Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 113
Текст из файла (страница 113)
15.6-3). Решение (21) задачи Дирихге 7»Ф(г, О, «6=0 (г Я), Ф !, Я вЂ” — Ь(0, ьр) имеет энд Ф(.,0, р)= 2л л я !я — с«) ! й, ( ь (49 э') ми э иэ' (иитгграхьиая формула ал г ць 1 !яву с — эяс сох т)П» Пуассона) э о и может быть интерпретировано как потенциал двойного слоя. Выражение (27) «!покет быть разложено по сферическим гармоникам в соответствии с (21.8-681 (разложение по мультиполям, п. !5.6-5, с, см. также п. 10.4-9).
Формулы (26) — (29) доставляют решения для внутренности сферы (г Я). Если У вЂ” октьипсто сферы (г)Я), С(г, р) также дается формулой (26), однако теперь до ьс, О) до (г, О)1 С (г, р)= — — — '--= — ' 5 ' ду др ]Р=Я' так что знаки правых. частей формул (27) и (29) должны быть из»!гиены ка сбрапшые. !д) Т е о р а и а с у щ ос та о а а к и я. Фрикчия Грипп С !г. о) прови«яка Пиоссосьп с гс»овиями Лирих»в и, сс довптс»оио, рсикиив подави Лири»в с роврмимми кросвипи р»овия и срщ отвис и д»я л пкдой об ьпсти, огра ~ичвииовь коивчимм «иовом кусков р си.
»»риы» ты рхиоспии, кпждпя точки которы» можая битв вершимой тстрпвдрп, рптпво»с«иково вив (Ь) Полупространство с условиями Дирихле. Если 1'— полупространство г ) О, то функции Грина для условий Дврихле имеют ви.! ! с ! ! ь ! 6(г, р)= — ! — —,„~ = — [ьра(г — р) — гро(г — р)], (15.6-24) 4ль!с О! !С вЂ” О)] 4Л б (г, р)= — --= с) =,, (15.6-25) да дС) г 5 ' дч д' 10=0 2„!!х 0)ад ! ь!)с.!. я*!'7«' гке точка (р) ==(0, 41, — 5) есть зеркальное отражение точки (р) — (5, 11, !) в граничной плоскости.
Рен:ение (22) может быть интерпретировано как объемный потенциал, порождаемый данным зарядом и индуцированным ни зарядом в точке (р); решение (2!) выражает влияние неоднородных условий Дирихле в виде потенциала двойного слоя, расположенного на границе.
(с) Сфера с условиями Дирнхле. Интеграл Пуассон ь. если У есть пкугпрсииость сферы |г)=Я, то функции Грина при усяопь.ььх Дирихлг имеют внд ! 7 ! Я ! вл[,г — о! с (Я вЂ” г — о( 7' ьа = — - ~йь(г — р) — - — ьр, ~ —, г — р]1, (15.6-26) да до] с* — Я' 6 (г, р) = — — = — --] (15.6-27) 5 ' до дп1Р=Я 4ЛЯ 1»в.)-Я -2Я«со«У)бв' !Ь.е-т.
15.6-5. 15.6. ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА постоянной. выражастсп ураенение Пуассона— (15.6-39и) (х, у) 6)(» у)= $ (;- йх — - - йу). (х. у) (15.6.395) (!5В.41) (!5.6-36) (15.6-(В (45.6 !5) где Заметим, что (15.6-37) г д — ф Ь (я) Ля =()) — дя =О, (5) аз с с 05,6-44) ГЛ 15. ЛИНЕИИЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВИГНИЯ !5.6-7. двумернав теория потенцнала. Логарифмический потенцнвн. (а) Ео многих трехмерных задачах теории потенциала функцня Ф (х, у, г) не зависит от координа!ы г н у есть прямой цнлнндр, граничная поверхность 5 которого пересекает плоскость Оху по некоторой линии С (напрнмер, потенциал н течение вблизи бесконечного цилиндра, плоские граннцы). Этн задачи составляют содержание деумернай теории потенциала.
Теорема о дивергенпнн н теорема Гаусса принимают внд (4.6-33); используя прямоугольные декартовы координаты х, у нлн плоскне полярные координаты г, ц, можно записать ураенение Лапласа в виде д*Ф дЯФ ! д l дФЗ ! дзФ ТЯФ ны — + — нн — — (г — — )+ — — =О, дхя дуя г дг(, дг) гз ф(п где Ф =Ф(г), () =(7(г), г (х, у) =— (г, (р).
