Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 100
Текст из файла (страница 100)
Каждый многачлен 7(А) (п. 14.4-2, Ь) имеет сабстеенное значение 7(Л) (см. также п. 13.4-5, Ь). Все зти функции от А имеют те же собстеенные векторы, соотгетппвующие указанному собственному значению, «та и А. (д) Спектр линейного опер втор а. Спектром ограниченного линейного оператора А в банаховои пространстве (полном нормированном пространстве, п. 14.2-7, а) 74' называется множество всех комплексных чисел (спектральных значений, собственных значений Я)) Л, для которых векторное уравнение Ах — Лх =1 не имеет для кан(дога вектора 1 единственвого решения х =(А — Л1) Ч (ся(.
такх(е п. 14.8-10). Оператор (А — Л)) Я (резольвентиый оператор, резольвента) для я(ножества зна)ений Л, пе принадле)кащих спектру оператора А, определен и ограничен на всем пространстве 7«л. Спектр можно подразделить на 1) днскреп(ый спектр (точечный спектр), определяемый равен. ствол (2) с собственными векторами у ьь 0; 2) непрерывный спектр, состоящий из тех спектральных значений Л, для которых оператор (Я вЂ” Л1) я имеет область определения, плотную в 7«', и неограничен; 3) остаточный спектр, состоящий иэ тех спектральных значений Л, для которых оператор (А — Л1) ' имеет область определения, не плотную в 7(, и неограничен. Спектр ограниченного линейного оператора А содепжнт его предельный спситр, определяемый как множество всех когхплексных чисел Л, для которых существует такая последовательность единичных векторов ия, нз, ..., что );(А — Л1) ня))«1(л (л=1, 2, ...).
Предельный спектр содержит дискретный и нспрерыеный гпешпр (см. также п, 14.8-4). Остаточный спектр еграяячаяяоге линейного оператора А ь гнльбартоааы про«гуж«та« содержится я днсяретяеы спектре оператора Аг. (е) Спектр линейного оператора А е коне«номерном нормированном гектор. ном пространстве совпадает со спектром каждой матрицы А, предстаеляющей оператор А, как в п.
14.5-2. Алгебраической кратностью т' любого соб- I ственного значения Лу оператора А называется алгебраическая кратность числа Л как собственного значения соответствующей матрицы (п. !3.4.3, а). Алгебраическая кратность т'. больше или равна геометрической кратности т ! ( собственного значения Л (см. также п. 14.8-4, с). Д«я яалгдггл лихгйяггг глгуэтара г яляг«яамгряам нармарлгэянам ггктгуялм яяг. гтуэнгтгг след Тг (А) а гуятауа Я раин сумм гггх ггг ггдгтггянхг зягггяий, халгдзг из хг~алралх титэгтгл гтзлгял раз, яахггэ ггг алггбраиигхэя хрлтялгтг, а ллргдглитгль йг( (д) равен таким жг »блазам ялдгаятыгагмлму яугиэггдглям гггх «обста«нных эна илий (сы. также я.
лзя-з, Ц. харахтарястячаскоа уравнение нл(М =е, состагтстаующаа классу яадабяых коягчяых матрац (я. (зл-з, а), называется харзктарястячаскяч урааяаняач прад«заела«мага этаыя ыатряцаыя оператора А; ояа дает ага собстьгяяыг зяачаяяя вместе с нх алггбрэи'ггсхили крагяостяыя.
Гагра ла кюи — Гамильтона (ул (я) = о, и. 13.4-7, а) и ляг»и«ми иэ и 134-7, Ь ллимгяимы и л лилгйлчм гтрятграм г хан««нам«уныл ягумарллияяы ггт тор«лил яугтлрэигтггх. (1) Если А — аграничгнный линейный оператор е гильбертоеом пространстве то из Ау=Лу и А "зх-рх следует, что либо )я= Л, либо (у, х) =0 (см. также п. 14.8-4). 14.8-4.
