Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 125
Текст из файла (страница 125)
Ортогональные траектории семейства (геодезические параллельные) отсекают на геодезических линиях дуги равной длины. Следовательно, эти ортогональные траектории можно при подходящем выборе начала отсчета на каждой из геодезических определить уравнением з=сопз!. Вектор с компонентами будет иметь направленис нормали к геодезической 1=сопя!, касаясь в то же время двумерной поверхности риманова пространства х'=х" (в, Х) (3, Х вЂ” переменные параметры). Вектор т)' меняется при перемещении вдоль любой из геодезических семейства таким образом, что где р/ — координаты единичного вектора касательной к данной геодезической линии. (с)44 Плоск ие яр остр а н ств а. Рнманово пространство называется плоским, если в окрестности каждой его точки существует такая система координат 54, 5э, ..., 5и (декартовы прямоугольные координаты), что в этой окрестности „/ 3 3 (51)з ! е (5э)э ! ! е (эья)э (! 7.4-20) где е/ постоянны и равны либо -!-1, либо — 1, Риманово пространство является плоским в том и только в том случае, если все компоненты его тензора кривизны /с( л или /7 „л равны нулю в каж/а л дой тачке пространства, так что в плоском пространстве смешанные ковариантные производные не зависят от последовательности дифференцирования, и параллельное перенесение тензора вдоль замкнутого контура оставляет все компоненты тензора неизменными (пп.
16.10-9 и 17.4.6, а)1). В любой дэяэртозой координатной сястеиэ зсе сяизолы Кристоффеля тожцэстзеяяо рэзяы яуэю; яоязряэятяоэ дяффэрэяцяроэззяэ сэодятся я обичяоиу дяффэрэяцяроззяяю я люб»я геодезическая определяется эяязйяиия пзрзизтряческяия урззяеяяяия $/= о//.(-Ьэ, Фуядэмэятзэьязя форм» (20) может бить дополяятеэьяо упрощена посрэдстзои эзэдэяяя яоордяязт! =ф эй; ь «»ляется ияяиии, эсэя е = — 1 (это лослэдяээ обстоя- 1 э тэльстзо имеет место а теория отяосятээьяостз). Х.
(6) Плоское риманово пространство с поло)кительно определенной метрикой (все е/ в (м)) равны+1) называют лонально евклидовым. Топология (п. 12.5-1) локально евклидова пространства может отличаться от эобычной» топологии евклидова пространства элементарной геометрии (гл. 2 и 3); иногда, впрочем, локально евклидова пространство также называют евклидовым независимо от его топологии.
С другой стороны, плоское пространство иногда называют локально евклидоаым независимо от того, является ли его фундаментальная форма положительно определенной, а в случае положительно определенной формы (17.4.20) употребаяют терь)ин «собственно евклидова пространство»; если же форма (20) не является положительно определенной, то пространство называют псевдоевклидовым. )4 17.4-7. Специальные координатные системы. Благодаря инвариантности тензорных уравнений (п, !6.1-4, 16.4-1, 16.10.7, Ь) часто удается упростить математические рассуждения путем использования одной из специальных координатных систем. ') При этом предполагается, это «оятур может служить грэяяцей аозерхяостя, зсе зочяя заторов пряиэдлэжэт плоскому пространству.
чтл-т. 18 1 ВВЕДЕНИЕ гл. !т. диаоьркнцидльная гкомнтрия (а) Не каждое рнманово пространство допускает артогаиальлые каардинатьс (йрз = О дяя ( чь й, и. 16.8-2), но всегда возможно выбрать одну нз координат, пусть для определенности это будет х", так, что ее координатные линни будут ортогональны ко всем остальным координатным линиям, вследствие чего фундаментальная квадратичная форма принимает внд и — 1и — 1 й '= Х Х 81Е й г йла+йнн (й )' (17.4-21) 1= 1 а=! н каждой точке (хс, хе, ..., х"). При этом всегда можно выбрать систему координат так, что будет выполняться одна нз дополнительных условий у„„=! нлн ᄄ— 1; хи является тогда длиной з дуги каждой из координатных линий х'=сонэ! (1=1, 2, ..., п — 1), представляющих собой геодезические, ортогональные ко всем гиперплоскостям х"=сопМ (нормальные геодезические или полугеодезические координаты, см.
также п. 17.3-13), (Ь) н Каждое риманово пространство допускает таиую систему координат Р, Ее, ..., Ьн, что его фундаментальная квадратичная форма будет иметь внд (20) в одной наперед заданной точке пространства. Более того, система координат может быть выбрана таким образом, что в этой точке компоненты тензора уы н частные производные первого порядка ду1е/дхг будут совпада~ь соответственно с компонентами метрического теиэорз псевдоевклндова пространства и их частными пронзводнымн; оио называется соприкасающимся псевдоевклидовым пространством рнманова пространства в данной его точке.
