Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 107
Текст из файла (страница 107)
15.2-4); это имеет место, например, если К(х, 5) — положительно или отрицательно определенное (и. 15.3-6). Каждое «ермируемсе эрмитеге ядро К (к, 6) «ожет быть рпаггл енс е ргд Рлд схедитгл рее«эперне к К (к, Н дгл есек к, $ш У, если К (к, $> «елрерие«о е сред«ем иги если У есть ограниченный и«терзал или сгранй«синая сбгасл ь, так «тс К (к, $) «еарерыелс длл есек к, $ ш У и интеграюнае улпг«ение (5> «мест кг«е«нге «аско погэжитель«ых пли гтрицатееь«ык себстег««ык э«а«е«ий (теорема Мерсерп). (Ь) Вспомогательные ядра и теоремы разложения для незрмитовых ядер.
пусть к (х, $) — нормируемое ядро и и >о — положительные числа, для которых существуют ненулевые решения системы уравнений и ( К (к, И о я) Н$ =го (х>. и ( К' (к, $) св>Н> й$ =ог,(к). (15 3 6) у У Тогда числа и являются собственными значениями вспомогательных зрмнтовых ядер а ( к " (х, ч> к (н, $> йч и ) к (к. ч> к (ч, И йч. У Любая функция Р (к), представимая как интегральное иреобразоваине (1) с ядром К нлн К', может быть разложена в ряды Р (к) = ~ аьой (к).
где аа — — (о,>, Р). ( ! 5. 3-9Ь) в среднем Ь Эти ряди скодлтся абсогю л«е и рагнолернс к Р(к) дгя есек к е У, если((Ц кусо«но-ненреаие«а е У, нги 1($> квадрат««не и«тегрируема, а к (х, $) непрерывна е срео«ем; весовая функция равна 1 (й, 15.2.1>. Дга каждего нермйруемега лдаа К (х, $) К(к,И = ~, -! оаИ>в (Ю (к,$шу>. (15.3-!О> в среднем ий 6=1 если ядро к' (к, $) самосапряжено, то о, (х) =в, (к), и бюрмула [10) превращается в формулу (2). 16.3-5.
Итернрованные одра. Итермрованные ядра определяются соотношениями К (х, $) пм К(х, 5), Кр+1(х, 5) — ~ Кр(х, т)) К(ть $) йт) (р=2, 3, ...) (15.3-11) н предстаалякп степени Кр линейного оператора К уравнения (1). Линейное интегральное уравнение ХКРф($) пи)ь~ Кр(х, 5) ф($)йб=ф(х) ( 15. 3-12) 16.6-2. 153.
ЯНтеГРАльныЕ пРеОБРА3ОВАния и УРАВнения 465 имеет те же собсашгнные функции !Р(к), что и уравнение (5), с соотаетстпугои(ими сабсаыекными знакениями Лр (см. также и. 14.8-3, б). Обратно, каждое решение ф(х) уравнения (12) яеляется решением уравнения (5). Если ядро К(х, $) эрмитаео и нормируема, яш Кр(х, Ц)= ~ — фа(5)трь(х), р=2, 3, ...; х,$ш у (15.3-13) й=! ЛР и эти ряды сходятся абсолютно и равномерно е У, 15.3-6.
Зриитоеы интегральные Формы. Задача о соаствеинык значенняк кая «арнационная задача (см. также пп. И.!-1, 13Э-2, !3.5-3, !4.8-6, а, 15.4-)) (а) !!усть дано нормируемое зрчнтово ядро к (к, $); скалярное произведение (необходимо деаствителшгое) называется ьрмитовой интегральной Формой или, в частности, действительной квадратической интегральной 4юрмой, если К (к.
$> — действительное и симметричное'). Зрмитона ннтегральнея Форма (14) (в также зрмнтово ядро К (х, $» называется положи телыю определенныи, отрицательно определеимым, неотрицательным или неположительным, если выражение (!4> соответственно положительно, отрицательно, неотрицательно или неположительно для иаждой Ф>нкции р (к> не равной тождественно нулю в У н такой, что интеграл суо(есгвует.
И«тггрпгь«аа форма (!4> положительно слредеге«а иги о рпцатггьно еаредеге«а е тем и толью г тем слу«ае, югда есе себгтынные эннчения ь(, соответственно наложи ~ельни иги отри«атею«и. (Ь> Проблема «акежде«ик собст«с««ыс фу«к!ий ф (к) и собстее«неге эна«енпк Л норгшруемего эрмитега ядри может бить сфор«угирсвана как геди«и э стициенар«ык аиа«е «нак. способам, подсб«ым из«еже««гму е п.