Собственные вехторы и собственные значения нормальных и эриитовых операторов (см. также пп. 13.4-2, 13.4-4, 14.4.6, 14.8.8, 15.3-3, Ь, 15.3-4 и 15.4-6). (а) Если А — норл(альиьгй оператор е гильбертагам простринстее (А *А = = ЯА», и. 14.4-8, Ь), то А и А* имеют одни и те же сабстзеннью егкторыт саопюгтстзгрощиг собстгсниые значения операторов А и А * ягляются комплексными сопряженными числили. Спектр каждого нормального оператора совпадает с гго предельным спектром( ос(пи(личный спгюлр пуст (см. также и.
14 8.3, д), ') Пгяэтарыа аязэры яазыаают собстаааяыыя зяачгняяын аса спектральные зяачаяня, а другие пользуются этим тгрыяяоы тольао лля дискретнаго спектра, 438 ГЛ. 14, ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 14.8.8, ает матрицу А предстаьляющую оператор А в новой системе координат А есть клеточвая матрипа А1 [0) ".
(14.8.8) А=— [О[ Л, где кап(дая подматрипа у[! соответствует собственному значению )л оператора А, отличному от других его собственных значений, и имеет ровно ту страх н т! столбпов (см. также п, 14 8-4, с). (с) Если н собственных векторов, определяющих столбцы модальной л)атрипы (5), попарно ортогональны, то преобразование подобия (7) дает диагоназьную матрицу г[ (приведевие данной матрипы у[ к диагональному виду, диагонализапия, п.
13.4-4, а). Чтобы получить матрицу Т преобразования, приводящего данную матрипу А, представлшощую нормальный оператор А, к диагональному виду, поступают следующим образом; 1. Если эсг собгтэенныг значения Х вЂ” простые (это верно, если характеристическое уравнение не имеет кратных корней), то матрипу А диаговалязирует каждая модальная матрипа (5). 2, Если сун(ггглэуют кратные собственные значения ЛЬ то с помощью пропесса Грана — Шмидта (п. 14.7-4, Ь) ортогоиализируем каждое множество т; собственнык векторов у в 01 е +4) е +... ГВ (!) Гд (!) 1 (!) ...+ (')е„.
и модальных столбцов у(') вт '19, представляющих по- " -ГЧ„ „(!) лучающиеся в результате т,+т +...=и попарно ортогональных собственных векторов -(Л -„(!),.! „-(Л, [. +„Ое, составляют тогда искомую матрипу преобразованиа Т. (д) Во иногих приложениях йервоначальный координатный базис е„ею ... ..., е„является ортонормированным (прямоуголы)ые декартовы координаты), так что (х, Ах)ых*Лхпе ~ Ч~~~~ АД(9 (14. 8-9) в'.--1 Ь 1 (п.
!4.7-4, а), а н качестве нового координатного базиса берется ортонормировавная система собственных векторов у(!) (получаемая, если нужно, с помощью процесса Грама — Шмидта). Тогда ка)кдая модальная матрица Т, образованная из у(!), является унитарной матрипей. Унитарное преобразование координат (6), вводящее в качестве базисных векторов и ортовормированпых собственных векторов, называется преобразованием к главным осяи для оператора А (см. также пп.
2.4-7 и 3.5-6). Преобрззьззяяз к гзззяыы осям для ьрыктьзз ьяерзторз А яркзодят соатьетстяуююую зрыятозу форму ГЗ) к зе нормальной форме (13.5-9) (сы. также о. 13.5-4). (е) Дэа эрмнто)ых оператора А и В могу!я бы!из э одном н том же базисе предстаэлены диагональными матрицами э том и !полька э том случае, если ВА=АВ (см. также пп. 13,4-4, Ь и 13.5-5). 14.8-8. !4.8. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ 430 14.8-7, «Обобщенная» задача о собственных значениях (см. также пп. 13.5-5 н 15.4-5). (а) В некоторых приложениях требуется найти «собственные векторы» у и «собственные значения» Р, опредслнемые соотношением вида Ау=)лву (у ть 0), (14,8-10) где В невырожденнын оператор Векторы у и числа Р обязательно являются собственными векторами и собственнымн значсяиями оператора В 'А; если  — то.кдественный оператор, то задача сводится к задаче, определяемой равенством (2). Если А и  — эрмитовы операторы и В положительно опугдглгн (п.
