Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 120
Текст из файла (страница 120)
е е ... е е 'е 2 ... е ' с' с' с' С!12„, С,' сз 1З'" !г как результат «умножения» тензора А . . е; е, ... ес,е е ... е 11 " г 11 12 С» !12" » на символ 7)= — —, то коваряантную производную (22) тензора А можно о дхС записать в виде внешнего спроизведения» (п. 16.3-6) тензора А и (инвариантного) «вектора» о 7 = е! — == елрс, дхС (16.10-26) О дк! о — дк! — — илн Чь = — Чс.
дха дха дхг дхз (16.10-27) (Ь) Соотношения между компонентами тензорое, иолучснныс е результате коэариаитного дифференцирования, а также сложения и умножения тснэороз, инвариантна относительно группы допустимых ссреобразозаний координат (см. также пп. 16А-1 н 16.10-1). Тензорные величины, образованные посредством внешнего н внутреннего умножения других тензорных величин на инвариантный оператор (26), называются дифференциальными инвариантамн. В табл.
16.10-1 указаны важнейшие дифференциальные инварианты. 16.10-8. Абсолютные (внутренние) производные и производные по направлению (см, также п. 5.5-3). Если в рнмановом пространстве задана регулярная кривая х'=х!(с) (!с~с -с») (16.10-28) то компонеспы йхс)йг определяют контраварнантный вектор дг)»С, снаправленный» по касательной к данной кривой (н.
17.4-2), Абсолютной (внутренней) производной »А)»С истинного или относительного тевзора А (с дифференцируемымн компонентами) по параметру С вдоль данной кривой назывзетсн следующий тензор того же весз, ранга н типа, как А: — =( — ' 7) А! компоненты тензора — равны дд ж .А, з-' !=А)У-' г —. О,С, С, С! ...! дк( — 1,12 ,. 1, ! »С (16.10-29) 17' который называется дифференциальным оператором набла; его «компоненты» о — -=7) преобразуются, как коварнантные компоненты вектора (п. 16.2-1). дх! Для любого преобразования координат в рнмановом пространстве Таблица !6.10-1 (36.30-32) )ОАдч )дАА, у л (16.!0-35) (16Л 0-36) (16.10-37) дД дД Удг — =--+(-- )А, д! д! (сл ! длу э"' г 'Э у!'Э - уг '1'э -. уг угг ОА ° й ! 16 (!О.ПЬ36) (36.10-30) 616 ГЛ.
1б. ТВНЗОРНАЯ АЛГЕБРА И ТЕНЗОРНЫИ АНАЛИЗ 16.10-6. Дифференциальные инварианты, определенные в рнмбновых пространствах (- О ч е! —. миг/чу, см. также пп. 16 2 2, !6.10-1 — !6.10 7, табл. 6А! — 6.5-11) дхг (а) Градиент (абсолютного) скаляра а есть (абсолютмый) ва«тор ча = еу —. = е,.ху —. да г да дгг г дх! ' (И) Ковариаптиая производная ча (абсолютного) веитора а называется градиентом нли локальным аффинором вектора а. дввергеицив (абсолютного) вектоРа а является (абсолэ1тимм) скалярам Ч ° а; оиа равна Чо — = — +а Г ! — —.(У(а! а) 1 Оа' ди!» 1 ! д дх! дх!»! У! а ! дх! 3 а м е ч а н и е. Соответствующие формулы табл.
5.5-! могут применяться и градиенту и дивергенция в рнмаиоаых пространствах (см. также и. 16,!0.5). (с) Оператор Лапласа Ч* Ч ° Ч является ннварнантным скалярным оператоРом а — — а Ч!Ч». В частности, лапласнан Ч а (абсолютного) скэляра а и э дх! дх» имеет внд ии аг»17. ии аиг ГУ ) у» О да ; ди У д*а да дх! дх» дг» дх! дх» !» дху 1 д У,» да дх" / (д) Если (абсолютный) вектор а годин компонентами а., то аитигимигтрич! гмй (ибсегютлью) тгпзгр г хомпоигит ии Оо! Оо! да! дп. = — — — — им Чуа. — Ч.а>= — —.
