Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 131
Текст из файла (страница 131)
(й) Если функцию у=у(х) на большей части спектра величины х можно представить приближенно линейной функцией (лннеаризация), то У ~ У (4)+У' $) (х- К), М у (х) — у К), О у (х) =(у' ($))' Ох. (18,5.10) 18 5 4 Функци' (или преобразоваина) г!ногоме! ных случаиных величин (а) Если слу«айныс величины у!=у„(хг, к,, ..., х„), у,=у,(х„к„..., х„), ... (1В 5.]1) з'!Рнчер фу!'зияя Рзснрелелення величины д. и фуннцня рзспрелелеевя ! езлччлн д.
я д ш!Ределяются соответственно ферму»вин ! 118 5-!2! Ф (Уг)= ]! ... ] дФ„(х,к,,...,х„), дг(к . ..,к ) Щ 1'1 Фьг (Уг У,)нн )) ... ) дФ„(к, к.....!»„), д, (х..., .»„) ч, 1'! д (» ..., . к„) Щ У1, (18. 5-13) (5) 'с»и х н— п (»1, кз, °, хл) и У==(д! Уз, ..., Ул) — нелргрыеныг п.мерные слу!айные ю»инины, сеязинныг вэаил!но одиозна~ныл нсеырожденныл! нрсобразоганием 111), то их плотности распределения !Р„(Хз, Х„..., Х„) и !Ру (У! Ую "., У„) связаны соотношением 'Ру (! ! ! з " ° ],) !' "У! йуз" йдн ! =Ф„(Х1, Х,, ..., Х„) 1ах, йха ...
йх илн д(к, ..., к„) л) срз ( !' "'' Хл) ~ д(д (18.5.14) гле Х!=х!(Ут, ..., 1'н) 1! — — 1, 2, ..., л), для всех ]»1, )ю ". Ею для которых якобиан сущгсп!еуст и непрерывен. Е лн фтннцнЯ ! !У1 многозначна, то Еу (У, У, ..., У ) может быть вычислена спо обом. аналогичным уназззнему з п. 18.5-2, Ь. (с) Длн фУпкпии /(У,, Ую ..., Ут), гйс У; = У! [хп хм ..., х ) (1=1, ...,т), М/(у„у,, ..., Ую)= ) ~ ...
~ /ййук (хз, хз, ..., х„), (18.5-15) Как и з и. 18.5-2, с, здесь не предполагается дифференц Дли /= — с" Р (лгут+в!уз+ ". +зюут) получа м совместную производящую функцию моментов величин у1, ую ..., д, а длк / =-ЯехР (!У,У, +!Узде+...+ !уждш) — совместнУю хвРактсРистическУю фУнкцию. Преобразование, подобное формуле (5), применяется в некоторых задачах для случайных процессов (п 18.12-5). (д! Д»я любых двух случайных величин к, н х! М»!»! М» М»! -1- от !», к ). 1!8.5-1б) если зтн средние существу!от, Если к, х, ..., к взаимно независимы, то М»...,.. х„= М»,Мх, ...
М»„ нрн услезнн сущестзозання этих соедзнх. (с! если д = к х и !Р» (х ) = О при х ( О, то (п, 18.5-4, ь! представляют функции л с»учаймых величин хз, х„..., х„, то распргде»гнил вероятностей каждой слдшйной величины у; одиозна'!но определяется распределением вероятностей систньмы величин хп хз, ..., х„; то же верно для каждого соемесгпного или условного раслределгнйя любого конечного шсла случайных вг»инин уг, !Р«<Р> ~ ехс, и(х1' Р) йх1 $ гехт, хз[х1 . 0 <18 В[7) Подобным об"азам можно рассматРивать л другие подходящие фуг1кй[ин «=«(хь к,). !8.5-5. Лннейные преабрававвиия (см, такие пп.
!4Л-! и !4.6-1). для каждого неаыраждениаго лниейнога преобразования л <18.5- В) »= 1 (в матричной бюрме «и+ А (л — 1)) распределения м.мерных случайных величин (х, х-, ., х„) и («, р, ..., «н) имеют одинаковый рзяг (и. 18,4.8, с), причем М,.=я( (г=<, 2, ..., л> (з матричной форме Му=я>, (185-19) « =и л л »» ™ («1 и!) («» ч») з и А<» !!»» б 20) 1=1» ! (1, » = 1, 2, ..., л) (в матричной форме Л' АЛА'), если рассмятриваеные средине существуют. Здесь Л (А! ) в Л'=(А!») — матрнпы моментов (и. !8.4-8, с> дла (х[, х, ..., хл) н (Рт, Ра, ..., Рл) соответственна. Методы п.
