Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 117
Текст из файла (страница 117)
Преобразование локального базиса прн преобразовании ксордш*нт, Еп локальных базисных векторов е;(х|, х-', ..., х") и е! (л|, к', ..., х"), связпвных с системой координат к', хэ, ..., х", позволщот получить аналитическое представление любого тенчора в визе системы его компонент (п. 16.1-4). 1|оные локальные базисные векторь! с»(х|, хэ, ..., хл) н е (л', х', ..., Хи), связанные с системой координат х', ..., х", имеют в этой системе компоненты, равные соответственно 6' н 6».
Веиторы локального базиса систеыы д! выражаются через векторы локального базиса системы х' следующиы образом: е» (х', д-', ..., Х")=- » е; (х', х-', ..., ха), дх Е" (Х', Х', ..., Ха)=- —. Е((Х', Х', ..., Хл). дк» дк! (16.6-4) Необходимо помнить, что в((к, л"", ..., к ) и е((хт, кл, „кл) являются, вообще говоря, различными векторами (одного и того жс вакторного пространства), а е одним и тсм жс эснторои, эаданиыы раэличиымн способа ~и Векторы с. проабразую ся формально так же, «эк компоненты абсолютного ковгрнэнтиого вектора (когргдигнащо Зги форма линейиа относительно и абсолютных контравариантных векторос е, (к', х-', ..., х"), е,(х|, хз, ..., х"), ..., е„(х|, к',, х"); последние называются контравариантными локальнымн базисными векторами координатной системы х (о значеник немых индексов см.
п. !6.1-3), Компоненты 1-го бизисиого ввюпора е! равны 61, 6з, ..., 6", (см. также п. !4.2-3). (Ь) Аналогично каждый (абсолютный или относительный) коаариантный вектор Ь с компонентами д! (х', к', ..., к") может быть следующим образом выражен через и абсолютных ковариантных локальных базисных векторов ет(х', кэ, „,, х"), е'(х', кл, ..., к"), ..., е" (х', к', ..., ха) этвм компонентам); закон преобразования е совпадает с авионам преобразования компонент коитравариаитного вектора. Компоненты а абсол>отиых нонтраварнантных вси! торов и компоненты»1 абсолютных ковариантных викторов (и, кан следствие, контравэриантныв и ковариантпыс базиснме векторы е( и в') преобразуются кон>ирагргдигнюиа, т с, таким образом, что внутреннее произведение а »1 является иигавиантом (си.
также п. 16.4 !). !6.7. ТЕНЗОРЫ В РИМАНОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ, АССОЦИИРОВАННЫЕ ТЕНЗОРЫ 16.7-1. Риманово пространство н фундаментальные тензоры. В каждом рпмановом пространстве может быть определено скалярное произведзние, а вместе с ннм длины и углы (п. 16.8-!1 см. танже п. 14.2-7); зти определения приводят в свою очередь к полезным обобщениям евклидовой геометрии (см. также пп.
17.4-1 — !7.4-7). Пространство конечного числа измерений, точки которого определяются упорядоченными системами и лействительных 1) чисел (ноордннат) х|, ха, ... ..., хп, называется римановым пространством, если в нем задан абсолютный коваризнтный тенчор ранга 2 (п. 16.2-1) с компонентами Аг!»(х', к', ..., к"), удовлетворяющими в рассматриваемой области прострлнства следующим трем требованиям: 1) Каждая компонента (В»(х', х'-, ..., хи) является лействительной функцией координат и имеет непрерывные частные производные; 2) д|» (х', х'-, ..., х") =- (|»1(х|, х', ..., х"); 3) я= бе[ [я)1,(х', х', ..., х")) Ф О. квадратичная форма, соотве.сств>ющая матрнна [61 (к, кэ...„к")[, часта прел- полагается положительно опрсдслсиноа (п. |з.з-я), хотя это нс является шоокодимым; случай исопрсдслсиноб форма! представляет интерес для !сории отиоситсл[55!остн (см также пп.
1 .5-1 я !74-6) Все перечисленные свойства тевзора (В» инвариантны относительно допустимых (п. !6.1-2) преобразований координат. Тензор (см, также п, 17Л-2) с компонентами я(»(хэ, хэ, ..., х") (метрический тензор) и абсолютный симметрический тс)юпр ранга 2, компоненты которого 8!» (х', кэ, ..., х") опреде. лаются соотношеннямн о!» 671»8»1= 6,' или 87» =— (16.7-!) где О|» = 6»1 есть алгебраическое пополнение (п.
