Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 103
Текст из файла (страница 103)
(14,10-14) (14.10-16) ) Комплексные числа а, Ь определяют соответствующее вращение однозначно, но а, Ь и — а, — Ь (а потому матрицы У я — (7) описывают одно и то же вращение. Числа а, Ь,— ь, и нлн числа а, (Ь, — !Ь, а называются параметрамн Кали — Клейна данного арап(ения. осен ,г! о А, (ф) 0 соз тр 0 зщ сое !р Аа(ф)= [~ 0 (( — мп ф 0 — з1п ф (еращенпе на угол ф еокруг и,), (14,10-18 а) соз ф 0 мп ф'~, 1 О (ара нпг на угол ф еокруг из), (14,10.180) 0 соз ф/ з!п ф О( 0'( Р и ) (!4!а!8) ! Геометрически «омплсксоые параметры а, Ь определи!от преобразование комппексной плоскости ао — Ь и' =: ( о * .(-, Ь,а = Н Ьи-,'и (аробно-линейное преобразование, п.
7.0-21, перевозив(ее стераограбгнческусо проенпию п точки (!о)н П( сб!еры на комплексаую плоскость (и. 7.2-4! в стареогриричесссую провкИню и' повернутой точки (ап 2,', Г(. з' а' (Ь) Линейные комбинации матриц 1, !$„($2 и (82 с действительными коэффициентами образуют представление алгебры кватернионов (и. 12.4-2), скаляры которой соответствуют действительным кратным матрицы А а образу(ощие соответствуют матрицам 1$1, 1$2, ($2, причем 8; '= $[ = 8', = А 8282 = Яз$2 = !$! ЯзЯ! = — 8182 =182. (14.10-16) 8282 $2$1 !$2 Каждая комплексная матрица размера 2 Х 2 может быть представлена в виде такой линейной комбинации; в частности, ((=р/ — ! (ЛЯ,-]-р$2 ! т$2), ) (пргдстаглгние еращгнпл (14.10-17) сг" =р(+1(Л$1+р$2+тЯз) квагпгрнаонанп).
Снова матрицы (7 и — У определяют одно и то же вращение однозначно. 14.10-6. Вращения вокруг асей координат. Следу!ощие матрицы преобразования описывают правые вращения вокруг положительных координатных 14.15-5. 1! 15 МАТЕЫАтнг!ЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ВРАЩЕНИр! 451 450 гл. На линеиные прост~листал и преоердзовдния ылз-з, Заметим, что А ' (!р) ря А' ((Р) = — А; ( — (Р) (1 = 1, 2, 3). (14.
10. 19) 14.10-6. Углы Эйлера. (а) Каждня матрица А ее (ощ), описывающая собствеииое вращение в трехмерном евклидовом пространстве, может быть различными способами представлена в виде произведения трех матриц (18), и, в частности, так) Л ея Лз (а) Аз (8) Аз (у) —= — »1пу 0) соз у О, =-- О 1/ соз а — з)п а 0 соз () 0 з)п () (Увоз У а!п(з созе! О 0 1 0 ( ЯпУ О 0 1 — яп() 0 сов 5 10 — (соз а соя() яп у+ +з!и а сову) ( — »1п а с(м .11 з)п у + + сов асс»у) з)п 1! з1п у (соз а соз 1! соз у— — з)п а яп у) (»1п асов () сову+ -1- с(и а япу) — яп () сову Аз, (а, (), у). соз а аш яп а яп () соз () (14.10.20) Тр угла Эйлера а, (), у однозначно определяют вращение; в свою очеи о- редь, они однозначно определяются данным вращением с точностью до цел- численного кратного 2п, за исключением случая, когда 8 0 («карданов пол- весз, и.