13.6-5 позволяют ивйтй: 1) такое ортогональное преобразоваяие вида [18), чтвбы матраца ио.ых моментов А;» (в ана |ит, и новая корреляционная матрица> былз диагональной (приведение к лскаррелиааганлил сл«чайным зсличинам р,.); 2) такое преобразование вида (18>, чтобы Ч =И = ... И» — — 0 и А«» 6» (ализсдгние к лекоавелираеонльсн сюандартизоаанлмм случайным сели. чилам р!) !8.8-8. Математическое ожидание м дисперсия суммы случайных величин.
(а) Для любых двух (не обязательно мезависимых) случайных величии х<, ха М(х, -1- х,)=Мх,.ь Мха=~[-1- ~, (18.8-21) С> (х 4- х ) = Ох, + Ох .1- 2 соу (х<, хз) = а;"+ а., 'ч- 2ртза) аз (закон слалсения дисперсий), если рассматриваемые средние существуют, (Ь) Более общие формулы: л л М ие+ У; и!х!)=па+ ~ и!01, <=! г=< (18.е.22) л 1 л л ')а+ ~ вы) ~= ~ ~', и!0»Р!»ага», 1=1 <=1»=1 (с) Если фуннцню р=-«(х, х, ..., ) — (х, х ..., х ) нв большей части спектра л-мерной велн, ..., х ) можно приближенно йредстевнть линейной функцией, то чины (х х,,„х ! маж д« «(йг йз - йн)+ й'.4 дх»'~х йр .„, х =1„(х» , '» Х1 - й! - ХЛ вЂ” Л н едяие Мр и О«кожво приближенно вычислять е памон<ью фоРмул (19) и (20).
862 ГЛ, !8, ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧЛЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 18,5.6, Ф„, + „, (Х) = Ф (Х) и Ф, (Л) == — ) Фз(Л вЂ” х,) йФ<(41) — ~ Ф<(Х вЂ” х ) йФе(х ), йх, ф х, (0) У<(0) Уз ('<) рх 9 „(Л) ф-у) (Х) Ж р, (Х) = ~ ', р, (Х вЂ” х х, — = ~ Р, (Х вЂ” хз) Ре (х,] )Р (")- (х<, хз дискретны), (18.8-23) <рх, +, (Х) — фх (Х) «< 'ре (Х) — = 1 р, (Х вЂ” х ) гр, (х,) йх, = — 9>1(Х хз) [рз(хз) йхз (х,, х, непрерывны), -са ) где индексы 1 и 2 относятся соответственно х распределениям х[ и хз. <М В более общем случае, если х=х -<-х + ... +х есть сумма фиксированного числа л взаимно независимых случайных велячня к, х, ..., х„, то Ф,<Х>=б,<Х> Х<0,<х>)(...
Х-Ф„<Х>, Х,<а>=х,<а>Х,<Е)" Х„Ы>. <!Вд-24) и если существуют рассыатрнзаемые выражения, та П ([> = «1(Х) М Рз(Х) ><,. Х Рл(ХЬ ф (Х>=-В <Х> Ъгра(Х) И ... же~ (Х>, 'их <'.= А 190» з") " А л ОЧ Ух <*' = 71 <' Ув <' " Ул <'>' (М.5-25> (18Л.26) л л 1 <=1 <=! л л Ох=а'=~" Ох ~' аз; <=1 г =1 <>В АЧП) л г=! (!8.5-28) л х = ч'х(О, г хи <= ! (18.5-29) где х< > — семнинвариант г.га порядка величины х< Формулы <24) н <26) позволяют чы ~нслягь моменты высших порядков с помощью соотношений, приведенных з и. 18.3-10. Распределение ~уммы х=х +х + ...
+ха взаиына независимых случайных велн- 1 З чзн х, х,, х с матемзтаческмми ожидайнлми йм 9... $ н диспеРсинми аз, 1' 3' "'' л 1 аЕ ..., а даже для небальшнз л иногда можно удовлетворительно аппроксимировать нормальным распределением [п. 18.8.3> с паиравочным членом. ПУсть В=Май-й +5 + ... Фвв, а'= Ох=не+аз+ ."+ил Нх з Рз, и<- центральные моменты третьего н четвертага порядков суммы х. Тогда плотность ср <х) мщкно аппроксимировать рядом Грана — )дарлье [п.
19.3.3), если ф =- О прн ! х ! > а пля некоторого а > О. В атом случае формулы (18.8-6> и (19,3-3> дают жз се <х) = =с 2 ! ! <- — уг(х'з — Вх') +- — уа(х' — бх' +3)+ ...1, х аУВн '1 З! М й 1 18.6.7.!Вд. ФуНКцИИ ОТ СдуЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ 883 18.8-7.
Суммы независимых случайных величин (примеры см. п. 18.8-9). (а) Если х, и х,— независимые случайные величины, гла 564 гл 18 теОРия ВеРОятнОстей и случАЙные пРОцессы 16.8-6. 18,8.6, 186 схолимость пО ВеРОЯтнОсти и прелельнъ|е теОРемы 565 где к' =, у» = - -'- и у, = —,' — 3 — коэффициенты асимметрии и эксцесса для л — Рм (табл. 18.3.1). Нармзлы»ое приближение можно считать удовлетворительным тогда когда каждая величина х распределена симметрично относительно Э), так что у = (см.
