Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 98
Текст из файла (страница 98)
В частности, множество ограниченных (в смысле п. 14.4-1] линейных (и однороднах) скалярных функций ц)(х) (линейных функционалов), определенных на нормированном агнторном пространстве 77, составляет. полное нормированное векторное лространстао 77«, сопряженное (дуальное, двойственное) к пространапау 77. Пусть х'=Ах — ограниченное линейное преобразование пространства 77 в какое-либо другое нормированное векторное пространство 77'. Тогда условие ер' (х') аы (р' (Ах) ыа !р (х) (14.4-15а) определяет ограниченное линейное преобразование !Р=А»ер' (14.4-155) пространства 74'ь, сопряженного к 7»г', в пространство 77», сопряженное к 77.
Оператор А* называется сопряженным оператором к оператору А; имеем (! А*(!=!! А !!. (14.4-!6) Заметим, что (А')', вообще говоря, не совпадает с А. (Ь) Каждую ограниченную линейную (однородную) скалярную функцию !р (х) (линейный функционал), определенную на гильбертозом пространстве 77, можно предстазить в виде скалярного лроизаедения !р(х)=(п, х), (!4.4-17) где п †некотор вектор из 77.
Соответствие между векторами цг из Уа н векторами и из 77 является изоморфизмом, и на основании п. 14.4.1 ((цг(х)(! — зпр !р(х) — !(н((, (! 4. 4-18) )хэ=-1 н следовательно, это соответствие является изометрией (пп. 12.5-2 и 14.2-7). Поэтому гильбертово пространство является самосопряженным, т. е. оно изоморфво и изометрично сопряженному к нему пространству. Определение оператора, сопряженного к линейному оператору в гильбертовом пространстве, можно тогда свести к простому определению сопряженного оператора, приведенвому в п. 14.4.3. 14.4-10. Бесконечно малые линейные преобразования (см.
также пп.4.5-3 и !4.10-5). (а) Бесконечно малое линейное преобразование (бесконечно малый линейный оператор) в нормированном действительном или комплексном векторном пространстое имеет вид А=(+еВ, (14.4-19) где  — ограниченный оператор, а ~ е !а пренебрежимо мало по сравнению. с 1 (обычно е — скалярный дифференциал), т. е. (е)2-0. (Ь) Для бесконечно малых мгнейнах преобразовании А=!+еВ, А,=!+е,В, А,=1-! в,В, А '=! — вВ, А,Аз=1+(е,В,-)-е,В,)=А,А,, имеем (14.4-20) Бесконечно малые линейные прсобразоаанил (оператора) псрестаноаочна (с) Бесконечно малое линейное преобразование А=1-1-еВ о уншаарном гекторном пространстге яллястсл униеаарнам э том и только з том случае, г ели оператор еВ косозрмитоо. Бесконечно малое линейное ареобразогание А=(+еВ в дейстгитгльном унитарном лгкторном аространстае лаллгтся ортогональная з том и только з том случае, если оператор еВ кососиммгтричгн. 14.5.
МАТРИЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЕКТОРОВ И ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ (ОПЕРАТОРОВ) !4.5-1. Преобразование базисных векторов н координат векторов: «активная» точка зрения (см. также п. 14.1-3). Рассмотрим конечномерное') действительное или комплексное векторное пространство 77н с системой координат, опрсделяеыой д базисными векторами е„ ею ..., е„ (п.
14.2-4). Каждый вектор к=5!с)ц-5»еа+...+5„ел= ~р ~5ьеь Ь=) (14.5-1) а каждый вектор х ~ уйн — в соответствующий вектор х' С 7(н) х'=Ах=А ~ 5ьеь= ~ , '$ьеь= ~ 5;ер Ь=) Ь=! 1=! (14.5-3) Коордннаты $,' вектора х' и координаты 5а вектора х отнесены к одному и тому же базису е), е„..., е„и связана и линейными одаородными соотиошснияыи преобразования К=амйа+агась+...+огас„ 5'„= а»757+ ааааа+" + аан5„ (аргобразозание координат згхтород, аахтианахь (14.5-4) точка зрения). 5а=анг57+ана5»+ "+аннан ') Теория пп. 14.5-! — 14.7-7 ьраыеааыа и а а«которым беькоаечаоыераыы аентьраыы прььтраастааы (аа.