!4.!0-6, 4). Оси У, у', з' прямоугольной декартовой системы координат (рассматри- ваемые как твердое тело), вначале направленные вдоль векторов и„ из, из, можно повернуть тзк, чтобы оии стали па"з правлены вдоль векторов и,', и,', и„' с по- 11» з мощью трех последовательных вращений (!8) (см, рис. 14.10-1; обратите внимание на п. )4.6-3, где объясняется, казалось бы, об- В ратный порядок матриц в равенстве (20)), » !) Поворот вокруг осн г' иа угол ЭйОу лера а, 2) поворот вокруг оси у' на угол Эйле'Г' ра (), 3) поворот вокруг оси з' на угол Эйлера у и ! 3 Обратное вращение А 1 (переводящее вектор х' в исходный вектор х) представ- и', ляется матрипей р»с. 1( !о-(. Углы эйлера а, б. т. А 1ьяЛ'шА»( — у) Аз( — ()) Аз( — (з)—= Ось Ой второго ярзщенп» (»з угол б) часто называют я»»пей узлов, = А „( — у, — (), — а) иж Зямгг»м, что а » б — сфер»чес»»е «оорд»»зты вектора и' з спстеме = Азг (я — у, (), и — а).
(14.10-21) з и„им и,. Существует шесть способов, которыын матрицу вращения (Ц можно выразить в виде произведения А А(((Р)) Аь (Ябз) А! ((Рз) им Ага ((Р( !Рз ((з) (1, != 1, 2, 3; 1 т-- Ь), (1410 22) вращений вокруг двух различных осей координат. Из других получ в результате систем углов Эалера часто пользуются той, которая определяется произведением А ы Аз (а') А((11') Аз (у') = Аз) (с!', (1', у'). (14,10.23) Оиа связана с системой (20) соотношениями '! =а+я)2, ()'=(1, у'=у — п,2.
(14.10-24) ( ) Кроме того, существует шесть способов представления матриц в щения А в виде пронзведення Л ==Л( (6,) А; (Вз) Л„(В,) = Лг„(б,, Вю В,) (; ) Ь ! 2 »3.;~1 )тж'й ) пй)' (14.10-25) вращений вокруг трех различных осей координат. В частности, матрица А вя А( ((р) Аз (6) Аз (!Р) —= сов В саз)Р— со»6 яп(б япв ря яп(рзюбсоз1)+сов(ряп)р — яп ряпбз)п)в+соя!рсоа(р — з(п~рсозб~ вя — соз(ряпбсоззр+з)п!рз!пф сов 6) япв яп)р+яп 4)сов»в с(иб)со»в l еиА)зз((р. 6 (Р) (14.10-25) часто нспользуетсн для описания положения самолета или космического корабля, совершившего последовательно поворот иа угол крена !р, угол на) и (ось скаяьжвння) Р»с !4 1О 2 Под»»ж»ие ос» самолета тангажа 6 и угол курса зр вокруг осей, проходящих через его центр тяжести и направленных соответственно вперед, в сторону его правого борта н к его дну (рис.
14.10-2). (с) И без того большой набор, спето»щпй нз 12 систем углов Эйлера, опредепе»»м» выше, ещя узелпч»в»ется»з.за того, что некоторые автора одн»»лп несколько»з угла» Эйлера берут с обратным з»яком» что н»огд» з литературе пользую!па пезымп с»степям» координат. «ромя того, »уж»о предостеречь ч»тяте»я, что ем» »я»б»ол»мп провез»ть, определено и» данное препбр»зозан»е с помощью углов Эйлера »а» зпярпшзр (*я»т»я»»» п»терпретаппя, и.
И.б-!) »лн »а» »рсобрпзояа»пя »оорд»»пт («пясспз»»я» »»терпретак»я, н. И.б.п, тяя »як можно спутать матр»цм А » А ' = А'. В чает»ост», мзтр»нз » (яз. 6» б,) »оорд»з»т вектора » з »еподзнжпой системе и( н мятр»из ззе ! бь бя. ш) его»оард»»зт з позерпутой системе иь связаны пт»оше»п»мн 462 (н', и,' «') = (п< оз оа) '1 "ля "з = '1 "з <пз — ев ет 0 (!4 10.26) то для каакдого вектора х я Ус 6 т — о )1 =сз ып — = Мп— 2 2 х' зй(х=в Х х, 6 П=сзз<п- 2 6 Сз 5!П— 2 о — з' СО5— 2 (14.10-29) о 4-т =5!П— 2 о — т — р Ь=е 2 Ып —.
