Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Заме«а за«темы зтэч*та ча«то упрощает хазэнз закачу (и р з м з р и: приведение з глазами осям, пп. 2м-з, 3 6-7, 9.4-6 з (УН-з; зззтаатзыа ар«зара»за»«за, за 16,2.6 а 1! 6-6, збзбщаззыз ззордзаатй з Ха«азизе.( 14.1-4. Инвариантность (см. также пп, 12,1-5 и 16,2-1; для более подробного рассмотрения отсылаеи к пп. 16,1-4 и 16.4-1). Функция координат, поставленных в соответствие некоторому объекту нли объектам, инвариантна относительно данного преобразования координат (!) или (2), если значение этой функции не меняется при подстзновке вместо каждой координаты х( функции х((х„ хз, ...) или х;(х„ х„ „.), Соотношение между значениями координат инвариантно, если оио сохраняет силу при любых подстановках такого рода. Инвариантность относительно преобразования координат «активного» типа интерпретируется в духе п. 12.1-5.
Функции н соотношения, инвариантные относительно какого-либо класса преобразований координат «пассивногоэ типа, можно рассматривать как функции от реальных объектов (иивариаитов), представляемых различными наборами координат в различных системах отсчета пли соответственно как соотношения между ними. Полная система инвариаитов (((хз, х„ ...), )2(х(, хз, ...), ... однозначно характеризует все свойстна объекта (х,, х„ ...), инварнантные относительно данного класса (группы) преобразований координат (см. также п.
12.2-8). 14,1-5. Системы мер. Представление модели, включающей два или более класса объектов, требует, вообще говоря, системы отсчета для ках(дога класса объектов; получающееся в результате множество систем отсчета называется системой мер. Изменение системы мер включает в себя преобразование координат «пассивного» типа для каждого класса объектов; обычно эти преобразования связыва(от таким образом, чтобы обеспечить иивариантность некоторых важных функций и(или соотношений (см, также пп. 16.1-4, 16.2-1 и 16.4-1). 14.2. ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 14.2-1.
Определяющие свойства. Как уже говорилось в п. 12.4-1, линейное ззкторноз лржтраигтао Ъ', состоящее из зектораз а, Ь, с, ..., иад нольцом (с единицей, п. 12.3-1) )(, состоящим из гкаляроз а, 6, ..., допускает сложение векторов и умножение аектороа на скаляры, обладающие следующими свойствами: 1. 77 есть коммутативная группа относительно сложения векторов: для каждой пары векторов а, Ь из 77 пространство 77 содержит их сумму а+Ь, причем а+Ь Ь+а, а+(Ь+с)=(а+Ь)+с.
Кроме того, У содержит нулевой вектор 0 и дла каждого вектора а противоположный вектор — а такие, что а+О=а, а+( — а) =а — а=б. 2. 7( содержит произведение аа каждого вектора в ш 77 на любой скаляр а ее 7«', причем (а())а=а(()а), !а=а, а(а+Ь)=аа-)-аЬ, (а+()) а аа+()а, где 1 †едини кольца )7. Отметим, что 0 ° а=О, ( — 1) а= — а, ( — а) а= — (аа). (14.2-!) Если специально не оговорено противное, то подразумевается, что все линейные векторные пространства, рассматриваемые в этом справочнике, явля- 4!6 ГЛ.
14. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 14.2-2. !4,2, ЛИНЕЙНЪ(Е ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА !4.2-Е. 417 ются действительными векторнымн пространствамн или же комплексными векторными простраиствамн, соо~ветственно определяеиыми как линейные векторные пространства над полем действительных чисел и над полем комплексных чисел.
В случае векторных пространств, допускающих определение сходимости (п. 14,2-7, Ь), неиоторые авторы называют совокупность векторов, обладающую описанными выше свойствами, линейным многообразием, а термин векторное пространство резервируют для замкнутых линейных иногообразий, т. е, линейных многообразий, содержащих все свои предельные точки (и. 12.5-1, Ь); в случае конечномерных многообразий зги два понятия равносильны (п, 14.2-4). 14.2-2. Линейные многообразия и надпространства в 77. Подмножество Л, линейного векторного пространства 74 есть линейное многообразие в 77, если 77! есть линейное многообразие над теи же кольцом скаляров, что и 77; 77! называется подпространством пространства 77, если оно является замкнутым линейным многообразием в 77 (см.
