Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Они являются сгларабглькыми, полными и локально компактными (п. 12.5-4) н служат моделями для и-мерных евклидовых геометрий (см. также главы 2 н 3 н пп. 5.2-6 Полное унитарное векторное пространство называется гнльбертовым пространством '). Все полные пространства последовательностей и функций, перечисленные в табл.
12.5 1, являются гильбертовымн (а потому н банвховымн) прострапствамн. ') Н орые »вторы рахьше требовали, чтобы каждое гильбертово пространства было хе тол»хо полным, хс х сепарабельмым (к. 12 6.1, Ь); ххогда р ехог гмльбе товым зазы»»юг гохько бсскохечхомсряое полное унитарное прострьнство.
!а, Ы удовлетворяющего условиям (1) — (3), хо ке удовлетворяющего условию (4) цз а. 14.216, а. Все векторы такого црострхцства могут быть покрхзделеиы ка векторы с положительным, отркцательхым или еулевым квадратом (х, в). Полагают|а|=у!(е, в)(!. См. также цп. 14.2-6 к 16.8-1. 14.2-7. Норма, метрика и сходимость в унитарных векторных пространствах. Гильбертовы пространства, (а) Каждое нормированное векторное пространство (и. РЪ2-5) является метрическим поостранством с метрикой й(а, Ь)=))а — Ь|((п, !2.5-2) и в нем (как и в п. 12.5-3) можно определить окргстнгкти н сходимость (см. така(е п. 5.3-1).
В этом смысле ряд аз+в,+а,+... сходится, и его сумма равна х СО вектору 3 |пп ~ аь= ~д ! аь пространства 74' в том н ~олька в том слух сов=а З=О л чае, если 1|щ ! 3 — ~ ', вь ~ =О. л»со! Ь=о Нормированное векторное пространство является полным (п. 12.5-4) в ком н только в том случае, если каждая последовательность векторов зе, 31, зз, ... пРостРанства 74', УдовлетвоРЯющаЯ Условию Гильбертовы пространства сохраняют многие свойства евклидовых про. странств. В часткостн, каждое сгпарабехьног (и. 12,5.1) бгскокгчномсрног дгйс)пзилмльног или комплексное гильбертово пространстго изоморфно и изомгт.
рично пространству Р гоотггтстсгнно действительных или комплексных бесконечных последовательностей (сх, 5, ...), для которых сходится ряд ()(6! 5ш " ) )~=(6! ~+!»з !»+,. (табл. 125-1). Поэтому ках(дому вектору пз сепарабельного бесконсчномерного гильбертова пространства можно поставить в соответствие счетное множество координат. Кагхгог хсдлро шрахгюво гих»берто»а хрссшраксюга хггх тгх холе»» гго ходлрсгшрснгхаом (см.
также п !4.2-2) х, такхм образом, к само я»лается гхл берто»им црострхнстссм. 14.2-8. Теорема о проекции. Е(гли заданы лроизгогьный вектор х унитарного гжтзрного лросгпртисагга Л и полное гго лодлрастранстго 74'1, то сущегтзугт гдшютггниый гектор у=х, из )41, реализующий минихсум расстояния !,'х — у!', для всех у из У(!. Кроке лгсго, хр является единственным веюлорая у из Л), для которого разность х — у ортогонахьна каждомд гектору х, из Аг„гп, г. (х — х„х,)=0 (х, из Л!) (14.2-9) (см. так)ке п. 14,7-3).
Отображение х — хр есть ограниченный линейный оператор (и. 14.4-2), называемый ортогональной проекцией пространства 74' на 741. 1сорсма о проекции чрезвычайно важна для практики, потому. что условие (9) определяет оптимальное приближение вектора х вектором у нз сболее простого» класса 741, если погрешность приближения измеряется числом()х — умд г(' П р к м е р ы: Проекция точек ка плоскость в евклидовой геометрии, сртогокхх»- «ые ириблхжеяхя (цп.
16.2-3, 13,2-6, 20.6-2 н 20,6-3), средняя квадратическая регрессия (и. 18.4.6) 14.3. ЛИНЕЙНЪ|Е ПРЕОБРАЗОВАНИЯ (ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ) 14.3-1. Линейные преобразования векторных пространств, Линейные операторы. Пусть 77 н У' — линейные векторные пространства над одним и тсч же полем скаляров а., 5, ... Тогда (однородное) линейное преобразование пространства 74' в пространство У' есть отображение к'=1'(х) ив е Ах, (ЬЪЗ П ставящее каждому вектору х я Л в соответствие некогорый вектор х' я Уг' так, чго при этом сохраняются слинейные» операции сложения векторов и умножения векторов на скалярьс 1(х-1-у)=1(х)+1(у), 1(ах)=с!|(х).
(14.3-2) Каждое линейное прсобразование может быть записано как умножение вектора на линейный оператор А (линейную операцию), причем А (х+ у) ьж Ах+ Ау, А (ах) ив м а (Ах). (!4.3-3) Линейное преобразование (опгратор), отображающее линейное веюпорнос лростраистео 74 з себя, назызас(пся линейным оператором в пространстве 7(. Функция 1(х) =Ах+ х' хххыххстся хнкейяой векторной функцией. Прх зхлвкхх каждого линейного оцср»тор» должна быть укххахх область его сорсдслехнх. В фхзккс первое нз соатхошеххй (3) цвета кхзыхают прехцкпом суперпсзкцхх для дхнхсгс класса сперацхя.