14.4.4), то 1) всг собсогогнныг значения Р дг((сэюитгльныт 2) мол«но яэгстн новое скалярное пуоиээгдгние (а, Ь) ==(а, ВЬ) (14.8.11) (см. также п. 14.2-6, а). По отношению к эгону новому скалярному произведению оператор В 'Я оказывается эрмитовым, и к нему прнменимы теоремы об ортогональиости и о полноте из п.
14.8-4, с. В частности, собственные векторы у, соответствующие различным собственным значениям Р, попарно ортогональны относитгльно скалярного лроиээедгния (11) (см. таян(е п, 14,7-3, а). (Ь) Рассмотрим конечномерное унитарное векторное пространство и ортонормированную систему координат пл, пз, ..., п„, так что (а, Ь) нп ~д ~айра 8=1 (п. 14.7.4, а). Пусть А и В представляются эрмитовыми матрипамн А =[ам[ и Вы[Ь;ь[, причем матрица В является положительно определевной. Тогда собственные значения )л, определяемые равенством (10), совпадают с корняын алгебраического ураввения н-й степени де1 (А — РВ) ам де! [а;„— РЬГэ[=0 (14.8-12) (хауактгрис(ннчггкое уравнение для «обод(в(гннойз задачи о собстэгнных значениях).
Для каждого корня И кратности ту существует ровно т! линейно независимых собственных векторов у(!)=))[дн +тИ)н,+...+т)(!)и; координаты 11() 8 " л я) ! этих векторов получа)отса из системы линейных одаородных уравнений (а(ь — Р)ЬЫ))!4(!)=0 (1=1, 2, ..., п). (14,8.!3) Ь =-1 (з, Ы — »*ВЬ = 4« ~Р ~Ь(зцгрэ ! )й-1 (14.8-14) ьсзк ь качестве коордяязтного бззясз взять зту ьртьяьрыярьззяяую скит«ну собственных векторов, яодьбяь точу кзк зто было сдсззяо я э. 14.8.8, с, то зрыятьяы Формы (х, Ах) *'лх н вх, Вх) - х"Вз яряиут зид (13.5-19) (вэиввэвмвия в яриввдвзив двух зрмитввык Форм к сумме ивадритзв, ц, Ю.з-з). (с) Аналогичная «обобщенная» задача о собственных значениях для случая бесконечноиерных векторных пространств рассматривается в п, !5.4.5. 14.8-8.
Задачи о собственных значенинх как задачи о стационарных значениях (см. Также п. 15.4-7). Пряизяяя к т, -(- т, -)- ... = я сьбстззяяым зсктарзч процесс Грзнз-Шыидтз (п, И 7-4. Ь), я»ходя« язляую ортояорчяроззяяую систему векторов ьтяосктзяьяа яр»ого скззяраьго ирзязьвдзяяя я я (у, Яу! р»АЕ ~~ ~~ а!ан(ча (=1 а=! (14.8.!8) л л ш, вю а*за ~~ ~ ьл,,ч!че г=!а=( (у Ау! у Аа ~~ ~~ а(ли!Па 4=.1 а=-1 ч ш ю а р ~Л ч(ч! 1 ! (частное Репса) (14.8-15) (14. 8-16) ! Л ) ( ш!п (Р, ()), (14.8-19) где и Р= шах ~~Р,'а!а[, 1Ыггбл Е шах ~~р (аа !. 1 ! ла (14. 8-17) ( Л [гв ппп [! аи ! — Р!). 1 ! л (Л(а (~~Л~~ Л(а!а !з, [Л! (!) А ([.
(14. 8-20) 440 ГЛ. 14 ЛИНЕИНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 14.5-З. (а) Рассмотрим эрмитов оператор А в конечномерном унитарном векторном пространстве 77 и выберем в 77 ортонормированный координатный базис ') н„из, ..., и„, так что А представляется эрмитовой матрицей А = — [а;„].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