1.6-2) йй» в определителе бе( [а(»] (ассоцинровавный метрический тензор), называются фундамеитальнымй тензорамн риманова пространства. '- Компоиснты иагкдого иэ фуидаманталаных тензаров апраделяют диффгр нчиал длины дуги й (пли лггнг!)иэи) элгмгма,й') и, следовательно, всю гнуюреммюю гсолиюрию романова простравссза (п |7 4 | — ИЛ-7). Так как при любом преобразовании воордиаат я =-дс| [В„,) преобразуется па формуле -э -и ! „1 д(кл, кэ ки))э Х(к|, к,..., л")=Х(к, л,,х )[ д(1 кэ л) то сстессвсиао принять, что д (х! кэ )' [ Х (лл, лз, , хи) | = )' ! Х (к', к', „ кл) [ †" ' ",' ' ' ' ') Теория, изло>кснная и пп 16.7-! — !6,10-11, применима н векторам и танэоргщ с действитальными начповеитаэщ, определенными в действительных римаиовык а, а.
страэстзак (послсдиес означает, что координаты точек действительны), а также з рл. мааовык просграисэвал теории относительности, где мннмыс координаты использую!си, в сущиостй, лищь как фариа записи. 506 ГЛ. Ю. тЕНЗОРНАЯ АЛГЕепй И тЕНЗОпНЫИ АНАЛИЗ )ап.э.
ж.з. Скдлярч!ое произведение некто~оп 507 прн этом допущенни выбор зквкв перед )г ~ я (хх, хэ, ..., х") ! в одной спстеме коордннэт однозначно определяет соответствующий знак для любой системы. Система коордкнэт хэ, хз...., хк взвивается правой, есл» в втой системе коордннэт скэляривя плотность )У )6 (хз, х ...., х ) ~ яозожнтельнз, н левой, если онз отрнцвтсльнэ )см. также пп. 6.2 3, Ь н 6.4-3, с). )4 16.7-2. Ассоциированные тензары 1). Поднятие и опускание индексов.
Контравариантный (абсолютный илн относительный) вектор с компонентами о и ковариантиый вектор с компоиентаин а), заданные э риманавом пространстве, называются ассоциированными, если нх компоненты связаны в каждой точке следующими соотношениями: ай=а!д!" и, следовательно, а)=8!йай. (16,7-2) Аналогнчно, для того чтобы получить теизор, ассоциированный данному тензору ! ! ... ! с компонентами А 'э '" г, следует, по определению, поднять мндекс й посй,й, й; редством внутреннего умножения иа я или опустить индекс ! посредством й) внутреннего умножения на дд) можно также совершить несколько операций этого рода. Тензор, ранг которого больше единицы, имеет несколько различных ассоциированных тенэоров.
Поскольку компоненты всех тензоров, ассоциированных данному тензору А, целесообразно обозначать одной и той же буквой А, необходимо принимать во внимание порядок, в котором верхние индейсы расположены по отношению и нижним (см. также п. 16,2-1). Так, результат ! ! поднятия индекса йе в А 'в"' г записывается следующим образом: 1 З ." "Э !1!З "" !г ! )йэ !1 З "' 'Г (!6.7-3) Поднятие ранее опущенных нли опускание ранее поднятых индеисов возвращает к компонентам первоначального теизора.
3 э м е ч е н к е. Ковтрэвврнентиые н ковврнвнтные е-символы !и. 16,5-3) связаны ыютнощенпкмм =як,акга ...Я,йсэя".н. — йа ...й 1З"' н 11'ЗЭ лз !ЩЛ-4) е 1 З'" Н= — Я 116 Ээ„й Нее йа...й ! й! й! й! я !!)3" Св и ке язляютсн вссоцкврпвэнкымн относнтельиымн тензорэмн 16.7-3.
Зквнввлентность ассоциированных тснзоров. Соответствие между ассоциированными тензорами в римановом пространстве устанавливает между ними отношение эквивалентности, разбивающее множество всех тензоров на классы эквивалентных тензоров, не имеющие общих элементов (п. 12.1-3, Ь). Поэтому в римаиовом пространстве компоненты всех тензоров, ассопнированиых теизору А, рассматриваются как различные аналитические представленмя тензора А (см.-также п. 16.9-1). В частности, компоненты ай и ан связанные соотношениями (2), можно интерпретировать как контроаприантные и коеариантные составляющие одного и тога жг вектора а относительно локального базиса, связанного с данной системой координат, В обозначениях п. 16.6-1 а = а)эей = а!е), (16.7-5) Следовательно, базисные векторы е„е„..., е„н е', ез, ..., е" в случае рима- нова пространствз можно рассматривать как два различных базиса одного !) См.
также сноску в п. )3.3-1. и того же векторного пространства; их называют взапмиымм бизнсщвн (см, также п. 16.8-2). Зависимость между векторами взаимных базисов совпадает по форме с зависимостью между компоиентамн ассоциированных векторов: ей=к!эе), с)=Вп,е". (!6.7-6) Подстэновкэ вырэжсннй !6) для некоторых нз ей н е в !!6,6-3) соатеетсгеуетподвятвю нлн опусканию нвдексов тевзорв А !см. также и. 16.9-1). 1зн.4, Операции нэд тенэорвмн в рнмэновых пространствах. П рнмэпозом прострэнстве! !).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