!4.2-4 — !4.2-7, щ. Такие пространства должны допускать оаределааае счетных ба»исоа (о. 14,2-4), а также ортоаориароааааых базисов (а. 14.7-4! и сходамоста (а, 14.2-7), так что сунны вроде тоа, ко»ораз рассыатраааьтса а (1), арьарьщаютса ь сход»щи««а бе«коз«чань ряды. В ныгннеетн, юле енраеедлиео длл «ел«ого се«ар«бел»неге газ»бертье нрееаранеюеа (а 14.2-7, с). Векторные простРанства, ае допускающие счетвыа ба»исоа, могут быть предста»ленд подходащвыа аростраастаамй 4гувкцна (а, 1б.2-!). описывается своими координатами 51, 5», ..., 5н. Линейное преобразование (оператор) А в пространстве Ън (п. !4.3-1) переводит каждый базисный вектор еь в соответствующий вектор е(,— — Ась=а!де!+ааааа+...+аллен= лг,' а;ае! (А=-!, 2, ..., и), (14.5-2) 1=1 146.
3АменА системы кООРдинАт 14.6-1. (!4.5-5) х'=Ах й х= ~ й!е)=. ~З ~6»е». (! 4.6-2) 51 =)1161+Ыя+ "+ 1„$, ьх 1219! + )2262+ " '+ 12 Дл (преобразование коорди. иат алкглоролг «лассианаля точка зрения) эквивалентна матричному уравнению ьл глгьг+)л291+ -+)ллсл пли в матричной форме (1 4.6.3) ам| ажя .. ашл хл Ь,л 426 гл. !4. линепные пространства и преоерйзовлния 14л-ш 14.5-2. Матричное представление векторов н линейных преобразований (опеРатоРов).
ДлЯ каждого данного базиса е,, е,, ., ел в пРостРанстве игл! 1) векторы х =51ех+$2ех+...+Елея в угл взаимно однозначно представляются матрицами-столбцами ( 6» ) (и. 13.2-!); 2) линейные преобразования (операторы) в 77л взаимно однозначно представляются квадратными матрицами А = [а;»[ порядка л, определяемыми в (2) илн (4). Соответствие между векторами и операторами и указанными матрицаыи есть изоморфизм (п. 12.1-6): суммы и произведения, содержащие скаляры, векторы и операторы, переходят в авалогичиые суммы и произведения матриц.
Тозндествеипый оператор переходит в единичную матрицу, а обратный оператор — в обратную матрицу; вевырождеиным операторам соответствуют невырозгденные матрицы, и наоборот. В частности, бескоордииатное векторное равенство представляется в базисе е„ ем ..,, ел матричным равенством ам а12 ." ахл 62 аи аю " аз«62 х'= (14.5-6) которое эквивалентно л соотношениям (4); произведение линейных преобразований А и В представляется произведением соответствующих матриц А и В.
3 л м е ч л я н е. Пряобрлхоялякя л-меряого яякгорклго лросгрлясгяя 74' я т.мерял« яекторяае пространство аг можне подобным жя образом лр«хсгяянгь млгркцхмя раз. Лг мера ш х л. Преобразования, сяязыллющяе дяя нейстянгельяых лекгаряых лросгрянсгля, всегда можно представить дяйсгяктельяымк ыатркцлмя, 14,5-3. Матричные обозначения для систем линейных уравнений (см, также пп, 1.9-2-1.9.5). Система линейных уравнений аых»=Ь; (1=1, 2, ..., т) (14.5-7) »=! а,г а12 .
" агл ь, аы "22 " аы хя Ья Ах= Ь нли Неизвестные х» можно рассматривать как координаты неизвестного для которого преобразование (8) дает вектор с координатами Ьо Есл ности, матрица [а!»[ не вырождепа (п. !3.2-3), то матричное уравнение едннствеивое решение х=Л 'Ь; грорыулз (9) эквивалевтна правилу Крамера (1,9-4). 14.6-4. ДЯЯДЛЧ«СКЛ« ЛРЕЛСГЛЯЛЕЛЯЕ Лкл«йЯЫХ ОПЕРатОРОВ. Ляя«йлмй ОЛ2РЯГОР Д л л.ыеряом векторном лросгряасгле мажет быть выражен л ляле суммы л ля«шлях лроняяяц«ялй ллр векторов !л лл«Ю ла слособу л.