также а. 18.6-6, центральная пэедельиэи теорема>. (с) Распределение суммы х (х,, х,, ...) = х ф у двух иезависиммх мнзгзмерлых случайных величии х (х„хь .. ) н у — (у,, уы ...> описывается формулзми ) Ф„(г, — с ез — к ...) йф„(,, ) (|вл-зб> хх(еп ог "') хх Иы зг -) >а И( сз' "') (18.6-31) 18 8-8 Распределение суммы случайного количества случайных величии Пусть х» х, — независимые случайные величины г одивм и тем же распределением вероятностей, и пусть й — диекретиаи случайивя величина еа спектральными значениями б, 1, 2, ..., причем величииа А иеэависима от х», х„ .. Если производящие фуикции у, И) и т„(») существуют, та распределение суммы к х + х + ...
+ ха дается производящей функцией т„(И - Т, (Ух, (э>). 08.8-32> 18.6. СХОДИМОСТЬ ПО ВЕРОЯТНОСТИ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЪ1 18,6-1. Последовательность распределений вероятностей. Сходимость по вероятности. Г!оследовательность случайных величин ух, уз, ... сходится по вероятиостя к случайной величине у, если вероятность того, что ул отли. чается от у на любое конечное число стремится к нулю прн л со: У„э'Р У пРи л — со, если !1ш Р (! У вЂ” дл!)6)=0 длЯ любого 6)0.
(18.6-1) и ео »и-мерная сл>чзйиэя величина у„ сходится по вероятиости к т-мерной сл>чзйиай величине у, если изждаи координата величины у сладится по вероятиоети к соотзетст. вующей координате величины у. Если случайные величины дт, дем ..., у„ю сходятся по вероятности соответственно к постоянным аы ае, ..., а,л лрй л сю, то любая рационал~ная функция д(уп, у„з, ..., у„,л) скодится по вероятности к у(ах, а, ..., аю), сели только д(а„а„..., и,„) ктнсчно. 18.6-2, Пределы функций распределения, характеристических и производящих функций. Теоремы непрерывности.
(а) у скодится по вероятности к у лри л оз тогда и только п»огда, а дл когда последовательность функций распределения Фу (!') сходится к пределу Ф (у) во всек точкак у, где Ф (у) непрерывно (сходимость в основном). у г (Ь) у сходится ло веролтности к у лри и со тогда и»полька тогда, у дл когда последовательность кароктгристическик функций Ху (6) лри любом 4 гходится к предельной функции Х(д), непрерывной лри 6=0; в этом случае 7 (д)Г Х(д)= 11ш Ху (4) (теорема нелрерьитости для каракт»ристическик функций). (е) Лгггедзглюелэнггюэ дигхргюлзи глучайньи гели юн у,, у», ...
гхгдилил ле верах лнэгти к диску»юлей случайной э»лизинг у лри л»о юэгдл и юэлгкз тогда, когда 1»щ р (У) р (У). (18.6-2) ,о ул у ЕСЛи ггг ггрчайимг З»Лихилм Уь У„.. иМЕЮт ЧгЛыг НггтлиизтЕЛЗНЫ» гчгхтРагзлгы глазении о, 1, 2, ... и обладают лрэиггэдлщими фулхчилли уу, (г>, т», (»), ... юз формула »» лз (2) глраггдлига тогда и»игл»хе юггдц «егдп 1Пп у (з) =т (г) лри О ~ э <! „ул (югэрглл лглргрыгизгюи длл лрэиыгдлщих фуикчид). з»»»е»»~>», что иэследавасельвагть дзскретиых случайных величии может схэдитьсз по вероятности к случайной величине, которая нг будет дискретиой (см. изпримеж табл. 18.8.3).
(д) Аиглегичиые теоремы лри>»еивл»ы, если у (л) сходтся кзк функция нелргрыгнггз параметра л (е) Аизлогичиые теоремы прииеиимы и многомерным случайным зеличзизм 18.6-3. Сходимость в среднем (см. также и. 15.2-2). Последовательность случайных величия у,, д,, ..., имеющих конечнь|е начальные момепты Му; (и, следогательно, конечные математические ожидания и дисперсии (и. 18 3.7)), сходится в среднем (квадратичном) к случайной величине у (Муз(г.:), если 1!ш М(у„— у)е=О.
(18.6-3) л со Отсюла следует, что н М (дл — у) — „—,„, О. Схозимоглш в среднем влечет за собой сходи»теть ло вероятности. Обратвер пое, вообще говоря, неверно; более того, из сходимости ул — у не следует даже, что Му и Оу существуют. 18.6-4. Аснмптотнческн нормальные распределения иероятностеи (примеры см. в табл. 18.8-3 и и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