также и. 14.2-1). Собственное надпространство пространства 7( есть его надпространство, отличное от О и от самого 72. Любое данное множество векторов е,, ет, ... пространства 77 порождает (определяет) линейное многообразие, содержащее всевозможные линейные комбинации векторов е,, ез, ... П р и м е р: прямые лйиик и олоскости, проходящие через изчзло координат е трехмерном езклидбзбм пространстве. 14.2-3.
Линейно независимые и линейно зависимые векторы (см. также цп. 1.9-3, 5.2-2 и 9.3-2). (а) Конечное множество векторов аз, аз, ... линейно независимо, если иэ 1(та! + Хзаз +... =О следует, что А! = )сз= ... =О. (14.2-2) В противном случае векторы а„ а„ ... лмиейно зависимы и по крайней мере один из них, например ав, может быть выражен в виде линейной комбинации аь=~!Р(а( остальных векторов а! этого множества. Это, в частности, верно ! в том тривиальном случае, когда аь — нулевой вектор. (Ы Определения и. !4.2-3, в аримеиимм и к бескокеччми множестззм векторов з, з,, ..., если можно орииисзть смысл условию (2).
Вообще тозорз, длз этого требуется чтобм, аомимо алгебраических постулатов из и. !4.2-1, зекториое подирострзистзо дооус кала оирсделеине сходиаести (ип. 12.5.5 и 14.2-7, В). 14.2-4. Размерность линейного многообразия илн векторного пространства. Базисы н системы координат (системы отсчета). (а) Базис (линейный) линейного многообразия 77 есть такое множество линейно независииых векторов е„ ех, ... многообразия 7(, что каждый вектор и щ 77 может быть представлен в виде линейной формы а=я„ет-1-я е,-(-... (14.2-3) относительно базисных векторов е!. Каждое множество линейно независимых векторов образует базис линейного иногообразия, состоящего из всевозможных линейных комбинаций данных векторов.
(Ь) В иоиечиомериом линейном многообразии или векторном арострамстве, порожденном л базисиьши векторами: 1) каждое множество из л линейно независимых векторое является базисом; 2) никакое л(ножегтео из т ч„п векторов не является базисом; 3) каждое множество из тл ) и векторов необходимо линейно, зависимо.
Число и называется (линейной) размерностью данного векторного про..,' странства. Бескоиечиомерное векторное пространство не допускает никакого конечного базиса. (с) В каждом яействнтелыюм или комплексном векторном пространстве размерности и числа я(, сс,, я„являются единственными координатами вектора а=я,е,+...ц-сс„е„в системе координат (система отсчета), определяемой базнсвыми векторачи е(, ез, ..., е .
Отметим, что вектор а+Ь имеет координаты я(-'„-8(, а вектор яа — координаты яя! ((=1, 2, ..., а; см. п. 5.2-2). (й) Два линейных векторных пространства 77 и У' над одним н тем же колы(ои скаляров я, ((, ... изоморфны (п. 12.1-6) в том и только в тои случае, ссли между пимн иожно установить взаимно однозначное соответствие а-а', Ь вЂ” Ь', ..., при котором а+Ь вЂ” а'+Ь' и яа — яа'.
В случае коиечномгрчых в.*хтарных пространств для зттю кеобкодимо и достаточчо, чтобы 77 и У' имели одну и ту же лиисйиую размерность. В чзстиости, кзждое л.мерное действительное или комолеисиос векторное орострзистзо изомсрфио прострзистзу матриц-столбцов, имеюх(их л строк, соответственна изд полем действительных илз комолексиых чисел (латричлос аредстааленас, п.
!4.5.2). !4.2-5. Ноумированиые векторные пространства. !(ействнтсльнос или комплексное векторное пространство 77 называется нормированным векторным пространством, если для каждого вектора а ы 77 существует такое действительное число ((а!! (норма, абсолютная величина, модуль вектора а), что из а= — Ь следуст !) а,'1=-(! Ь) и что для всех а, Ь из ОО ((а() ='О, из ')а !=О следует, что а=О, ( яа()=! сс)!) а~, '( ()а+Ь)! ц-(!а(,-(-)Ь(! (неравеисглво Минковского).
