставит в соответствне главные осн некоторой поверх. ности второго порядка (см. также пп. 2.4.7 н 5.5-5). (Ь) Обобщения, Теория и. 14.8.8, а может быть распространена на <обобщенную» задачу о собственных значениях, определяемую условием Ау = ') В большинстве прнложеннй для удобства берут ортонормнрованный базнс; в общем случае нужно только в равенствах (15! — (17! сделать замену (у, Ау! — р БАр н (у, у)еш р'Бу, 14.2-9.
14.5. сОБстВенные ВектОРы линеиных ОпердтОРОВ 441 РВу, где А — эрмитов, а  — положительно определенный эрмитов оператор (п. 14,8-7). Нужно только в формулировке каждой задачи из п. 14.8-8, а заменить (у, у) на (у, у)в=(у, Ву). При этом частное Релея (15) заменяется отношением (частное Репса для <обобщенной» задачи о собственных значениях). Аналогнчные теоремы справедливы н длв подходчн(нх классов операторов в гнльбертввых пространствах; в этом случае формм (у, Ау), (у, у! н (у, Ву! могут окаэатьса не суммамн, а ннтегрзламн, так что задаче о стацнонарных значенплх вз и. !4.5-5, а превра.
щаются в варнанновные задачн (и. !5.4-7!. 14.8-9. Границы для собственных значений линейных операторов (см. также п. 15.4.10). Для исследования собственных значений часто оказываются полезными следующие теоремы. (а)(4 Для кол<дога собственного значения Л ликгйнога олгршлора А, представляемого матрицей А: — [аш[ размера л Х л, Для действительной и мнимой частей характеристических чисел имеют место оценки; пип [Ксан — Р([~КеЛ( шах [Кеан-1-Р;), 1 ! л 1 ! л ш!и [1тон — Р([ ( 1ш Л» !пах [1шан+ Р([, 1 ( л ! гтл где Р;= ~~ ~ ау!. В этих оценках Р( мОжно ЗамеыитЬ на (г(= ~ ! ! аг! [, 1=1 1=1 ! вь! 1 Эе! Если дополнительно предположить, что , 'ан ~ ) Р; для ! =1, 2, ..., л, то (Величины Р( могут быть заменены на ()!.) Лейстеилмльчал «тть Явь лежит между наименьшим и неибсл! шим себстлгнными ! значениями матрицы Н,=- — (А+А'1, в мнимая часть !ша — мсждс наимтьшчм и 2 1 шлибельшим себсттнкыми зна!ечилми матрицы Н, —.
(А — А') (см. такзке и, (Зли<, а). 21 (Ь) Для врмитоеых матриц и операторов (с) Теоремы сравнения. Пусть рч(ра(...~ р„— последовательность (с учетом кратностей) собственных значений коиечномерной зада и о 442 ГЛ. 14. ЛИНЕИНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 14.8.19. 14.9-2. 14.9. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ 443 Эти ограничения обычно принимают внд т независимых линейных уравнений, свяаывающих векторные координаты 9)1. Эти теоремы припекими к операторам о гильбертовил лростраяствок, если А и В- положитежно опреде пикие олеротори, дающие дискрет кую последовотельяость и„и, с коке«кими «роткостями.
14.8-!О. Неоднородные линейные векторные уравнения (см, также пп. 1.9 4, 13.3-7 и 13,4-12). (а) Если А — ограниченный линейный оператор в гильбертовом пространстве, то векторное уравнение Ах — )ьх =1 (14.8-22) имеет для каждого данного вектора 1 единственное решение х в том и только в том случае, если скаляр А не принадлежит спектру оператора А (и. ! 4.8-3, 6). Если й есть собственное зиаиеииг )и оператора А е смысле равенства (2), то уравнение (22) имеет решение только э том случае, если данный вектор ! ортогоиалси каждому собстгеииому вектору оператора Ав, соответствующему собапгеииому значению йм В этом последнем случае существует бесконечное множество решений: решением является каждая сумма любого частного реше.
