Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 110
Текст из файла (страница 110)
15А-8. Одномерная задача Штурма — Лиувнлля о собственных значениях. (а) Рассмотрим одномерную действительную переменную х к пусть У— ограниченный интервал (а, Ь). Тогда наиболее общий действительный зрмитов днфференпиальиый оператор второго порядка Б имеет вид (9). Действительное дифберенпизльиое уравнение (однородное диффгргнциальиог уравнение Штурма — Лиудилля) Ц~ = — ( — — [р (х] - - [+ 0(х) ~ ф =— — = — [р (х) —, + р' (х) ф + 0 (х) ф ) = Л В (х)»р (15 А 24 а) определяет самосопряжениую задачу о собственных значениях, если зто уравнение дополнить однородными линейнымн краевымн условиями В>ф=жтф'(а)+[))ф(а)=0, В,ф=аэф'(Ь)+[) )Р(Ь)=0, (15.4245) нли условиями периодичности В, ф = ф (а) — )р (Ь) =О, Вэ тр — ф' (а) — ф' (Ь) =О, (15.4-24с) Здесь предполагается, что р(х), 0(х) и В(х) дифференцируемы в [а, Ь), р(х) и В(х) положительны в [а, Ь) и ие существует собственных функций, отвечающих числу Л=О.
Эти предположения обеспечивают дискретность спектра. м При условии (24Ь) все собственные значения имеют ранг !. При условиях периодичности (24с) ранг может равняться двум. Например, уравнение ф" +Лф=О с условиями (24с) прн а=О н Ь=2л имеет собственные числа ».=лэ и собственные функции соз ли и мп лх. Больше двух ранг быть не может. Если в задаче (24 а,Ь) р(х)»0, В(х) ° О, у(х)~0, а>57(0, аэ[)э~О, с!',+[)[ > О, ссэ»+5»э О, то все собственные значения положительны„за исключением случая, иогда 0 (х) — О, [1 = 5 =О, в котором 7 =О. 4! Если собственные значения расположить в порядке возрастания Лт( (Лз(, ..., то Лл асимптотически пропорционально лэ при л со (п.
4.4-3). В пп. 9.3-4 — 9.3.(0, э также в пп. 2!.7-1 — 2!.3-(2 изучены рвэлпчиые упращэющие преобразовании и методы решения адиарадиых дифференциал»»~ых ураэиеииз типа (24). Зэдэчи Штурма — Лиувилля возникают, в частности, прк разделении переменных в крае. вых задачах дли лииэйиых диффереицкальиых урэвиеиий с частными праиэвалиыип (ьм. пп.
!0.4.3 — )0.4-9) и имеют важное эиэчеиие в квэигавай мехаиике. Заметим, чта каждое дифференциальное урэвиэиие вида а, (х) †, + а,(х) †„ — + а, (х> ф = А и (х) ф а*ф дф (!5.4-2б) мажиа привести к виду (24а) пасредстеам умиажеиии обеих частей ега иэ а, (х) — а» (х) ехр ( дх а» (х> (см. также п. 9.5-3, а). Отсюиэ следуег, чта примеры пп. (03-3 — (зл-9 могут рвссиатривэгься как задачи Штурма — Лиувпхля. (Ю Если в Формуле (9> положить д (х) =д, (х> — д» (х>, та Ь Ь ) и! и д5=- [ Паи'*+24»ии'-(-д»и > к[ — (аии'+ д»и Ц, а а Ь Ь ) и! а д! = ) [аи'а'+ д, (и'а+ ип') -)- д,и»1 д1 — Паа' — д,а) и) ь а а (!5Л-2б! Иптегрэлэм (2б) ва многих прилажеииях (см. также п (5.4-7> можно придать физической смысл. («> Обабщэ и ив и раисгвеииые э»дачи.
Многие общие ээиэчи связаны с рэсгматр»кием не»грачи«»иного иитериэлэ у =— (О, га> или у — ( — со, сс) с крэеэыми услаэиэиэ, э которых ькэ»ывэетги эсимптатичегнае паэ»деиие ф(х) иа бесконечности или другие агрэикчеиии. Дэлее, могут допускаться асабеичасти э тачке к = а или х Ь у функ»(ий а(х), д(х) ихп В(х). В глухие, когда функции а(х>, д(х) или В(х> имеют асабеииагти иэ каицэх агрэиичеинага питере»ли (а, Ь), спектр может а»тавот»си чисто диска»тимм. Ве»диор»днах хааыаэ задача, вклю~эющэи оператор 1птуриа — Лиуэилли Ы может быть ргшеиэ иетадэии по 9.3-3, 9.3-4, )5.4-)2, )3.5.!.
