Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 123
Текст из файла (страница 123)
17.3.4. Геодезическая н нормэльнаи кривизна кривой ив поверхности. Теореме Меяье. (в) В каждой точке (и, о) регулярной кривой С г=г[и(з), о(з)[ нлн и=и(з), о=о(з), лежащей на поверхности 5, вектор кривизны г" У йп (п. 17.2-2, й) может быть единственным образом представлен в виде суммы двух вектороа, олин нз которых (вектор геодезической нли тангенцнзльной кривизны) лежит в касательной плоскости, а другой (вектор нормальной кривизны) направлен вдоль нормали к поверхности 5, т. е. гы» йп=ди(р> Х г')+ЬЛЫ; (17.3-15) — йг ° йР> = 5 (и, о) йи'+ 2 М (и, о) йи йо+ 57 (и, о) йо» (вторая основная квадратичная форма позгрхлости), где С(и' О) Ги'14и л»» л е 1'ЕΠ— Е* (17.3-19) М(и, о)= — г„° Ь> = — г, р(л= [ тле г»»» е[ У ЕΠ— Р» А»(и, о)= — г ° 2( [ гатти ге[ Уеб — к Все производные берутся в точке (и, о); подробные выражения для смешанных произведений можно написать по формуле (5.2-11). Кривизна нормального сечения з лючхе (и, о) п»мгрхности 5, плоскость авнорого проходит через бесконечно близсую точку етой поверхности (и+пи, о+до), разно бг'б 5 7~1и»~+2М бибо+А» (бл >~ би +2М бибо+ бл» »и» (б» / б» б» 1»5/ е би + 2Р би бе+ О бл» (17.
3-3)) бо .Х из формулы (з), »»цлсаеной л «вде б»=ба г + — г ~), следует, что отеоще» и би т) няе бо)би вполне оорехеляет в»правление касательной к рассматриваемому нормаль ному сечевею. 4( (Ь) Точка поверхности, в которой Ьл имеет одно н то же значение для всех нормальных сечений (5 ! М: У=В ! р 16), называется оибилической. В каждой неомбилнческой точке (и, о) существует два нормальных сечения (главные нормальные сечения), которым соответствуют наибольшая величина д! н наименьшая велнчинз й кривизны АА, (главные кривизны поверхности 5 в точке (и, о)). Плоскости главных нормал»ных сечений гэаимло агрлгндику. лярны; для любого нормального сечения з тачки (и, о), плоскость ко»порога образует угол 0 с плоскостью пгрвмо главного нормального сечения, ДА=5 соз»0+Ьзып»0 (тгоргиа Эйлера).
(17.3-21) Величины Д» н й» являются корня)ли характеристического уравнения *) [м йр л — йи~ (17. 3- 22) *) Ии»че говори, Л, е й» есть собственные числа обобщевлой задаче о соб»т»ее иых ллачеялях матрицы Л вЂ” ЛВ, гхе в=~ ) н илтрнца В наложит»льва определевв (я. !4.2-7). Уравнение (18) выражает кривизну любого наклонного сечения через кривизну нормального сечения с той же касательной.
17.3-5. Вторая основная квадратичная форма. Главные кривизны, гауссова кривизна и средняя кривизна. (в) для тога чтобы записать выражения для йм (формула (17)) в криволинейных координатах и, о, рассматриваем йр( = р> йи+ р> йо н вводим обозначения 17.3 6, (! 7. 3-27) (17.3-24) СЕ« — 2РР -(- РС 1/5 2 (Еб — Р'> 1П 2)5 (2 !)5 2(ЕС вЂ” Р) 1 (=- ! ) — Еб .>- 26Р— 66« 2 2/5 2 (Еб — Ги> ! до» вЂ” ди ди дИ Е Р б =Г, (17 3-26) (17.3-22) з) См. сноску нн стр, 6!3, ГЛ. !7. ДИФФЕРЕНПИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Симметрические функции Н (я, о) мк 2 (А> +йт) Я К (Я, о) — й!Аз 1 называются соответственно средней и полной (гвуссовой) кривизной поверкно- сти 3 в точке (и, о); они следующим образом выражаются через коэффициенты основных квадратичных форм: Н вЂ” - (й!+Аз) = — 2, (следил» криеизка), (17.3-23) С>У вЂ” М" К ьы й!АЗ иы ЕС ую (ЗОУСщыо КР»ЕИЗЛП) (см.