3 2 Множество значений яд н ратора) А(ножгство зиаг ний линснного преобразования А (образ при преаб разовании А, п, 12.1-4) линейного векторного пространства 74' в линейное 14* 420 гл. 14. лннепные пнострднствд н ппеоэплзоидння 14 4-3. НЛ ЛННЕННЫГ ОПГРАТОРЫ В НОРМНРОЕЛННОМ ПРОСТРЛнствп 42! векторное пространство 77' есть линейное многообра ( . зие (п. 14.2-2) в 77'. Ядро линейного преобразования А есть многообразие в е в 77, состоящее из всех векторов, отображающихся в нулевой вектор пространства 77'. Ранг г и рази'упасть ядра г' линейного преобразования А ' Е и ные размерности (и, 14.2-4, Ь) множества его значений и его ядра. ели имеет конечную размерность л, то множество значе и! р ного преобразования А являются лодлространслиами, и г-(-г'=л.
14.3-3. Сл ение и умножение на скаляры. Нулевое преобразование. (а) Пусть А и  — линейные преобразования (операторы), отображающ ож жа ие и' й'. Т пре еленню А ь В и яА — линейные преобразования про- странства 77 в 77', прй которых (А -«! В) х=Ах -«- Вх, (яА) х= я(Ах) для всех векторов х «н 77. ' оп е еляется словнем (Ь) Нулевое преобразование О пространства 77 н 77' определ у Ох= О для всех векторов х щ 77, где 0 †нулев вектор пространства 77'. 14.3-4. Произведение двух линейных преобразований (операторов). Тож- дественное преобразование.
ее 77 в 77', ( ) П А — линейное преобразование (оператор), отображающее в и  — линейное преобразование, отображающее 77' (множество знзченн" р- йпе- образования в ". Ра з А) 77'С Произведение ВА есть линейное преобразование про. странства в ", получ 77 77", и лучающееся, если последовательно произвести преобра- зования А н В (см. также п. !2,2.8): (ВА) х = В (Ах).
(14.3-5) (Ь) Тождественное преобразование 1 любого векторного пространства 77 переводят каждый вектор х «ж 77 в себя: !хых, ГА=А(=А, (14.3-6) где А — линейное преобразование пространства 77 в 77', а ! и à — соответ- ственно тождественные преобразования этих простран ств. !4.3-5. Йевырожденные линейные преобразования (операторы). Обратные п еобразования (операторы). Линейное преобразование (оператор) А называ( обе ным), если оно взаимно однозначно отображает п остранство 77 на все пространство 77' (пространства 77 и 77' в этом случае «Ь , . 14.2-2). Преобразование А является невырожден- ным в том и только в то том случае, если оно имеет единственное обратное преобразование (о ратны ( б й оператор) А ', отображающее 77' на 77 так, что из х'=Ах следует х=А «х', и наоборот, или АА «=Г, А «А=1, (Нй3-7) где ! и !' — тождественные преобразования соответственно в 77 и в 77'.
П изведения и обратные преобразования невырождгниых лргобраз«наний (операторов) являютея невырожденными« если А и В не в р роизве ения и о ра В не вы ождепы и я -'О, то (АВ) «=В «А «, (яА) «=с« «А ', (А «) «=-А. (14.3.8) Невьцюжденные линейные преобразования (операторы) сохранлют линейную независимоаль вект р то ов, а потому и линейные размерности отображаемых многообразий (пп.
14.2-3 и 14.2-4). Лине яос лре раюв я оо й обряювание (олеоотор) А, определенное на кояечномгрнои л, и вгхн1орном прост!«ояств', тве, яевырожосгно в том и л«олька в том с учае, гол из Ах=О следуео! х=б, т. е. если г=л и г'=0 (п. 14. - ).
14.3-6. Целые степени операторов. Пусть А — линейный оператор в лине- ном векторном пространстве 77. По определению А = 1, Аз= ААА, ... н, если А — невырожденный, А Р=(А ')Р=(АР) «(р=1, 2« ...) С аведливы обычные правила действий со степенями ( (см, также п. 12А-2) правед ! 14РЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В НОРМИРОВАННОМ ИЛИ ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ. ЭРМИТОВЫ И УНИТАРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ((А((= зир """' = внр (!Ах((. хщ77 )х! !!х)=1 ' х=,ьо (14.4-1) Отметим, что (( А (! ~ О, (( яА (', = ! я ( (1 А ((, (( А+ В (( = 1', А 1+ (( В ((, ((АВ!( ((А(()В((, ((А (( (,:А(((( (!. (14.4-2) Каждое линейное преобразование (оператор), определенное на конемиомеряом нормированном векторном пространстве, ограничено. кЛинсйное преобразование А нормированного векторного пространства Л в нормированное векторное прострзнство 77' непрерывно, есля оно непрерывно как отображение метрического пространства 77 в мегрическое пространство 77' (см.
пп, 14.2-7 и 12.5-3, ЬЬ Линейное преобразование одного нормированного векторного пространства в другое нелрерьмно в том и только в том случае, если оно ограничено.44 Если 77 — унитарное векторное пространство (п. 14.2-6) и А — линейный оператор в 77, т. е. оператор, отображэ«ощий 77 в себя (и. 14.3-1), то А(1= зир —,,' = зир ((Ах!(=- ! Ах,!! хщс«!'х!! !х1=! хэьо = знр . ', = зпр ((х, Ау),'. !«х, Аг! ' хзеа !х!!" 1 !х! !у(=! ' (ЬС4-3) з;"о 14.4-2. Ограничемные линейные операторы в нормированном векторном пространстве. (а) Ограниченные линейные олералюры А, В, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