На двумерные гармонические функции полностью переносятся теоремы п. 15.6.4; след>ет только в теоремах о среднем значения заменить сферы на онружностн. Формула Кельвяна (5) имеет место для каждой окружности ! г — в !=(7; таким образом, сслн Ф (г, Ч) есть решение для г ((7, то — Ф( —, (р) есть решение для г)(7, н обратно. й ГВ' г Тг (Ь) Двумерное уравнение Лапласа (30) имеет элементарное решение, называемое логарифмических! папшнциалам точечного источника в г=р, зре(г — р)= !п =1п =, (!5.6-32) (г — в, т'( Ф, ! („,),' которое описывает потенциал равномерно заряженной прямой линяя в направ- ления осн г.
Функция (32) играет роль функция (8) в двумерной теории так, что потенциалы (12), (14) н (!5) нз п. 15.6-5 заменчюгпся своп)зепютзупяцими логарифмическими пптенципламн ~ (7(р) ф„(г — р) йА(р)=~ О(р)1п йА (р), о о '! а(Р)фя(г — Р) йз(Р)=$ а(Р)!п „, йз(Р), (15.6-34) С с ) р (Р) дп йз (1') ) р (Р) дп )п ! г , ! "з (Р) ( !5.6-35) с С Уравнение (20) заменяется яа Ф (г) — ~ фе (г — р) — йз (р)— г дФ с гн 1 Ф (Р) дч йз Р) гн $ фз (г — Р) Тяп Ф (Р) ((А (Р).
В о — йз (р) — ' йт! — — ' Ве. д! ф, Н) д! (й, яо д! ц, Ч) 15В-8. Двумерная теория потенцнала; сопряженные гармонические функция (см. также пп, 7.3-2 н 7,3.3). (а) Плоскость Оху может рассматрнваться как комплексная числовая плоскость с точкамя г=х+(у. Пара (необходнмо гармонических) функций Ф(х, у) н Чг(х, у) называются гармоннческн сопряженнымн в области О плоскости Оху тогда и только тогда, когда функция З=.Ф(х, у)+(ЧЯ(х, у) есть аналитическая функцня от г=х+!у в области О. Сопряженные гармонические фуннцни связаны урзвнениямн Хошн — Римана дФ дЧГ дФ дчз 15.6-33) дх ду' ду дх и определяют одна другую всюду в Р с точностью до адднтнвной Еслн дана функция Ф (х, у), гармоническая в Р, то Ч'(х, у) криволинейным интегралом (х, у) Ч'(», у)= $ ( —. -й~+ — йу), (х,, у,) где хе н у„-произвольные постоянные, а путь интегрирования ) внутри О.
Если д»на Ч'(х, у), то инеем Лип~и Ф (х, у)=сопз1 и Чг(х, у)=-сопя! образуют взаимно оппюсшчальнис ссмгйспиа. Этн линии нмею! важную фязяческую интерпретацию (зхеилояпснциальпие линии и линии градиента в электростатике, линии уровня пптснциага скоростей и линии пита для несжимаемых течений). З часто назывшот комплексным оотенцналом. (Ь) Каждое прспбпазоеание г= г(г) (г=х-)-(у, г=х+(уу), (15.6-40) аналшпичсское е у и пяакое, что йг(йг ~ 0 е )( (хопфпрляные опюбзрамчния, п. 7.9-!), прсобразус(п сопряженные гармонические функции Ф(х, у), Чя(х, у) е сапун»генные гармонические функции Ф(х, у), ф(х, у) с езаимно оргпогпнальними липипчи уровней.
Эта теорема позволяет упрощать граннчпые линии н линни уровня посредством конформных отображений (сь), также п. 15.б-9). (с) Пусть Чя (х, у) есть решенне зздячи Неанзня \ЯЯЧЯ=О (е О), — -- =Ь (х. у) =Ь (я) (ня С) ач тзн, чте Чя (х, у) н ее производные непрерыены ея С и, спедеьзгельие, ь О. Тогда функ. ДПН (59ЬЬ НЕЬПЛЕКСИЕ СЕПРЯЫЕЗНЯЯ фУПКННН ЧЯ (Х, У), ЕСГЬ РЕШЕПЯЕ ЗЯДЯЧИ ДИРИЯЗЕ Ч'Ф В (е О), Ф (х, у) =В (я, Ю =В (я) (нз С), дФ дчг — — (из С) нлн В Гц = — ~Ь (я) Ля.!. сопя!.
а. Ьп Решение Ф (х, у) зядячн Дирияпе (42) еиелегичиын ебрязен десгязляет репяеиие (59а) задачи неаыене (4!), если гехьне тяп, чге теорема Гаусса выполняется (сн, теные табл, 5,6.1 н п. !56.5, И. иьа-)о. >55. ТЕОРИЯ ПОТЕН)п)АЛА 492 )5.5-5. ГЛ. Ш.
ЛИНЕИНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНый УРАЕНЕНИЯ 15.6-9. Решенне двумерных краевых задач. Функции Грина и конформные отображеияя (см. также пп. 15.5-1, 15,5-4, 15.6-6). Методы функций Грина пп. 15.5-1 и 15.5-3 позволяют выразить решение Ф(г) уравнения Пуассона (31) с однородными линейными краевыми условиями в виде Ф (г) = $ 6 (г, р)(3(р) йй (р) О и решение Ф (г) уравнения Лапласа (30) с данными краевыми значениями б(г) функции Ф или дФ,'дп в виде Ф(г) = $ 6 (г, Р) 5 (Р) йа (Р). (15.6-46) а Решение уравнения Пуассона при неоднородных линейных краевых условиях может быть получено суперпозицией интегралов вида (45) и (46). Заме> ны, что 6(г, р)=6(р, г).
Функции Грина легко находятся в нижеследующих специальных случаях. (а) Функция Грина для всей плоскости. Если 0-вся плоскость, то формула (36) доставляет единственное решение (45) уравнения Пуассона при «крзезоы условии» Ф (г) 0 при г со. Соответствующая функция Грина есть 6(г, р)= — „!п,— „ (15.6-47) (Ь) Пол у плоскость с условиями Ди ри хле. Если 0 — полу- плоскость х) О, то функции Грина для условий Дирихлв имеют вид 6(г, р)= — [!и — 1п 2п (г — Е> (г Е! = зп 1фо (г р) фа (г р)1=4 !п ( )5 >5' (15.6-48) да да! ) л 6,(г, р)=- дб=д — „), о=„- „,+(„ где точка (р) ( — 5, т!) есть зеркальное отражение точки (р) а(5, 5)) в граничной линии.
(с) Онружность с условиями Дирихле. Интегральная фо рм у па Пуассон а. Если 0 есть круг г()7, то функции Грина для условий Дирихле имеют вид гзрз Яз -(- — — 2 р са5 ( — В ) (! 5. 6-50) 4н с -(- рз — зср са5 (о — в') 5' ' Р' де др)р =Я 2пЯ Я'+ г* — 2нг саз ( — В') где р', 9>' — полярные координаты точни (р). Решение (45) задачи Дирихле 7»Ф(г 4Т)=0 (г <)7), Ф =5 (9>), (15.6.52) принимает вид 2п Я* — с 5 (,) й, (интеграланич формула (15 6 53) (г' т) 2п 5 яа -)- гз — 2яс саа(Π— Ч') ~ ~ Пуассона) о и ыожет быть разложено в ряд Фурье по (р. Уравнения (50) — (53) доставляют решения для круга г ()7. Если 0 есть область г ))7, то 6(г, р) также выражается формулой (50), но в этом случае да до~ 6. (г, р) = — --= — ~ так, что знак в правых частях формул (5Ц и да др) р=н (е3) должен быть изменен ва обратный.
Дпп дейегвнтЕЛЬьЫХ й палажитеЛьнЫй знак СоотвстСтзуст Уходящплс Вопнзн, о>рнцагельпый знак — приходящим волнам, прн мнимых й=>м представляет большой н>перес только отрицательный показатель — , 'и >. Подстановкп выражений (58) емггпю (р»(г — р)= в формулы (8)— (!5), (23), (24) досшивллет ре>испил дифференциальных уравнений (56) и (57) вместо соответслиусощих решений уравнений Лапласа и Пуассона. Рсзультируюи(ие решевиз зал»а»ага ураииеи»п (и.
Ю.4-5) суть частные случаи зал юдываии(ис лалсп ииа.>аа (палажательиый знак е формуле (зви и ал раж»атил лал)5»- пиита (асрчцательиый зиа» з фарм>лс (55)). Н частааста, если Ф (и — лазжлы иепрерызиа паффереицируемае реьиеиие адпарадеага лпффереишыльиага трав»зим» (55), фармула (20) запекается па п>зарема Гел ию.и,иа иа г>а>-(л~г — а' > ) г 1 ц.>л'г — е)' ср(с>= — ) [' Ф, пп(ш — --) ЕФ7 ' Е ап(ш (швлш) 4п (,г — Е( П > 4п Е П >г — О 5 5 (г е у>. (Ь! Д н у м е р н ы й с л у ч а й. В случаи двумерных диф,йеренциальных уравнений вида (56) и (57) элене>парные частные решения (32) заменяюшя на — '-"-,'- П'„и (А ) г — р ) (уходлщпе волны), (Р,(г, Р)= ч; Н)'-' (А > г - р () (прихадлщие волны), где Н(') (г) — функции Гапкеля (п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