14.8-8, в. Найдем нвгдратпчно интегрируемую функцию Ф (к> такую, что врмитопа интегрвльмая фариа (!4> имеет ссационарное значение при услпвин (Ф, Ф>=~ )Фбй)'Н$=1. у Функция Ф = фа (х> доставляет указанное стационарное значение форне (14), причем 1 ЛЬ = ) ) 'Ьа (к' К (" $>фа ($> й' йй У У Здесь также приложимы есе другие теоремы п. !4.8.8, а. Следует лишь вспомнить, что оператор К, иредстзвимый данным ядром К (к, $), имеет собственпые Функции ф Ф) м собственные значения 1>ЛЬ. Часто бывает возможно решить интегральное уравнение вида (5>, точно илн приближенно, методами варнациониого исчисления.
15.3-7. НеодварОДНОЕ уравпвпвс Фредгольма второго рода (см. также п. 14.8.10). (а) Существование н единственность решения. Фредгольыово линейное интегральное уравнение второго рода Ф(х) — Х ~ К(к, $) Ф($) й$ф Е(х) (15.3-16) у выест следующее «виьтернатнвное» свойство: 1. Если данный параметр )> не является собственным значением ядра К(х, 5), то урпенение (!6) имеет единственное рниение Ф(х). ') Заметим, что в матричных обозначениях, введенных в п.
15,3-1, с, 1З.з-а. 155. интеГРАльные преОБРАЗОВАния и урАВнения 467 466 15.5-2. ГЛ. 15. ЛИНЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 2. Если Л равно одному иэ собственных значений Лт уравнения (5), то есоюзноез однородное интегральное уравнение Л1 1 КК(4 х) Х($) (6=Х (х) У Ф(х) (Л! ~ Н(хд)Ф(3)йз4 Е(х)-Л $ К(5, х)р($)(ГБ, (15.3-)ба) где Н(х, $) есть эрмнтово ядро, определяемое формулой Н(х, Ц=е(згкхК+г гагиАК» ! Л ! ~К(т), х) К(т), $)йт!. (153188) Вследствие етого достаточно изучить методы решений для грмитоеых ядер. за меч з е и е.
и (х, 4) и к (х, 4) имеют тождественные собственные оузкцзи соответствующие собстзеиийм значениям ! Х„! и аы (с) Резал ьв ситное ядро. Решение Ф(х) линейного интегрального уравнения (16) удобно писать в форме Ф(х)=Г(х)+Л ~ Г(х, $; Л)Г(е) йб. (15.3.19) Фуниция Г(х, $; Л) называется резольвеитным ядром (иногда она называется взаимным ядром) для интегрального уравнения (16); уравнения (16) и (19) представляют взаимно обратные линейные преобразования.
Когдз резользеитвое ядра Г (к, Е 24 существует, оио удозлетзореет интегральным уравнениям Г(х, Ы Ы-А ) К(», Г)ГУ, Ы )от= К(», Ы. У Г (, Ы А) — А ~ к У, 4) г (,, е; А) т = к (,, 4), Г(х, $; А) — г(х, Ы )л')=(А — ы) ~Г(х, г; А)гу, Ы А')ег (15.5-20) дле произвольных А, А', ве езляющизся собстзеииыыи зезчеаиеми К (х, 4). имеет решение )((х), не равное тождественно нулю е )г, и данное интегральное уравнение (16) имеет решение Ф(х). лшиь если Г(х) ортогонально (с весовой функцией 1) каждому решению 7 (х) уравнения (17). Заметим, что уравнения (17) и (5) идентичны для зрмитовых ядер. При укаэанных выше условиях решения существуют, в частности, иогда К(х, Ц кусочно-непрерывно н иормнруемо, а Г(х) непрерывна и квадратично иитегрируема на у'. Если во втором случае решение Ф(х) существует, то уравнение (16) имеет бесконечное количество решений, так как каждая сумма некоторого частного решения и линейной комбинации собственных фуниций лр(х), соответствующих Л,, является решением; в частности, существует единственное решение Ф(х).