15А-9. Задача Штурма — Лиувнлля для уравнений с частиымн производными второго порядка (см, также и. 15.4-3, с). (а) Пусть х= — (х), хх, ..., х"). Определим скалярное произведение фор. мулой (2) с бр ежйх'йх'...йх". Тогда действительное уравнение с частными производными (многомерное однородное уравнение Штурма — Лиуеиллл) п ь»=-[З вЂ” „(, „)»»)»=»»» д 7 д дк дх (15.4.27) (Ь) В»паек»»гамам гхучэе»»ас»1«инээ теорема приложим» к ээиэче а собственных эпэчеииях дхи Ипффереици»льиага уравнения — р»ф — д (х', хц х'>») = А В (х 5 х', х") ф с краевыми уславииии вида и — фрф О, В>0 и д, дцффереицируеиыии в У и иа В.
дф дп Иэ абпбщэииай формулы Грииэ ()2> следует (>5.4-23) )»Л.и др= ) [(ри)' — ди*)др — ) (и аа> дА. у 3 Иитегрэлу (25> ва ииагих прилажеиэкх (гм. »«кже п. ИА-7 и табл. 5.б.!) иахсиа прииать 4,иэическцй смысл 15.4-10. Теоремы сравнения (см. также п. 5.6-1, Ь, 14.8-9, с н 15А-7). Нижеследующие >лгоргмы сравнении имеют место для дифференциальных уравнений Штурма — Лнувилля как обыкновенных, так н с частными пронзводнымн, определенных в пп. !5.4-8 — 15.4-9.
Пугаю дано игкопшрог дифференциальное уравнение (24а) или (27) и интергал или область 17 г краевыми условиями (24Ь) или (24с) (5>ритнО); тогда: 1. Возрагтпииг р и 0 и>или убывание В гычгт возрастание соб. самеинык значений Ль, аналогично убывание р и у и(или возрастание В влечет убьтание собстггиных значений. с функциями р =р (х', хэ, ..., х ) > О, В (х', хз, ..., х ) > О, 0= 0 (х', х"", ..., х ), дифферепцируемыми на У и 3, определяет самогопряженную задачу о собственных значениях при одноролных краевых условиях вида а — -+[)ф=О. дф дп Если заданная область ограничена, аю спектр собгтггниых значений указанной задачи дигкргтги и содержит иг более чгм конечное число отрицательных собственных значений.
Если расположить габгтзгииьм значении з порядке их возрасталил Л, Лэ = ..., то Л„со при л со. 479 )Б.«-11. 15.4. ЛИНЕИНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ 4Б.4.!2, где с» получены пз ураенснкй '~', (Л;» Бт»Л) =О, »=1 (1Б 4-35) (15А-36) (!5.4-37) , 'Еч (Л!»Г Л.-Л,+е»,',+е у — + ..., ~ « й',( Л„-Л, »щ! С Л»1 ф! — — ф -1-е уу «р,ф ..., ».1 а = 1, 2, ...), (!5 4.32) гдв Ф (х) = эун — ф» (х) '» в среднем» » 1 (15.4-39) ('и а)" С з ''' !'1в! ««э« ''' 2!л (15,4-34) О, "ц ! Б "° Лет — ЛЛ т ,".( '»"а » 1 ГЛ. 15. ЛИНЕИНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 2.
Рапи ирсние ияпырвала или области У влечет убывание собственных значений Х», порождаемых условиями ф(а)ыф(Ь)=0 или ф(х„х„..., х„)=0 яа В, (15.4-29а) и убьмаяие собственных значений йы порождаемых условиями ф'(а)=ф'(Ь)=0 или — ф =0 на В. (15.4-29Ь) зф 3, Каждое собс«ыеннос зло«ение Х», порождаемое краевыми усло«иями аф' (а)+рф(а)=аф' (Ь)+() ф(Ь)=0 или а ф+рф=0 ма В с 5/сх зиО, есть неубывающая функция от ()/а. В частности, усло. вия Неймана (29Ь) ие увеличивают собственных значений сравнительно с условиями Дирихле (29а). Я. АЯоди(рика((ин задачи о собстееянь!х значениях, усиливающие ограничения (присоединение условий) яа тр, влекут неубьмаяие собственных значений Теоремы сравкенкя имеют важное значение для теории колебэквй (эффект масс, жесткость, геомстрвя кэтуралькык частот), н рк меры (см, также и !Оя-з) ф"= — л«р(э) (ко«ебаккэ старки) в р«ф(«,я, е) — Лф («, я.
е) (ваэ«беки« м«лбронм), !5.4-!1. Решемяе днскреткыз задач о собственник зна«екняз метедамн возмущенна. Даны собственные эяачеквя Л н олтокорлирэ«зины«собствеккыв фувкцкк ~2» зрмятовой задачи 1.ф Лф. 05.4-30) Требуется еппрокскмяровать собственные значения Х» к собствевэые фуякцнн ф» «воз- мущенной эрмвтовой зада«к Лф+еь'Ф -Лф 05.4-31) прв неязмеккых краевых условнях; «Л'ф — малый зозмук!«ющкй член (е щ!). (а) Р а н г Л р а в е в !.
