Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 128
Текст из файла (страница 128)
"" Г ° Ь) По распределению вероятностей случайной величины х однозначно определяются производящая функиня моментов ~ стхр (х) к (х днскретпи) Мк (3) ййез~ — г) езх йФ (х) = (18.3-22) ~ езк[р (х) йх (х непрерывна) и производящая функция факториальиык моментов чл" зкр (х) (х дискретна), к (!8.3-23) ук (з) Рйзт — ~ Зк йФ(х) = 3 [р(х) с(х (х непрерывна), где  — любое комплексное число, для которого приведенные интегралы илн ряды сходятся абсолютно.
(с) Характеристическая функция дк(О) однозначно определяет распределение вероятностей '). Это же справедливо и для каждой из функций М (3) н Т (3), если они существуют в смысле абсолютной сходимогти в некотором лк ин|первале действительной оси, включающем точку 8=0 в случае Мк(з) или точку 3=! в слу(ае Т» (3) В частности, для дискретной илн непрерывной случайной величины х имеем е ° ю л ; — ! "*л,|и Ф и ' л й, > 28 |р(к)=-1- ( е !Оку. (4)йц (х непрерывна), Зп (!8.3-24) 18.3-8.
Характеристические н производящие функнин (примеры см. в табл. 18.8-1 — !8.8-8). (а) По распределению вероятностей одномерной случайной величины х од)юзначно определяется (в общем случае комплексная) карактеристическаи функпня 18 3 18 183 ОЛНОМГР!Ы РТСПРЕЛГЛРИИЯ ВЕРОЯТИОСТЕП 549 (тл = О, 1, 2, ...) (18.3-27) 1 'г=' ' — г ~п Хк(4)> =, |пМк(3) ле' >а=о лз' " ! =о' Звметнм, чти со ел «-т в ,з М (з] РЛ а|, ' , 1п М (э) = Р ' х а( В=О в=! если тольке стеящне слева фуинцип (преиэводялцэи фуннцн» мементев. прем»водящая функция семи»ивар»вите» и производящая функции фвктвзивльиы» моментов соотнес стас»не) налнтичны в еип стнистн тичк з --О.
сэ з з т [э + 1) = ~ ', а(М вЂ”,, Пз.з-уз) З=О Из формул (28) можно получить Рйх и ()х[ 84 х = $ = а, = п(, ! —— х, (18.3-29) 02=аз=р =а — 5»=а — 5(5 — 1)=х . В табл. 18.3-1 указаны и другие характеристики, которые могут быть выражены через моменты. Следующие формулы сняв»веют моменты н сеининвврнвнты г И,= ~4 (-1) ()а ЗЕ! а ~; ()И Зй (г=-0,1,2, „), З=О з=о (! 8. З-ЗО) ( ) е (24) ие»сне всутцсствляль с пелющл,ю гибли эавэния Фурье плн Лэпляси. 2 - ' ° * э нцпрее Ри(с) Прснхвсдящэя функция т (т) примен ~ется, в честности, в задачах, седержэщик днснретиые рэспредслсвня се спектром О, 1, 2, ..., дл» »вторых у [л): — ~~ э Л[»), Р(Ю= — т[~)(О) э ! М (с=о 18Л-9. Семиинварианты (см.
также п. 18.3-10), Если для одномерного распределения вероятностей существует момент г-го порядка аг, то сущест. ьуют ссмнннварнанты х„х„..., х„определяемые разложением !п Ук(О)=,» хз — „т +о(4 ). (!8.3-25) Лгы При условиях и. 18.3-7, й все семнинварианты существуют и однозначьо определяют распоедсленне вероятностей.
!8.3-10. Вычйсление моментов н семнннвариаитов через у (4), М (3) и Т (3). Соотношения между моментами н семиинвариантами. Многие каракте- Рнстики РаспРеделениЯ могУт быть вычислены непосРедственно по Ук(у), М (3) и ук(з) без предварительного нахождения Ф(х), р(к) нли |р(х). Если рассматриваемые далее нырлжепия существуют, то а,=[- Т[.') (О) =М(,') (О)1,,! =Т(,') (П, (18 3 31) [|а.з-зз) (18,3-34) Формула [24) даст также выражение р(х) нлн 97(х) через М„(з), так как Мх ([4) = лк (4). (18.3-25) (8) Ве ллнвги» эвдачэк бывает энвппсльие легче списать рэспределснне вероятно. стев через 2 (Е), М (з) нлн т (з), чем вычислить непосредственно Ф (к), р (к) нана(к) к х [пп.
18.5-3, 18 5-7 н 18.5-8). Методы п. 18,3-10 позволяют просто вычислять мвтемэтнчеснсе ежнДэние, ДиспеРсню и мииснты чеРеэ тк (З), Мк [з) нлн Ук (з) Линейные инте. ') Ф (к) ипределястся иднезнэ ила, ээ возможным нсилюченнем множества точек меры нуль; если Ф (к) непрерывна, ти она определяется едноввэчио [си, тзкже п. !8.2:2). г — 1 а!г)= Л' Е,аг а [г=о, 1, 2, ...; см. также п. 21Л-З), з=о а а(21-|-а[И=» +хз аз а!31+ за!2!+ а(1! =»э+ зх х + хз а а!4! + Ва(31-1- уа!21+ а[П = хе + бхзхз+ эх х. + Вхз.!.хз из мз! и =х -»Зхь, Х, = Ив — ЗИЗ, Хз - И, — |ОИ,И, Х, - И, — |ВИ,И, — Юиу+ ЗОИЗ 1а 4 4 )а4 АУ)ОГОМЕРНые РАСНРЕДЕЛн)ия пеРОЯТНООТЕН 551 550 гл )з.