также пп. 17.3-8 н 17.3-!3). Значения функций й„йз, Н н К не зависят от выбора криволинейных координат. В зависимости от того, будет лн квадратичная форма (19) определенной, полуопределенной нлн неопределенной (и. 13.5-2) в точке (и, о), зта последняя является зллиптнческой точкой, в которой К=А!2» ) О (нормальные сече. ния все выпуклы нлн все вогнуты; поверхность не пересекает касательную плоскость; и р и м е р> любая точка зллипсонда); параболической точкой, в которой К=А,А,=О (н а и р н и е р, любая точка цилиндра); гиперболической точкой (седло«ой точкой), в которой К» й!Аз ( О (имеются как выпуклые, так и вогнутые нормальные сечения; поверхность пересекает касательную плоскость; пример: любая точка однополостного гиперболоида).
Омбнлнческая точка (А! =й, и. 17.3.5, Ь) необходимо явл»ется либо вллиптнческой, либо параболической. !7.3-6. Некоторые «вправления «крнвые «в поверхности. Минимальные поверхности. (а) Лвняей кривив«ы не пачерхнастн яазыввется кривая, в каждой точке которой касательная пр«надлежнт плоскости глав«аго яормальнага сечения в втой тачке. Через каждую неомбнлнческую тачку (и, о) поверхности 5 проходят две линни кривизны О = о (и), которые являются взаимно перпендякулярнммн; нх д«фференциальнае урввне»ие «мест внд (Ы Асимптотической лянней поверхности называется кривая, иормальнеи кривизна (20) которой в каждой точке равна нулю; ас«мптатнчесние л«нин определяются днфференцнальным уравнением !.
ди* + 2М ди да -(- А» ди* О. (!7.3-26) (Пр «мер: люба« праман линкя на поверхности.) Направления нвсательных к аснмптотнческим линиям называются ас«мптот«ческямв нвпрзвлея«ямв поверхности 4( В зллнптической точне поверхности всимитатнческне нвправлення являются минмымн В гнпербалнческой точке имеются две различных вснмптотнческнх наирзвленп». Лни«н крнянз«ы делит пополам угол между ннмн В прраболнчесной точке имеется одно зснмптотическое направление, которое савпа.
дает с направлен«ем квсательиай к главному нормальному сечеявю, имеющему нулевую кр«визну. »2 (с) Иапрввлеяня двух регуляр«мх дуг поверхности и с,(О, о 1',(с я и с~у> О=узю навываютсв сопряжениыын в точке их пересечения (и, О), есле касвтельнаа к одной «з 17.3.7, 17.3, ПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 529 втнх дуг в точке (и, и) является предельным положеннем прнмой, по которой «асвтель. нз« плоскость поверх«ости в точке (и, о) пересекается с касательной плоскостью позерх- ноств в некоторой точне второй дуги прн стремлении той точки к (и, о), Углов«в со- пряисеннастн имеет внд Сдб,ди,+М 626, др,+УС,др,)+Л дУ,ЛУ.=О. (П р и м е р: направления линий кривизны.) Отношение сопрел«еяностн является взанмнмм. (д) Координатные линни и = сапе(, с = сапе( «аляютс« ортогоиог»ными, если Р О, гонрхжгкиюии, еглн М О, линиями «ригизию, если Р й О, М = О, асимктотичгски«и, если > = О, А» = О.
Все прпведеяные условна необходимы и достаточны. (е) Н Мин«малыюй поверхностью незмвается поверхность, у которой Е (и, О) — О, т. е. 6» — — — а, (формула (23)) это имггт место г тои и »юлька г гном случае. когда Осииптгтичгсхиг линии образуют гртггоногькую сг пь, Н Пусть двкв поверхность в виде адносвязной области, ограниченной замкнутым ко»- туром.
Если оставить неизменным но»тур н ме«ять натянутую на »его поверхность (кек мепяетс» упругая пленка), то поз»Ля»ость, имг»гщал ноимгиьшую площадь, будет Облзитггьио г»ииимо.шиой! отыснанне м«н«мвльиой поверхности по заданному контуру яззывеется задач»6 Плато. Фнзнческнм аналогом мн««мвльной паверкнаст» может служить мыльная плевка, натянутая нз нзагнутмй в пространстве проволочный нантур, 17.3-7. Позер«наст««ек рама«азы простре«став. Трехяндекс«ые снмволы Кр«стоффеля н пврзметры Бельтрамн. Регулярный кусок поверхности 5 с первая основная квгдратнчяой формой (2) является дгумгрнь»м рико»азии лрогтроистгом, отнесенным к ноордннатгм и, О.