В окрестности каждой своей точки риманово пространство с точностью до бесконечно в!алых высшего порядка изометрично соприкасающемуся псевдоевклидову (собственно евклидову, если метрика положительно определенная) пространству. (с) Римаиовымн (иормальиымн) координатами с началом О называются числа х' =ер', где р' †компонен единичного вектора касательной в точке О к геодезической ликии, соединяющей О с точкой (х', хе, ..., х"), а е †геодезическое расстояние между О и точкой (хг, хе, ..., х").
Каждое рииаиаво прашпраисасво допускает геодезические координаты с любым началам О; при этом символы Кристоффеля обращаются в точке О в нуль. ГЛА ВА 18 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 18.1-1. Вводные замечание. Вероятносгямн называются значения некоторой действительной функпин, определенной иа классе идеализированных событий, которые представляют собой результаты испытания (опыта илн наблюдения). Вероятности вводятся посредствам определенных аксиом (п. 18.2-2; см.
также п. 12.1-1), абстрагируемых нз основных свойств статистических относительных частот (п. 19.2-1). Практически понятие вероятности проявляется в том, что обычно относительная частота случайного события в каждой последовательности независимых повторных испытаний приближается к соответствующей вероятности (п.
19.2-1)1). Теория вероятностей занимается определением и описанием моделей, связанных с понятием вероятности. В частности, здесь рассматриваются методы вычисления неронтности некоторого события по известным или заданным вероятностям других событий, которые с иим логически связаны, Многие приложения теории вероятностей относятся к области случайных проиесгав (пп.
с 18.8-1 по 18.11-5). !8.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МОДЕЛЕЙ 18.2-1. Алгебра событий, связанных с данным испытанием. Каждая вероят- ностная модель описывает некоторый идеализированный опыт (илн наблю- дение), обладающий тем свойством, что для класса й+ его возможных исходов (событий) инеют смысл следующие определения. 1. Объединение (логическая сумма) Е1()Ее Ц .. (нлн Е!+ Ее+" ) конечной илн бесконечной последовательности событий Е1, Е„ ...
есть событие, состонщее в осуществлении хотя бы адиага из событий Ег, Е..., 2. Совмещение (логическое произведение) Е, П Ее (илн Е,ЕЙ двух событий Е, и Ее есть событие, состоящее в осуществлении и Е! и Е,. 3. Дополнение (логическое отрнпаиие) Е события Е есть событие, состоящее в иеагуи(еслмлеиии события Е (событие Е называют спративалалажиым» событию Е). 4. Достоверное событие ! состоит в осуществлении хотя бы одного из событий класса б+.
5. Невозможное событие О состоит в том, что не осуществляется ни одно иэ событий класса йь. Класс 8 событий, сагтанций иэ класса бь и О, образует впалме аддитие- ную булеву ал~ебру (пп. 12.8-1 н 12.8-4) — алгебру событий, связанных с данным испытанием, Любое иэ соотношений Е,ЦЕ,=Е, или Е,ПЕ =Ее заключает в себе логнчесиое отношение включения Е ~ Е (Ее влечет Е ).
Отметим, что О с= Е ~ К События Ег и Ее наэываипся несовместнымн, если Е!()Ее=О. Множество $, '1 До тек пер, пока еть положение имеет месте, ене может рассматриваться каи весси лриаедьс ис нада смстиееть ьть наложение с мателитичжкили теоремами типа тесремм БеРнулли или еакеиа Оальтнк чисел 1н. 1е.а-з). 841 18.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МОДЕЛЕИ 18.ЩК 040 ГЛ 16, ТЕОРИЯ ВЕРОяТНОСТЕИ И СЛуЧАИНЫЕ ПРОПЕССЫ 18.2-2.
совнещеннй ЕП Е, образует алгебру'событий, связанных сданным испытанием при дополиилмльйом условии, что имеет место событие Е(; Ег ПЕ(— - Е( есть достоверное событие в $1 (см. также и. 12.8-3). 18.2-2. Определение вероятности. Условные вероятности. Пусть с данным испытанием связан класс $ событий Е (и. 18.2-1).
Вероятностью Р(Е» собы- тия Е называется определенная на 8 однозначная действительная функкия, удовлетворяющая трем условиям (аксиомам вероятностей): 1) Р (Е» )О для любого события Е нз 8„ 2) Р(/»=1 для достоверного события /; 3) Р(Е(ЦЕзЦ" »=Р«Е(»+Р(Ет»+ ... для любой (конечной нлн бесконечной) последовательностй попарно несовместных событий Е(, Ез „. //3 аксиом 1), 2), 3) следует, что 0 «Р (Е» ~ 1; в частности, если 0— исаазмажиас собзиние, лю Р (0»=0. Важно отметить, что нз равенств Р (Е» =1 или Р «Е»=0 не следует, что Е является достоверным илн соответственно невозможным событием.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