Для каждого собственного звачевяя Л. кевозмущевяой задача имеем Л,'»=(ф!!.ф»бр (1, »=1,2...,), (! 5Л.ЗЗ) )г (Ь) Р з к г Л( равен т. для каждого собственного эка«енкя Л/ ранга т с собственными фупкцэямя ф, ф, ..., ф существуют т разлв«ных собственных зваченвй возмущенного оператора. Соотеетствующке эязчеккя АЛ (Л вЂ” Л )/э аппрокскмэруются / корнями векового ураввепвя и-й стенвэя поторые могут быть н соепадающамк Собственная фувкцвя клн собствевкме фуикцав, соответствующее каждому зваченкю Л = Л/+ АЛ, аппроксвмнруются аыршкенвен заметем, что не существует других гп собствеккых функций, кроме указаквыв выше, доставляющая аппрокскмацня Л к ф для случая ранга, большего чем единица; полученные аппрокснмацнн длп ф кмеют «пулевой порядок» н не пропорцконэлькы е.
Отката«та«ко првблнжеякй зысюего порядка см. [5.2]. (с) Изучеяне непрерывного спектра см, [10,51, 15.4-12. Решение нраевых задач посредством разложений в ряды по собственным функцмям (см. также пп. 10.4-2, с, 14.6.10, 15.4-4, 15.5-2; примеры см, п. 10.4-9). (а) Очень важный класс физических краевых задач (например, упругие колебания, электромагнитная теория) относится к действительным линейным дифференциальным уравнениям — обыкновенным нли с частными пронзводнымн 1. Ф (х) — Х В (х) Ф (х) = /(х) (х (п [г), 1.— эрмитов оператор (см. п. 15.4.3, Ь), В (х) ~ 0 в )г при заданных однородных краевых условиях, Если /(х):= О в у) (нет приложенных снл, токов и т.
и.), то уравнение (36) сводится к дополнительному уравнению $.ф(х)=ХВ(х)«Р(х) (хш [г), которое удовлетворяется только собственными или обобщенными собственвымн фун«цияын ф (х) со спектральными значениями Х. В неоднородном случае (36) (например, вынужденные колебания) Х является заданным параметром. Рассмотрим сначала задачу (36), прн условии, что задача о собственных значениях [37) кмеет чисто дискрмпяый спектр (не обязательно различных) собственных значений Л), Лт, ... с соответствующими ортоноркнровапными бункцнямн ф)(х), ф (х), ... (п. 15.4-6, Ь). Предполагая, что «вынух!дающая функцняэ иожет быть разложена в ряд / (х) = В (х) ~ /» «Р» (х) (/» = ~ ф»/ й )г, » = 1, 2, ...) (1 5.4- 36) » = ! лля почти всех хин [г, можно ожидать, что решение уравнения (36) имеет вид «разложения по главным колебаниям» Ряд (39) определяет решение Ф(х) однозначно в ка)кдой точне непрерывности, если только параметр Х не равен некоторому собственному значению (резонанс[), В последнем случае решение существует, лишь йогдз /(х) ортогональао ко всем собственным функциям, принадлежащим Х», так что /»=О.
Тогда существует бесконечное ноличество решений, состоящих из ряда (39) плнк линейная комбинация собственных функций, принадлежащих 7«». (Ь) Если краевая аадача (37) обладает чисто непрерывным спектром 0 с обобщенными собственными фувкциямн ф(х, Л), имеющимн свойство ортогональности (19Ь) (например, оператор Штурма — Лиувилля имеет особенности р [г, нли же [г неограннчена), то возиожйо представить решение Ф(х) как «обобщенный интеграл Фурье» по (необходимо действительному) спектру 0 48! 15,5. ФУГ!КЦИИ ГРИНА 15. 5-1.
Имеем тогда почти для всех х ш У 1. С (х, 4] =. б (.т, з> — 2 У ! 65 Х З (х) Э =- 1 (15.5-5> Ф (х) = 1 б (х, 5) 7 (5) й У (5) (!5.5-2) (!5.5-8) (15.5-3а) или Ьб(х, $)=5(х, $) (х, 5ш У). ( 15.5-3Ь) ') В одномерном случае ау =ах. ГЛ. 15. ЛИНЕИНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Ф(х)= ~ Н(Л)ф(х, Л)йЛ, Н(Л)= — ~ф(5, Л))(5)йУ (15.4-40) пл (см. танже п. 10.5-1, методы интегральных преобразований). Если задача о собственных значениях (37) имеет кап дискретный, так и непрерывный спектр, то решение будет содержать члены вида (39) и интеграл (40); оба типа членов могут быть обьединеиы в интеграл Стилтьеса по спектру.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