теория вероятностен и сл 'ИАИ)чые проирссы !4.1-!. 18.4. МНОГОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯ1НОСТЕЙ пуля. Распределепия координат' х, и хз опред, я распределения Каждая из случайных величин х, и х, (координаты случайного вектора) определяе еляется соответствующей функцией распределения (одномерном) Ф,(Х)) — Р(х, < Хз) Р (хз < Хб ха <со)= (Х„), ~ (18 4 2) Фз(Х ) = — Р (х, <Хз) — Р(х, < со; х, < Хз) =Ф(со, Х ). Отметим, что функция (1) познает ью определяет фувкции (2).
Наоборот, функции (2) определяют функци!о (1) только при условии, что случайные величины х, и хз независимы (см. и. 18.4-11). 18.4-8, Дискретные и иепрерывныс двумерные распределения вероятностей. ( ) Дв мерная случайная величина х — (хз, х,) называется дискретной (имеет дискретное распределение вероятностей), если совместная вероятность выполнения условий х,=Х1, хз =Х, р„(Х,, Х,) = р (Хы Х,) Р (х, = Х,; к,= Хз) (18,4.3) отлична от нуля только для счетного множества (спектра) точек (Х» Х ), . если и к и х являются дискретными случайаыми величинами (п. 18.3-!). стя Распределения случайных координат к, н хз определяются вероятаос мн р1(Х1) Р (Х1=Х1! =~ р (Х1 Хз) к, р, (Хз) Р (кз= Хз) = ~Р ~р (Х„Хз) . (18.4-4) (Ь) Двумерная случайная величина х==-(хз, хз) называется непрерывной (имеет непрерывное распределение вероятностей), если функция распределения Ф (Х, Х,) непрерывна вс!оду и если двумерная плотность распределения вероятностей (18.4-5) 4РЮ (Х» Х,) !Рз(Х1 Хз) — Ч(ХН Хз) = существует и кусочно-непрерывна.
дифференциал гр(хм кз) йх, йхз называется влементом вероятности. Спектр непрерывного двумерного распределения вераятзостей есть множество тачек, в которых плотность распределения (5) от- !8.4-!. Н Мнагоме-иые случайные величины (сч. также п. 18.2-9). Если случайное событке описывается упорядоченным набором дейсзнвтсльныХ чисел Х„ Х, „,, Хг» то этот набор представляет значение л-мерной случайной величины х=(х), х,, ..., х„). Можио также говорить о системе случайных гелкчпв плн о л-мерном случайном векторе. Каждое элс)зентарпое событие .! жег рассматриваться как результат сложного нспьпания, состоящего в кзз!ерсн!!и всех величин х„хз...,, х„н интерпретироваться как точ" з "° з и-мерного простравства (х„хз, ..., Х„) илн как вектор х (хг, хз, ..., х„).
Каждая из величии хм хз..., х„является случайной величиной (одномерной). Если говорят, что х — случайный вектор (нли л-мерная случайная величина), то величины хз, хз, ..., х„называют его случайными хаардинаа;ами. 18.4-2. Двумерные распределения вероятностей. Распределения координат случайной величины. Распределение системы двух случайных величин к,, х или двумерного случайного вектора х (х„ х,) задаетсв функцией совместного распределения Ф„(Х1, Хз) — Ф (Хт, Хз) — Р (хт < Хб хз < Х ), вю, !х,) цц Х ) ам ах, ' = ! ф(Х, х)йхм !Р(хн Х,) йх,.
вч, !х,) грз(Х1) = (с) Отметим формулы Уу %4 лак з р(х„х,)=хи р,(х,) =лира(х,) к, к, к, к, гр (х„х,) йх! дх, = ) !р, (х,) (18. 4-5) (18.4-7! дх = ) цч (х)йх =1 ° села эти выражения существуют в смысле абсолютной сходимости. 3 ам сч а аз с. если ч есть фуакцзз толька одного к» та среднее значение гэ) сааза!акт со средним ззачзазсм, определенным зо распрсдслсзаю зслзчззы к, (Ь) Средние значения (математические ожидания) Мх, =4» Мха=а, определюот точку ($„21), называемую центром совместного расйределення вероятностей (центром рассеяния). Величины М (хз-Хз)~' (хз — Хз)" называются моментами порядка г, + гз относительно точки (Хз, Х,). В частности, моменты порядка г, + г, относвтельно начала (начазьные моменты) и относнтелыю центра распределения (центральные моменты) опредслнются соответственно с,ормулами (см.
также п. 18.3-7): сз,, = Мхах"; Р,, =М (х, — Ст)г' (х, — аьз)". (!8.4-9) ( ) !!визуальные моменты второго порядка представляют особый интерес и гиеют специальные ьазвания и обозначения йм=М (х, — с!)1=Ох, =а;", (ковариация х, и х,, каррвлзцианмый момент, сив- шамиый момент второго порядка), А з к! — 4! к! — 4ч Ры=рз) —— Р(х), кз)= ' =М— 4 Аахз о! а. (коз4цзициемт корреляции между хз и х ). (18, 4-10) 16.4-4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