!6.9-!. Соогяягсглую,цяя к«гркц« А ряямера л х л может быть ялалогячяо выражена я яядя суммы яяешяих лрояявгхяявй якр вглгряц-строк к мягряц-сголбцоя !«м. также л. 16.2.!0). 14.6. ЗАМЕНА СИСТЕМЪ| КООРДИНАТ 14.6-1. Преобразование базнсвых векторов и координат векторов: «пассивнаяя точка зрения (сы, также п. 14.1-3).
(а) Если дан координатный базис е,, е,, ..., ел в конечномерпом ') векторном л пространстве Ул, тотаектороо а» = ~Ч; аые;(»=1, 2, ..., т) лиигдио исаа!=! ацсимм (и. !4,2-3) а том и только в том случае, если матрица [аы[ и»мсгл лала т (см, также п. 1.9.3). В частности, для каждого координатного базиса ег, ея, ..., ел в угл ел = 1,»е, †,' 1,»е, +... + )л»ел = ~3 ~1;лег (» = 1, 2, ..., л), (14 6-1) где бе1 [1!») ~0 (лрсобразоламие базисных векторов).
Матрица Т вЂ” [1!»[ представляет (необходимо иевырождеиное) преобразование Т, связывающее старые базисные векторы е; н новые базисные векаоры е»=Те» (в смысле равенства (14.5-2)). (Ь) Теперь каждый вектор х ~ Угл может быть выражен нак через координаты $1 относительно системы ен так и через коордиваты $» относительно системы е». Координаты 5! и 5» одного и того !ке вектора х связаны л линейными одно. родными соотношениями преобразования г. Е-1 (нл-<) < - 1, 2, ..., п >; Ы - 1, 2, ..., и> ) га; ае,~< ба< [1( ] Н (Н.6-5) нлк -1 х=т х, и е",'= ~~ Ь, е<=АВА 'е,',=АВе„ ! =-1 (14.6-15) (14.6-16) (1 4.6-6) и следовательно, хсы=-АВх, хао=АВх, х =(ВА) 'х.
(14.6-18) (е, е, ...)=(е, е, ...) Г, (е[ е' , ) = (е, ез -) '<. (14.6-2! <Н,б->О> (Н.а-)!) где х = (е, е, ...) х=(е1 ее" ) х, х'=(е, ез...>х' (е; е'...)х <см также а. 16.6-2). где ') Сн. сноску к н. 14.5-!. 428 гл. !4. линвпныв прострлнствл и првоврдзовдния !4,6.2. Отысткм также обратные соотношення, вменко где Т.а алгебраическое допопненне элемента 1!Ь а определителе бе1 [(гл] (и.!.5-2). м— 14.6-2. Представление линейного оператора в различных базисах. (а) Рассмотрим линейный оператор А, представляемый натрицей А в базисе е,, еш ..., е„ (п, 14.5-2) и матрицей А в базисе е,, ела ..., е„ так, что для каждого вектора х'=Ах, х'=Ах, х =Ах.
Если дана матрица преобразования Т, связывающая базисы е) и ее, так что х — Тх, х =Тх (!4.6-7) (п. 14.6-1), то матрицы А и А связана преобразованием подобия (и. 13.4-1) А=Т 'АТ или А=ТАТ 1. (14. 6-8) Наоборот, каждая матрица А, саазапная с мшприцгй А преобразованием ладобия (8), предстаю)ягт тот же самый линейный оператор А в координатном базисе е,, еш ..,, е„. Если линейный оператор А в базисе ее и линейный оператор В в базисе еь=Тее представляются одной и той же матрицей, то В=ТАТ '. (Ь) Вге матрицы (8), представляющие один и тот же оператор А, илшют один и тот же ранг г, равный рангу оператора А (п. 14.3-2). След и определитель мшприцы А также леляотгя общими для всех матриц (8) и называются следом Тг (А) н определителем бе< (А) оператора А (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