»Ттричгский тгязор которого имеет компоненты: 2»,.= Е, ею = =Е =и, ею =С (ПП. 16,7-1 И 17.З-П Сн таКжЕ О. 17,3-12Н и (и, О) =ЕС вЂ” Р» ЕСТЬ ОЛ- ргдегитггь мгтричгского т нгоро (и. 16 7.1). Есле рвссмвтрновть поверхность кан рима. ново прострзяства, то не ней можно определять векторы, тенворм, скалярное произведение и кавврнвнт«ае днфференц«рован«е (и.
!6.2-1, 16.8-1 н !6.10-1) гргхикдгкгимг символа Кристоффеля второго родо (и !6.!Оз) «мсют для поверхнати 5 след>ющнй вид*>» 1) 5 2 (Еб — Рг) (,*.~*=(,')щ=:;:.:; ~ "'"' 2 ) Еб — 2РР ->- Рби (2 2)5 2(Е6 — Р*) Обазцечеице 5 цспальзовено для того, чтОбы Отлич«ть симВОлы Кристафдюл» па"«рх ! а ностн ат символов Кристоффеля ( .! объемлющего прострзн«теа (д Длн функций Ф (и, и), ч'(и, О), имеющих непрерывные частные производные нужного порядка, могут быть составлевы дифференциальные внзврнанты Е(о Чгв > >фи)ь ! Фн)р) ! СФ«чти 25(, >- ' " Еб и„ (пгргмй дифференциальный киримгтр Бгттро»и), ~ д СФ« — РЬ, д ЕЬ,— РФ„ у (Ф) .+— У Еб — Р» (ди )г Еб — Рг ди У ЕС вЂ” Р» (второй диффгргнциогьнии параметр Бггьтраюи), вполне аналогичные ТФ ОЧ» «2»Ф, определенным в табл !6 16-1, так «ек двумерное рнменово прас»рви«тво .погружено в трехмерное евклидова пространство, ковернвятное дифференцирование на поверхности можно интерпретировать прн помощи действнтельнога сраонення векторов поверхности е соседннх ее точках; однако прн этом должно рассматриваться не приращение вектора, а его ортогональная нроекцня Иа касательную плоскость.
ужа-а мнимы (урагнгнил Гаусса), (17.3-30) На ЕС Рг ]<ЕМ 1 Н = ]<ЕСТ з>(и, о)= — —, (С вЂ” У) 1 21 (17.3-37) Уе «У РХ ф О. ЕХ). ф О (17.3-33) ГЛ. !7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 17.3-3. Уравнении с чесгиымп ауезюнеднымп, свазывввнцве каеффвюымтм осиовиьш кведрвтмчмык йюрм.
7)магна!а ейтек)тв Гаусса. (а) Изменение линейно независимых векторов г, °, Н <слокзльвый базисе) прв и о сиен!сипя вдоль «оордиизтных липпе поверхности опксывзетсм следующиии соотиоше- > тн + <Р ВМ> "а) (уравнения (17.3-3!) Всйнгартгно) — СМ) г + (РМ вЂ” Е)С> г ]. йг> Ус«евин севместиастм систезаг днффершщвзльвых уравнений (17.3.30) (ущювип внтегРиРУемост», ц, 10.1-2, с).
Равносильные соотношеиинм т„'ц — — г ц, г и ги имеют ввд (с) Уравнения (33) выражази К только через Е, Р, С н их производные, откуда слццует, что гауссзза криалзна с((и, о) логгрхлостц ягллгтсл няварвемтом изгибания, т, г, нг мгллгтся лрц таких дгформачшт лгагрлагсти. лри колюрмх сохраняется т лереае кгадаатлчлал форма <Гйгоггта Еегге(ат Гаусса> 17.3-9. Определенке поверхности коэффициентами ее основных квйдрагнч. ных форм. Трн функцнн Е(и, о), 0(и, о) н Р(и, о), удовлетворяющие условиям Е(и, о)>0, 0(и, о)>0, Е0 — Рз>0, определяют метрнку (внутреннюю геометрию) поверхности. Шесть функций Е, Р, О, Е, М, АС, удаелелыоряющих указанным вьаие нсрпвенапаам и условиям совместности (32) и (3о). однозначно опредглянхп действительную поверхность г=г(и, о) с точностью до ве положения в лростринствв (основная пюореми теории поверхностей).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