ортогональное ко всем этим собственным функциям. :Ь) Сведение к интегральному уравнению с эрмитовым ядром. Если К(х„б) нормнруемо, то каждое решение Ф(х) уравнения (16) есть решение интегрального уравнения 15.3-8. Решение линейного интегрального уравнения (18) (см. такт п. 20.8-5, численные методы). (а) Решение последовательными приближениями.
Ряды Неймана. Полагая Ф! 1 (х) = Г (х), вычисляют последовательные приближения Ф(!+11(х)4 е(х)+л ~ к(х, 5)Ф!)1 Я)сф ()=О, 1, 2, ...) (!5 321) (з искомого решения Ф(х) уравнения (!6). Функции (21) можно рассматривать как частичные суммы бесконечного ряда (называемого рядом Неймана) Г(х)+Л ) К(х, 5) Г (5) йз+Лз ~ Кз(х, $) Г(5) йе+,..= У = (1+ ЛК+ Лзкз -)-...) Г (х).
(! 5. 3-22) Если К(х, еь) ноРмиРУсмо, Г(х) квадРатично интггРиРУема на )г, то сУ- ществует дсйспмительное число с ~ Г 1 3 ! К ( х 5 ) ! з й й 3 [У и такое, епо ряд Неймана (22) сходится в среднем к решению (!9) прн ! Л ! ( гш Если, кроме того, ~ К(.,5); й5 ° ~!К(5, )! й: рпеномсрно ограничены е У, то степенной ряд (22) и соответствующий ряд для ргзольвеитного ядра Г(х, 4; Л)=-К(х, 5)+Л Кз(х, еь)+Л' Кз(х, 5)+... (15 3 23) сходнлкя равномерно к указанным пределам при х, $ ш у и ! Л ! ( гс. Функция (23) в таком случае является аналятнческой фуннцией от Л при ,'Л!(га и может быть аналитически продолжена (п.
7.8-1), давая тем самым резольвентное ядро для других возможных значений Л. Ряд (23), как и ряд (22), известен под названием ряда Неймана. Если нормируемое ядро К(х, ь) зрмитоео, то радиус сходнмости (или сходнмости в среднем) г дается форл)улой г =( Л ), где Л есть наименьшее по абсолютнои величине собственное значение ядра. (Ь) Формула Гильберта — Шмидта для резольвеитного ядра (см.
также и, 14.8-10), для каждого нормируемого и эрмитова ядра К(х, 5) решение лнпенного интегрального уравнения (!6) дается формулой (19) с резольвентным ядром Г(х 5 Л) ен К(х 5)+Л ~ Л !) Л) (Ле-Лгь = 2 ") Ь=) (формула Гильберта — Шмидта), (15.3.24) гхе ф» — ортонормировавные собственные функции') ядра К(х, 5). Ряд сходится равномерно для х, ч лы Р н Л ~ Ла. ') Если Х( есть собственное зизчеече, иыеющее ранг ш (о.
!З.З.З, з), то пишут А(ел= ... — — Аг =А(, з таким образом, рзд (21) имеет ш членов, содержащих собстзеззые эувйцин ф( (х). 5)( (х), ..., ф. (з), сеотзетстзузициз Л(. Г(, 5 д)=о('5'~) (> (л) (15,3-25) где где (>Р)= Р) ( !)'Сййь, й] 7>(х,й! Л)= ~~ — о,(,5)дь %] ( — 1)" й) (15.3-26) (15.3-3!) (15.3-33) является г »>п иа У (а] с Р' (5] д! Ф (к] и (л — а)! '" (к — В! а ()5.3-36) 0 ГЛ. (5. ЛИНЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Г (к, В Ь) есть мероморфиая фуниция А и конечной части Х-плоскости; вычеты Г(х, В А) в ее полюсах связаны простыми соотношениями (пп. 7.6-5 н 7.7-!) с собственнымн функциямн ф (х).
Формула Гилабгрта — Шмид па дла леше»ил, когда А равно собстаеккаму зка»гкию 7 !. Если параметр х равен некоторому собственному значению х! данного ядра к (х, 5), то из суммн (24) (не «вляющейся теперь резольвентныч ядром) исключаются члены, содерксащне рш и к правой части ((9] прибавляется произвольная собственная функция ф(х), соответствующая А! Результирующая функция Ф (х) яаляетсн решением данного ннтатральиосо уравнения (]6> прн ограннченннх случая 2 в п, >5.3-7, а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