дх! дх! ' ' дхг дх! тгждггтггние обпещигтсл г ихль г тем и только г тгм !луча«, сели а яглягтся градиентам (ибсглютнггг) гколаро. Замечание. При л=з можно определить ротор (абсолютного) вектора а как (абсолютный) вектор Ч х а с компоиентамн 1 Оау . 1 1 УОи. Ои!( .. 1 ! да! до!у — ' ! гу!» = — ( — —. 3 с!У» 27'(а3 ~ дг! дх! ~ 2У)а, ~дх дх! ~ (см. также п. 166-4). К (абсолютным) векторам трехмерного риманова пространства могут применяться формулы табл. 5.5-1 н уравнении (5.5.!О).
Если компоненты тенвора А зависят от г не только через координаты х, х, ..., хл 1 Э ио н явно, то Производной по нвпрввленню йдуйз тензорв А в нзправленнн ивиной кривой уйзМО, п. 17.4-2) нвзыввегся абсолютная производнвя тензорв А по длине дуги 3 вдоль кривой, 16.10-!1. 1б.ю. АБсолютнОВ диФФереипидльнбе исчисление б!7 16.10 -9. Теизоры, постоянные вдоль кривой. Урввнення пврвллелизмв, Тензор А является по определению постоянным вдоль регулярной кривой (28) (т.
е. его сзнвченияэ в соседних точках кривой срввныэ), если его абсолютная производная (80) (и, следоввтельио, также его вбсолютный дифференциал дА ад= — йз) вдоль кривой равны нулю. Суммы и произтдспия таких тензодг роэ также постоянна вдоль рассматриваемой кривой, твк что, нзпрнмер, модули постоянных векторов и углы между нами постоянны. Каждый вектор 6, компоненты которого а! (х', хэ, ..., х"), ау(х', х', ..., х") удовлетворнют диффсренцизльным уравнениям (Уа! =0 или ()а(=0 (уразисния параллелизма) (16.10-31) прн условии, что дифференциалы коорлинвт х', хэ, ..., х" определяют смен!еиис вдоль кривой (28), подвергается спврвллельному переносу» вдаль кривой.
3 а и е ч а и н е. Вектор, полученный в результате «параллельного переноса» данного вектора а вдоль замкнутой кривой, ие совпадает, вообще гоэоря, с этим вектором по возвращении в нсхолаую точку (см. также и. 17.4-6). 16.!0-10. Интегрирование тензориых величин. Элемент объема, Интегралы от ген. зорнык величия вдоль кривых в'рнчаяовом пространстве могут быть определены при пОмощи скалярных интегралов по параметру так же, иак это сделано Хле векторов а пп. 5.4-5 и 6.2-3, а.
Элемент объема дч определяетси (см, также пп. 6.2.3, Ь и 6.4-3, с) следующим выражением: д у = У~ а ! дх! дхэ ... дх" «»Есле в выражении для ич опустить множитель )У! а!, то элемент объема оказывается псевдоскалэром веса — 1, т. е. скалярной емкостью (п. 16.2-!и так как 1'3 а !— скаля ная плотность, то (16.10-32) определяет ау как инвариант.ж Р гпегрелы по объему от скалярных ннввриантов явлиются скалярнмми ннвариан. тами, но интегралы по объему от тенэоров ранга Я > 0 не являются, вообще говори, тенэорами Элемент объема может быть определен така«е для надпространства; он яв. ляется аналогом элемента площади в трехмерноы пространстве. существуют обобщения интегральных теорем, приведенных в пп. 5.6-! н 5,6-2 (см. и.
16ЛО-И) 16.10-11, дифференциальные инварианты тензоров ранга 2! интегральные теоремы !см также и 169-!) дивергенцией тензора А ранга 2 (с дяоаюреицируемымн компонен. теми), определенного в рнмановом пространстве, называется вектор ч А; оператор ч (и. 16.10-73 действует как коэариаитный вектор. Следует отметить соотношения Ч (аА) и(у.А+ А Ча, (16.30-33) Ч (а.А) (Ча)"А+(Ч.А! а, (У.(А а)=(та)"А+(Ч А).а, 06 3034) где тензор А получен тлилггогирггеииел А (.4» Ау).