(14.2.4) Единичный вектор есть вектор с единичной нормой (см. также п. 5,2-5). Отметк л, что )1 — а((=( а)! и !()О(',=О. 14.2-6. Унитарные векторные пространства. (а) Лействительное нли комплексное векторное пространство 77 называется унитарным (эрмптовым, предгильбертоеым) векторным пространством, если иожно определить бинарную операпию, ставящую каждой паре а, Ь векторов из 77 в соответствие скаляр (а, Ь) †скалярн, или внутреннее, произведение а и Ь, причем: 1) (а, Ь)=(Ь, а) (зрмитоеа симметрия); 2) (а, Ь+с) =-(а, Ь)-'-(а, с) (с)истрибу(лиеный закон); 3) (а яЬ)=я(а Ь) (ассоциат!юный закон) !) 4) (а, а) )О; из (а, а) =О следует а=й (лоложительиая определенность).
Отсюда следует, что в каждом унитарном векторном аространсслее (Ь+с, а)=(Ь, а)+(с, а), (оса, Ь)=я(а, Ь), (14.2-5) ! (а, Ь),':(а, а) (Ь, Ь) (иераесиство Коши — Шварца). (14.2-6) )(ераеенстло Коши — Шварца (6) (см. также п. 1.3-2) превращается е раееийтво в том и только в том случае, если а и Ь линейно зависимы (см.
также пп. ! Л-2, 4.6-19 и !5.2-1, с). (а векторы ах, аг, ..., ат прытраиства 77 линейно незыисимы в том и только в том случае, если определитель де( ((аь аАЦ т-лорядка (определшлель Грима, сз!. также 5.2-8 и 15.2.1, а) отличен от нуля. (Ь) Если уишпармое векторное ярос!пролетно действительно, то все асалярмые произведения (а, Ь) действительны, и скалярное умножение векторов коммутативно, так что (а, Ь)=(Ь, а), (яа, Ь)=я(а.
Ь). (14.2-7) 3 з м е ч в и и е. Используемые е теории отиосительиости лрестролстеа с еквтрслиил лрсьгведснием с лсолределсхной метрикой являются деястзительимми или комплексимми векторными пространствами, допускающими ооределеиие скзляриого произведении ') Нскоторме авторы вместо этого требуют, чтобы (аз, Ь) а(а, Ь), чтч сводится к осрестзчозке з и ь з оирсделеиии произведения (а, иЬ тогда (а, аЫ а (а, вй 14 Г. Кори и Т. Кори 418 тл. 14. линейные пРОстРАнстВА и пРБОБРА30ВАния 14.2-2, 14.3-2.
113. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ (ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ) 419 Игп 1з„— зш)=О (последовательность Коши, фундаментальная последовательность, см. также п. 4.9-1), сходится к некоторому вектору з ее 74. Полное нормированное векторное пространство называется банаховым и остранством. Каждое конечномсрнос нормированное векторное просп)раистьо прост нс является полным. (Ь) Каждое унитарное векторное пространство позволяет формулаьщ 1 а (! )г (а, а), й(а, Ь)=()а — Ь!)=Тг(а — Ь, а — Ь)г (в, Ы сову= —, |а!)|Ы (14.2-8) ввести норму (абсолютную величину, модуль) (а! каждого вектора а, рассто.
янис й(а, Ь) между двумя стачками» а, Ь из 74 н угол Т между любыми двумя векторами а н Ь. Функции !)а(! и Й(а, Ь), определенные в (8), удовлетворяют всем условиям пп. 14,2-5 и !2.5-2. Есле уу — действнтельхое укхтхрхое векторное прсстрхксгво, то сох т — действетелькое чясхс клх всех а н ь я в силу неравенства (6) кошя — шьхрцх — 1 ( сох у ( 1, (с) Конечномерные действительные унитарные векторные пространства называются евклидовыь(и векторными пространствами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