2' Р = Сач - СО5 — СОЗ— 6 о+т Р 2 2 2 Из равеиств (ЗЗ) получасы — ()(ОА (О, аА <О Ж (14. ! 0-341 матрицеи 0 ЙЩ= в,(й с 1 — вз (Π— в» (О 0 в, <0) — вз (О), 0 вз (Π— вз (О вз д) — вз (О (14.10.66) () (О ва(О йх'=(ОА) х=(с)( х) <Ю, Гл. 14. линеяные пРОстрАнстВА и пРеОБРАзОВАния 14.10.). а матрицы пз баансных векторов <п. 14.6-2) преобразую"ся по Форыулан Ся также и 14 6-Х <й) Параметры сь сь сь 6 и А, и, ч, р легко выразить через углы Эйлера с помощью равенств (6) н матрипы углов Эйлера. Таким образом'), 5\П— р 2 ' ! — р .о+т а=с СО5 —, 2' 5<п 2' СО5 —, 2' Заметим, что прябаалепяе 2п а одному яз углов Эйлера меняет зван всех параметров <29) н яе меняет матрицы вразцеяяя А Если В,=О в равенстве <22) илв аз =я/2 а раееястве <26) <яапряыер, 6=0 р =О яля в=п/2), то два остазощахся угла Эйлера уже одяозначео яе определяют данное вращевяе <«яарданов подвес ).
Таким образов, углы Эйлера можно оряяеяять для опясания вращений лишь пря «заветных ограначевиях, 14.10-7. Беснонечно малые вращения, непрерывное вращение н угловая скорость (см. также пп. 3.3-2 и 14.4-9). (а) Бесконечно малое трехмерное вращение на бесконечно малый угол йб вокруг оси вращения с направляющими косинусами с„св са описывается соотношением х' х-(-йх'=-(1+йА) х. 1+йА есть ортогональное бесконечно мачог преобразование, тан что преобразование йА кососнмметрично (п.14.4-10). В ортонормированном координат!ам базисе и<, и„иа преобразование йА описывается кососиыметрической 0 — са с, ( йА = С вЂ” а<а>6- ~ йбен сз 0 — сз <В, (14.10-3!) 1 — с, с, 0 получаемой дифференцированием соотвошеаия (6). Отметим, что где с=с<и<+саня+азиз — единичный вектор в направлении по пой осн вращейия.
Вот более общее утверждение. Если ))<( — любой кососиММе<лри ленный опершпор в трехмерном свклидовом векторном пространства ') а и Ь определены в и. 14.10.4 Зачетам, что аяогда употребляются дРугне определепия параметров Кала — Клейна. 14А О-т. !4.10. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ВРАЩЕНИЯ 4ЗЗ ! стае тамий в ор<понормироваялом координатном базисе иа, из, ив кососиммстричвской матра<(ей гДе ю=ехиз+<озиз-(-азиз (см.
также п. 16.9-2). (Ь) Для непрерывного трехмерного вращения, описываемого соотношением') х' (() = А (() х, где х — постоянный вектор, формула (32) дает л, — — — х=е(!) х х'(() =— е(()х(А((> х). (14.1033а) лх н) йА(() Вектор е(!), выражающийся через неподвижные и вращающиеся базисные векторы по формулам е (() ае ед (() из+ ее (() из+ ее (() па ——— в = ез(1) их (1)+ея(физ (!)+ез(т) из'(1), (!4ИО.ЗЗЬ) направлен вдоль мгновенной оси вращения (осн вращения х' х'+йх'), а !е (()1 есть мгновенная скорость вращения относительно !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