теивор ча наэываетсн грациентом а (табл 36.!0-1) Длэ фуикцнй. кривых и поверхностей, удовле варяющнх изветным условиям, имеют место илтегьольиие теоремы, аналогичные теоремам пп. 5.6-! и 5.6-2! ) Ча ду = ) иАа; ) (ЧХА) ду = 1 (аАХА). у 5 У 5 ) ч (д ) и)'= 1 ид (А 1. 5 ) ил (ЧХД) = ) дг А. л С 17,1-4 . 17.1. КРИВЫЕ ИА ЕВКЛИДОВОЙ ПЛОСКОСТИ 519 ГЛАВА 17 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 17Л. КРИВЫЕ НЛ ЕВКЛИДОВОЙ ПЛОСКОСТИ к шишкой кривой. Пусть кривая С задана (п.
2.1.9) 17. 1-1. Касательиаа уравнениими х=х(7), у=у(Г) % (х, у)=О, (17. 1- 1а) (ПЬ1-(Ь) нли или (17.1-1с) нли ® ( — хз)+~ о) (у — у))=О, (17. 1-2Ь) (17. 1. 2с) или У вЂ” У)=( — ) (х — хз) '(ил)1 в каждой регулярной точке (х„ у,) кривой; регулярная точка характеризуется либо тем, что а) при некотором выборе параметра функции х((), у (() будут иметь в достаточной близости от 71 непрерывные нроизволные первого порядка, не равные одновременно нулю, вибо тем, что Ь) для некоторого уравнения 1р(х, у)=0 кривой С функция 1р(х, у) имеет в достаточно малой окрестности точки (х„ у,) непрерывные частные производные первого порядка, иэ которых по меньшей мере одна отлична от нуля, Из Ь) всегда следует а); условик а) и Ь) эквивалентны, если (х,, у,) не является кратной точкой кривой С, что заведомо имеет место для той дуги кривой, на которой хотя бы одна нз произволных х'(Г), у'(Г) сохраняет знак.
Угловой коэффициент касательной (2) равен 18 8 =(й),= — ('-;„-),/(д; —,), =(дга),/~ 5), (ПД-8) НЛ-2. Нормаль к плоской кривой. Нормалью к ириной (1) в регулярной точке Р, (х„у,) называется прямая, проходящая через Р, и перпендикулярная к касательной в точне Рб у — у, = — (х-хз). (гу)гл), (17.1-4) Положительное направление нормали может быть тем нлн иным способом согласовано с положительным направлевнем касательной; последнее совпадает с положительным направлением кривой. Положительное направление кривой определяется некоторым лополнительным условием (возрастание С возрастание х и т. дб см. также п. 2.2-1).
у=7(х). Касательной к кривой С и гг точке Рз (х„у,) — Р, )х(А), у(7,)) иазыгагтся прямая, являющаяся предельным положением сгкущгй, проходящий чарлз Р, и через отличную от ягг точку Р, атой кривой при стремлении Рз к Р,. Крииая (1) имеет елинственную иасательную с уравнениями х=(„— ) (à — 71)+х, у=Я) (( — 11)+уз, (17,1-2а) 17.1-3.
4(Особые точки. Всякая точка кривой, яг яаляяю(аяся регулярной, называется особой. Пусть кривзн (1Ь) облалает тем свойством, что все производные от 1р(х, у) до (и — 1)-го порядка включательно равны нулю в точке Р, (х„уз), в то время кан производные и-го порялка непрерывны в некоторой окрестности (х,, у,) и не равны одновременно аулю в этой точке.
Тогда кривая имеет и касательных в Р;, некоторые из аих могут совпалать или оказаться мнимыми (последних будет четное число). Так, если все проиэводныс первого порядка от ер(х, у) равны нулю в точке Р,(х„у,), а производные второго порядка не все равны нулю, то угловые коэффициенты йу)йх двух касательных в точке Р, являются корнями квадратного уравнения дчу /уу)* д*о дг дер дг' (агз) дз дг Лз дк' — /-- ) +2 — — + — =О (х=х, у=у,). (!7.1-5) 1 Корин уравнения (5) и, следовзтельно, две касательные, могут быть действительными н различными (дгойиая точка, узел), совпадающими (точка гозираоза либо точка гамоприкослоагкия) или мнимыми (изолирогаияая точка); во всех эп)х случаях точка (х,, у,) является особой. Свойства кривой в особой точке могут быть описаны также в терминах производных от х(() и у(7).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