ния и произвольной линейной комбинации собственных векторов, соответствую)цнх собственному значению йи (Ь) В важном частном случае Ах= 1, (!4.8-23) где А — ограниченный нормальный оператор, единственное решение х для каждого данного вектора 1 существует в том и только в том случае, если из Ах=О следует х =О, т. е. если А — невырожденный оператор. Если А— вырожденный оператор, то уравнение (23) имеет решение только в том случае, если вектор 1 ортогонален каждому собственному вектору опсратора А', соответствующему собственному значению нуль. (с) Для эрмитова оператора А =А*, имеющего ортонормированну)о систему собственных векторов уво для которых 1= ~ (уй, 1) уь, решение уравнения а=! (22) дается формулой (эь ') х= ~ — уь, а=) "2 ' (14.
8-24) где ла — (не обязательно различные) собственные значение, соответствующие каждому вектору уй. собственных значениях (10), где А и  — эрмитовы операторы, причем В является полонгительно определенным. Тогда: 1) прибаолеиие положительно определенного зрмитоеа оператора к А ие может уменьшить ии одно из а>бстэгииых эиачсиий р е зп>ой последовательности; 2) прибавление положительно определенного эрмитова оператора к В ие может увеличить ии одно из собственных значений РА 3) если оекторы у рассматривать только э некотором (п — т)-хорном подпрогтраиспме пространства 7(, то и — т собственных эиоыиий Р) ~ р)~ ...( 11п задачи, получаемой при таком ограничении, будут удоплетеорять соотношениям Р ~ Ре(Р, (г=1, 2, ..., п — т).
(14.8-21) 14.9, ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ 14.9-1. Представления групп. (а) Кпждал группа (и. 12.2-1) может оыть представлена гомо>>орфизмои (п. 12.1-6), отображающим сс в группу исвырождсииых линейных прсоГ>раэогаиий неко>порога векторного пространства (представлпющего пространства, пространства-носителя) и, слсдовптельио, г некоторую группу ишырождсииых лвап)рий (это — одна из форм теоремы Кзли, сформулированной в п, 12,2-9, Ь).
Представление степени или размерности п группы 6 в поле Р есть группа матриц А, В, ... размера пхп над полем р, связанная с элемснтаын а, Ь, ... группы 6 гомоморфизмом А=А(а), В=В(Ь), ..., так что из аЬ=с для нссх а и Ь иэ группы 6 следует, что А (а) В (Ь) в 6(с) (условие представления). Число и равно линейной размерности представляющего пространства. Представление называется точным (истинным), если оно взаимно однозначно (и, таким образом, является изоморфизмом, и. 12.1-6). Каждая группа допускает г кгтестве прсдстиелтощсго пространства некоторое колтлексиое векторное пространство, т. е.
каждая группа имеет предспиылеиис в поле комплексных чисел. Такое представление позволяет описать определяющую операцию произвольнои группы в терминах сложеьия и умножения чисел (см. также пп. 12.1-1 и 14.1-1). В большинстве приложе- ний речь идет о группах преобразований (п. 12.2-8; примеры см в п, 14.10-7). Каждая группо а, а, ..., о коксового порядка й допускаип то«иое представление, содеРжаЩее й ликедио кезовисимык матРич леРестоиовки (и. 12.28) А. (а.)=.. [ош (а,)), 1' 2' '"' 1' опредгляемих условиями а,.ь(а)) =-(1 ' ( а ' ) ((, (, 2=1,2, ..., 9), ( 1, еспп о( а.о =Е, 1 (14.9-1) О в протквнои случае еде Š— едииивяый злемект дп иой группы (реголярпое предстовлепис ко~ечкой группы).
таким образом, каждая конечная группо изоморфко некоторой группе персстоповок [си. также и. 12.2-8). (Ь) Два представления агу н еЯ,' группы 6 называются подобными или вквивалеитиыми, если все пары матриц А (а) представления аж и А (а) представления ейр связаны одним и тем же преобразованием подобия (п. 13,4-1, Ь) А =ТчАТ. В этом случае говорят, что матрицы А (а) и А (а) описывают одно и то же линейное преобразование А(а) представляю)цего пространства, общего для еЯ7 и агг (см. также п. 14.6-2). Представление егх называется ограниченным, унитарным и(или ортогональным, если соответствующим свойством обладают все его матрицы. Каждое представление конечной группы и каждое унитарное представление огрпиичгио. Для каждого ограниченного предыпавлсиик сущестсует эквипплеитиое унитарное представление.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
